# Unterschied zwischen Konvergenz und Divergenz > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/folgen-und-reihen/konvergenz-und-divergenz Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/sequence-series/convergence-divergence/de.mdx Unterscheide Konvergenz und Divergenz bei Folgen und Reihen, arbeite mit Partialsummen und prüfe geometrische sowie harmonische Beispiele. --- ## Was sind konvergente und divergente Reihen? Werden die Glieder einer unendlichen Folge addiert, entsteht eine **unendliche Reihe**. Entscheidend ist nicht eine vermeintlich letzte Summe, sondern die Folge ihrer Partialsummen: Nähert sie sich einer endlichen Zahl, ist die Reihe **konvergent**. Andernfalls ist sie **divergent**. ## Konvergenz von Folgen Eine Folge $$(a_n)$$ konvergiert gegen $$L$$, wenn ihre Glieder beliebig nahe an $$L$$ liegen, sobald $$n$$ hinreichend groß ist. Man schreibt: Visible text: Eine Folge konvergiert gegen , wenn ihre Glieder beliebig nahe an liegen, sobald hinreichend groß ist. Man schreibt: ```math \lim_{n\to\infty}a_n=L ``` Wenn kein endlicher Grenzwert existiert, divergiert die Folge. Divergenz kann verschiedene Formen annehmen: - $$a_n=n$$ wächst unbegrenzt. - $$a_n=-n$$ nimmt unbegrenzt ab. - $$a_n=(-1)^n$$ pendelt zwischen zwei Werten. Visible text: - wächst unbegrenzt. - nimmt unbegrenzt ab. - pendelt zwischen zwei Werten. ## Von einer Folge zu einer Reihe Für eine unendliche Reihe: ```math \sum_{k=1}^{\infty}a_k ``` Untersucht werden die Partialsummen: ```math S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k ``` Die Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen $$(S_n)$$ konvergiert. Der Grenzwert der Glieder $$a_n$$ allein entscheidet noch nicht über die Konvergenz der Reihe. Visible text: Die Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Der Grenzwert der Glieder allein entscheidet noch nicht über die Konvergenz der Reihe. ## Konvergente Reihen Eine Reihe heißt **konvergent**, wenn ihre Partialsummen gegen einen _endlichen_ Wert streben. Bei einem idealisierten springenden Ball können etwa die zurückgelegten Teilstrecken immer kleiner werden, sodass die gesamte Weglänge einen endlichen Grenzwert besitzt. ### Eigenschaften konvergenter Reihen - Die Summe der ersten $$n$$ Glieder, also $$S_n$$, nähert sich einem Wert $$L$$, wenn $$n$$ gegen unendlich geht: $$\lim_{n \to \infty} S_n = L$$, wobei $$L$$ eine reelle Zahl ist. - Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung lautet: Das $$n$$-te Glied $$u_n$$ muss gegen $$0$$ streben, wenn $$n$$ gegen unendlich geht: $$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$$. Visible text: - Die Summe der ersten Glieder, also , nähert sich einem Wert , wenn gegen unendlich geht: , wobei eine reelle Zahl ist. - Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung lautet: Das -te Glied muss gegen streben, wenn gegen unendlich geht: . ### Beispiel für eine konvergente Reihe - **Geometrische Reihe mit $$|r| < 1$$**: Dies ist das häufigste Beispiel. Die Reihe $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$$ besitzt den Grenzwert $$2$$. ```math S_\infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 ``` Visible text: - **Geometrische Reihe mit **: Dies ist das häufigste Beispiel. Die Reihe besitzt den Grenzwert . ## Divergente Reihen Eine Reihe heißt **divergent**, wenn ihre Partialsummen keinen endlichen Grenzwert besitzen. Die Partialsummen können: - gegen positive Unendlichkeit $$\infty$$ wachsen, - gegen negative Unendlichkeit $$-\infty$$ fallen oder - zwischen verschiedenen Werten schwanken, ohne sich einem Grenzwert zu nähern. Visible text: - gegen positive Unendlichkeit wachsen, - gegen negative Unendlichkeit fallen oder - zwischen verschiedenen Werten schwanken, ohne sich einem Grenzwert zu nähern. ### Eigenschaften divergenter Reihen - Die Partialsummen $$S_n$$ nähern sich keinem bestimmten Wert $$L$$, wenn $$n$$ gegen unendlich geht. - Gilt $$u_n\not\to 0$$, dann ist die Reihe _sicher_ divergent. Das umfasst sowohl einen von null verschiedenen Grenzwert als auch eine Gliederfolge ohne Grenzwert. Die Umkehrung gilt nicht. Visible text: - Die Partialsummen nähern sich keinem bestimmten Wert , wenn gegen unendlich geht. - Gilt , dann ist die Reihe _sicher_ divergent. Das umfasst sowohl einen von null verschiedenen Grenzwert als auch eine Gliederfolge ohne Grenzwert. Die Umkehrung gilt nicht. ### Beispiele für divergente Reihen - **Arithmetische Reihen außer $$0 + 0 + \dots$$**: Ihre Partialsummen wachsen gegen $$\infty$$ oder fallen gegen $$-\infty$$. Zum Beispiel strebt $$1 + 2 + 3 + 4 + \dots$$ gegen $$\infty$$. - **Geometrische