# Geometrische Reihe > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/folgen-und-reihen/geometrische-reihe Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/sequence-series/geometric-series/de.mdx Leite die Summenformel einer endlichen geometrischen Reihe her, behandle besondere Faktoren und löse kumulative Produktionsaufgaben. --- ## Konzept der geometrischen Reihe Eine Gärtnerei ziehe jeden Monat eine neue Charge Setzlinge nach folgendem idealisierten Muster heran: | Monat | Januar | Februar | März | April | Mai | | :-------------------- | :------ | :------- | :---- | :---- | :-- | | Neu herangezogene Setzlinge | $$4$$ | $$12$$ | $$36$$ | $$108$$ | $$324$$ | Visible text: | Monat | Januar | Februar | März | April | Mai | | :-------------------- | :------ | :------- | :---- | :---- | :-- | | Neu herangezogene Setzlinge | | | | | | Die monatlichen Stückzahlen bilden eine geometrische Folge. Addiert man die neuen Chargen vom ersten bis zu einem gewählten Monat, entsteht eine **geometrische Reihe**. Da jede Charge neu hinzukommt, werden keine Setzlinge doppelt gezählt. Eine geometrische Reihe ist die Summe der Glieder einer geometrischen Folge. Bei dieser Folge entsteht jedes Glied durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit einem **konstanten Faktor** $$r$$. Visible text: Eine geometrische Reihe ist die Summe der Glieder einer geometrischen Folge. Bei dieser Folge entsteht jedes Glied durch Multiplikation des vorherigen Gliedes mit einem **konstanten Faktor** . Für die Setzlinge gilt: - Das erste Glied $$a$$ beziehungsweise $$U_1$$ ist $$4$$. - Der Faktor ist $$(r) = \frac{12}{4} = \frac{36}{12} = \frac{108}{36} = \frac{324}{108} = 3$$. Visible text: - Das erste Glied beziehungsweise ist . - Der Faktor ist . Die Folge der monatlichen Chargen lautet $$4, 12, 36, 108, 324$$. Die geometrische Reihe entsteht durch Addition ihrer Glieder: Visible text: Die Folge der monatlichen Chargen lautet . Die geometrische Reihe entsteht durch Addition ihrer Glieder: - Summe der ersten $$2 \text{Monate}$$ $$(S_2) = 4 + 12 = 16$$ - Summe der ersten $$3 \text{Monate}$$ $$(S_3) = 4 + 12 + 36 = 52$$ - Summe der ersten $$4 \text{Monate}$$ $$(S_4) = 4 + 12 + 36 + 108 = 160$$ - und so weiter. Visible text: - Summe der ersten - Summe der ersten - Summe der ersten - und so weiter. ## Formel für die Summe der ersten Glieder herleiten Wie lässt sich die Summe der ersten $$n$$ Glieder $$(S_n)$$ berechnen, ohne jedes Glied einzeln zu addieren? Visible text: Wie lässt sich die Summe der ersten Glieder berechnen, ohne jedes Glied einzeln zu addieren? Die Tabelle zeigt das Muster anhand der Setzlingsfolge: | Notation | Direkte Summierung | Verwendung von $$U_{n+1}$$ und $$U_1$$ | Allgemeine Form | | :------------- | :---------------- | :---------------------------------------------------------------------- | :---------------------------------------- | | $$S_2$$ | $$4 + 12 = 16$$ | $$S_2 = \frac{36 - 4}{3 - 1} = \frac{32}{2} = 16$$ | $$S_2 = \frac{U_3 - U_1}{r - 1}$$ | | $$S_3$$ | $$4 + 12 + 36 = 52$$ | $$S_3 = \frac{108 - 4}{3 - 1} = \frac{104}{2} = 52$$ | $$S_3 = \frac{U_4 - U_1}{r - 1}$$ | | $$S_4$$ | $$4 + 12 + 36 + 108 = 160$$ | $$S_4 = \frac{324 - 4}{3 - 1} = \frac{320}{2} = 160$$ | $$S_4 = \frac{U_5 - U_1}{r - 1}$$ | | $$\vdots$$ | $$\dots$$ | $$\dots$$ | $$\dots$$ | | $$S_n$$ | $$\dots$$ | $$\dots$$ | $$S_n = \frac{U_{n+1} - U_1}{r - 1}$$ | Visible text: | Notation | Direkte Summierung | Verwendung von und | Allgemeine Form | | :------------- | :---------------- | :---------------------------------------------------------------------- | :---------------------------------------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Für $$r\ne1$$ liefert die rechte untere Zelle die allgemeine Form: Visible text: Für liefert die rechte untere Zelle die allgemeine Form: ```math S_n = \frac{U_{n+1} - U_1}{r - 1} ``` Für das $$n$$-te Glied einer geometrischen Folge gilt $$U_n = ar^{n-1}$$. Daher ist $$U_{n+1} = ar^{(n+1)-1} = ar^n$$. Setzen wir $$U_{n+1} = ar^n$$ und $$U_1 = a$$ in die Formel für $$S_n$$ ein: Visible text: Für das -te Glied einer geometrischen Folge gilt . Daher ist . Setzen wir und in die Formel für ein: Component: MathContainer Children: ```math S_n = \frac{ar^n - a}{r - 1} ``` ```math S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} ``` Damit ist die Summe der ersten $$n$$ Glieder bestimmt. Visible text: Damit ist die Summe der ersten Glieder bestimmt. Eine zweite Herleitung multipliziert die Summe mit $$r$$ und subtrahiert beide Zeilen: Visible text: Eine zweite Herleitung multipliziert die Summe mit und subtrahiert beide Zeilen: Component: MathContainer Children: ```math S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1} ``` ```math rS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^n ``` ```math (1-r)S_n=a(1-r^n) ``` Die mittleren Glieder heben sich auf. Deshalb enthält das Ergebnis nur das erste Glied und die Potenz unmittelbar nach dem letzten Glied. ## Geometrische Reihenformel Für die Summe der ersten $$n$$ Glieder gilt: Visible text: Für die Summe der ersten Glieder gilt: ```math S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1},\quad r\ne1 ``` Eine äquivalente Form ist ```math S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r},\quad r\ne1 ``` Beide Formen gelten für positive und negative Faktoren, solange $$r\ne1$$. Für $$r=1$$ sind alle Glieder gleich $$a$$. Dann gilt: Visible text: Beide Formen gelten für positive und negative Faktoren, solange . Für sind alle Glieder gleich . Dann gilt: ```math S_n=na ``` **Dabei gilt:** - $$S_n$$ = Summe der ersten $$n$$ Glieder - $$a$$ = erstes Glied $$(U_1)$$ - $$r$$ = konstanter Faktor, hier mit $$(r \neq 1)$$ - $$n$$ = Anzahl der Glieder Visible text: - = Summe der ersten Glieder - = erstes Glied - = konstanter Faktor, hier mit - = Anzahl der Glieder ## Beispielanwendung Die Monatsproduktion eines Fahrradunternehmens bildet im Jahr $$2020$$ ein idealisiertes geometrisches Muster. Im Januar werden $$120 \text{Einheiten}$$ produziert, im April $$3{.}240 \text{Einheiten}$$. Gesucht ist die gesamte Produktion von Januar bis Mai. Visible text: Die Monatsproduktion eines Fahrradunternehmens bildet im Jahr ein idealisiertes geometrisches Muster. Im Januar werden produziert, im April . Gesucht ist die gesamte Produktion von Januar bis Mai. **Lösung:** - Januar-Produktion $$(U_1) = a = 120$$ - April-Produktion $$(U_4) = 3{.}240$$ - Gesucht: Gesamtproduktion bis Mai $$(S_5)$$ Visible text: - Januar-Produktion - April-Produktion - Gesucht: Gesamtproduktion bis Mai **Schritt** $$1$$: Faktor $$(r)$$ bestimmen Visible text: **Schritt** : Faktor bestimmen Component: MathContainer Children: ```math U_4 = ar^{4-1} = ar^3 ``` ```math 3{.}240 = 120 \cdot r^3 ``` ```math r^3 = \frac{3{.}240}{120} ``` ```math r^3 = 27 ``` ```math r = \sqrt[3]{27} = 3 ``` **Schritt** $$2$$: $$S_5$$ berechnen. Da $$r = 3 > 1$$, verwenden wir die passende Form der Summenformel: Visible text: **Schritt** : berechnen. Da , verwenden wir die passende Form der Summenformel: Component: MathContainer Children: ```math S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} ``` ```math S_5 = \frac{120(3^5 - 1)}{3 - 1} ``` ```math S_5 = \frac{120(243 - 1)}{2} ``` ```math S_5 = \frac{120(242)}{2} ``` ```math S_5 = 60 \cdot 242 ``` ```math S_5 = 14{.}520 ``` Die gesamte Fahrradproduktion von Januar bis Mai beträgt $$14{.}520 \text{Einheiten}$$. Visible text: Die gesamte Fahrradproduktion von Januar bis Mai beträgt . Die Addition ist sinnvoll, weil jeder Monatswert neu produzierte Fahrräder beschreibt. Wiederholte Messungen eines unveränderten Bestands dürften dagegen nicht addiert werden, weil dieselben Objekte sonst mehrfach gezählt würden. ## Übung: Ein negativer Faktor Berechne die endliche Summe: ```math 81-27+9-3+1 ``` Das erste Glied ist $$a=81$$, der Faktor ist $$r=-\frac13$$, und die Reihe enthält $$n=5$$ Glieder. Daher: Visible text: Das erste Glied ist , der Faktor ist , und die Reihe enthält Glieder. Daher: Component: MathContainer Children: ```math S_5=81\left(\frac{1-(-1/3)^5}{1-(-1/3)}\right) ``` ```math S_5=81\left(\frac{244/243}{4/3}\right)=61 ``` Die direkte Addition bestätigt das Ergebnis: $$81-27+9-3+1=61$$. Visible text: Die direkte Addition bestätigt das Ergebnis: .