Reihe mit $$|r| \ge 1$$**: - Für $$r \ge 1$$ wachsen die Partialsummen je nach Vorzeichen des ersten Gliedes gegen $$\pm \infty$$. Beispiel: $$2 + 4 + 8 + 16 + \dots$$ strebt gegen $$\infty$$. - Für $$r \le -1$$ oszillieren die Partialsummen. Beispiel: Die Reihe $$1 - 2 + 4 - 8 + \dots$$ besitzt die Partialsummen $$1, -1, 3, -5, \dots$$. Sie nähern sich keinem Wert. - **Harmonische Reihe**: Bei $$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots$$ strebt zwar das $$n$$-te Glied $$u_n = \frac{1}{n}$$ gegen $$0$$, die Partialsummen wachsen jedoch gegen $$\infty$$. Die Bedingung $$u_n \to 0$$ reicht allein also nicht für Konvergenz aus. Visible text: - **Arithmetische Reihen außer **: Ihre Partialsummen wachsen gegen oder fallen gegen . Zum Beispiel strebt gegen . - **Geometrische Reihe mit **: - Für wachsen die Partialsummen je nach Vorzeichen des ersten Gliedes gegen . Beispiel: strebt gegen . - Für oszillieren die Partialsummen. Beispiel: Die Reihe besitzt die Partialsummen . Sie nähern sich keinem Wert. - **Harmonische Reihe**: Bei strebt zwar das -te Glied gegen , die Partialsummen wachsen jedoch gegen . Die Bedingung reicht allein also nicht für Konvergenz aus. ## Vollständige Klassifizierung geometrischer Reihen Betrachten wir die Reihe: ```math a+ar+ar^2+\dots ``` Für $$a\ne0$$ gehört jeder mögliche Wert des Quotienten zu genau einem der folgenden Fälle: Visible text: Für gehört jeder mögliche Wert des Quotienten zu genau einem der folgenden Fälle: - Wenn $$|r|<1$$, konvergiert die Reihe gegen $$a/(1-r)$$. - Wenn $$r=1$$, sind die Partialsummen $$na$$ und divergieren. - Wenn $$r=-1$$, wechseln die Partialsummen zwischen zwei Werten. - Wenn $$|r|>1$$, streben bereits die Glieder nicht gegen Null. Visible text: - Wenn , konvergiert die Reihe gegen . - Wenn , sind die Partialsummen und divergieren. - Wenn , wechseln die Partialsummen zwischen zwei Werten. - Wenn , streben bereits die Glieder nicht gegen Null. Eine divergente Reihe hat deshalb nicht einfach den Wert $$\infty$$. Oszillation und unbegrenztes negatives Wachstum sind ebenfalls Formen der Divergenz. Visible text: Eine divergente Reihe hat deshalb nicht einfach den Wert . Oszillation und unbegrenztes negatives Wachstum sind ebenfalls Formen der Divergenz. ## Monotonie und Begrenztheit Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert. Dieses Kriterium ist nützlich, wenn ein Grenzwert nur schwer direkt aus einer Formel abzulesen ist. Die Partialsummen einer Reihe mit nichtnegativen Gliedern nehmen zu. Sind sie zugleich nach oben beschränkt, konvergiert die Reihe. ## Zusammenfassung der wichtigsten Unterschiede | Merkmal | Konvergente Reihe | Divergente Reihe | | ------------ | --------------------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | **Partialsummen** | Nähern sich einem _endlichen_ Wert $$L$$; $$S_\infty = L$$ | Nähern sich keinem endlichen Wert; sie können gegen $$\pm \infty$$ streben oder oszillieren | | **$$n$$-tes Glied** | $$u_n\to0$$ ist notwendig | Aus $$u_n\not\to0$$ folgt sicher Divergenz; dennoch kann auch $$u_n\to0$$ gelten | | **Beispiele** | Geometrische Reihe mit $$\lvert r\rvert < 1$$ | Nichttriviale arithmetische Reihe, geometrische Reihe mit $$\lvert r\rvert \geq 1$$, harmonische Reihe | Visible text: | Merkmal | Konvergente Reihe | Divergente Reihe | | ------------ | --------------------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | **Partialsummen** | Nähern sich einem _endlichen_ Wert ; | Nähern sich keinem endlichen Wert; sie können gegen streben oder oszillieren | | **-tes Glied** | ist notwendig | Aus folgt sicher Divergenz; dennoch kann auch gelten | | **Beispiele** | Geometrische Reihe mit | Nichttriviale arithmetische Reihe, geometrische Reihe mit , harmonische Reihe | ## Übung Entscheide für jede Reihe, ob sie konvergiert oder divergiert: 1. $$\sum_{k=0}^{\infty}3(1/4)^k$$ 2. $$\sum_{k=1}^{\infty}1$$ 3. $$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k$$ Visible text: 1. 2. 3. ### Lösung 1. Die erste Reihe ist geometrisch mit $$|r|=1/4<1$$, also konvergiert sie: ```math \frac{3}{1-1/4}=4 ``` 2. Die Glieder der zweiten Reihe nähern sich nicht Null. Daher divergiert die Reihe. 3. Die Partialsummen der dritten Reihe wechseln zwischen zwei Werten. Die Reihe divergiert durch Oszillation und wächst nicht gegen Unendlich. Visible text: 1. Die erste Reihe ist geometrisch mit , also konvergiert sie: 2. Die Glieder der zweiten Reihe nähern sich nicht Null. Daher divergiert die Reihe. 3. Die Partialsummen der dritten Reihe wechseln zwischen zwei Werten. Die Reihe divergiert durch Oszillation und wächst nicht gegen Unendlich.