# Unendliche geometrische Reihe

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Verknüpfe unendliche geometrische Reihen mit einem springenden Ball und leite daraus Konvergenz, Divergenz und die Summenformel ab.

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## Ein springender Ball

Ein Tennisball fällt aus einer Höhe von $$1 \text{ Meter}$$. In einem idealisierten Modell erreicht jeder Sprung $$\frac{1}{4}$$ der vorherigen Höhe.

Visible text: Ein Tennisball fällt aus einer Höhe von . In einem idealisierten Modell erreicht jeder Sprung der vorherigen Höhe.

Die Abwurfhöhe und die anschließenden Rücksprunghöhen bilden eine **geometrische Folge**:

Component: MathContainer
Children:

```math
1, \quad 1 \times \frac{1}{4}, \quad (1 \times \frac{1}{4}) \times \frac{1}{4}, \quad \dots
```

```math
1, \quad \frac{1}{4}, \quad \frac{1}{16}, \quad \frac{1}{64}, \quad \dots
```

Das erste Glied ($$a$$) ist $$1$$, der Faktor ($$r$$) ist $$\frac{1}{4}$$.

Visible text: Das erste Glied () ist , der Faktor () ist .

Wie groß ist die _Gesamtstrecke_, die der Ball vom Loslassen bis zum Stillstand zurücklegt?

Im idealisierten Modell bewegt sich der Ball nach unten, dann nach oben, wieder nach unten und so weiter, ohne einen letzten Sprung. Die Gesamtstrecke setzt sich aus allen Abwärts- und Aufwärtswegen zusammen. Da ihre Längen ein unendliches geometrisches Muster bilden, berechnen wir sie mit einer **unendlichen geometrischen Reihe**.

### Wann konvergiert die Reihe?

Die mathematische Reihe besitzt keinen letzten Sprung. Ihre Teilsummen können sich dennoch einem endlichen Grenzwert nähern. Bei einer geometrischen Reihe geschieht das, wenn der Betrag des Faktors $$r$$ kleiner als $$1$$ ist.

Visible text: Die mathematische Reihe besitzt keinen letzten Sprung. Ihre Teilsummen können sich dennoch einem endlichen Grenzwert nähern. Bei einer geometrischen Reihe geschieht das, wenn der Betrag des Faktors kleiner als ist.

```math
|r| < 1 \quad \text{oder} \quad -1 < r < 1
```

Eine solche Reihe heißt **konvergent**: Ihre Teilsummen nähern sich einem bestimmten endlichen Wert. Im Ballbeispiel gilt $$r = \frac{1}{4}$$. Wegen $$-1 < \frac{1}{4} < 1$$ ist die Reihe konvergent.

Visible text: Eine solche Reihe heißt **konvergent**: Ihre Teilsummen nähern sich einem bestimmten endlichen Wert. Im Ballbeispiel gilt . Wegen ist die Reihe konvergent.

Wenn $$|r| \ge 1$$ und $$a\ne0$$, nähern sich die Glieder nicht null. Die Reihe ist dann **divergent**. Ihre Teilsummen können unbegrenzt wachsen, unbegrenzt abnehmen oder oszillieren. Divergenz bedeutet, dass kein endlicher Grenzwert existiert. Das Ergebnis muss nicht $$+\infty$$ oder $$-\infty$$ sein.

Visible text: Wenn und , nähern sich die Glieder nicht null. Die Reihe ist dann **divergent**. Ihre Teilsummen können unbegrenzt wachsen, unbegrenzt abnehmen oder oszillieren. Divergenz bedeutet, dass kein endlicher Grenzwert existiert. Das Ergebnis muss nicht oder sein.

## Berechnen der Summe einer unendlichen Reihe

Wie berechnen wir die Summe einer konvergenten unendlichen Reihe? Wir beginnen mit der Formel für die Summe der ersten $$n$$ Glieder einer geometrischen Reihe:

Visible text: Wie berechnen wir die Summe einer konvergenten unendlichen Reihe? Wir beginnen mit der Formel für die Summe der ersten Glieder einer geometrischen Reihe:

```math
S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
```

Für eine unendliche Reihe betrachten wir $$S_n$$, wenn $$n$$ immer größer wird. Ist die Reihe konvergent ($$-1 < r < 1$$), nähert sich $$r^n$$ dem Wert null, wenn $$n$$ gegen unendlich geht. Zum Beispiel: $$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$$, $$(\frac{1}{4})^3 = \frac{1}{64}$$, $$(\frac{1}{4})^{10} \approx 0{,}00000095$$. Je größer $$n$$ wird, desto näher liegt $$(\frac{1}{4})^n$$ bei $$0$$.

Visible text: Für eine unendliche Reihe betrachten wir , wenn immer größer wird. Ist die Reihe konvergent (), nähert sich dem Wert null, wenn gegen unendlich geht. Zum Beispiel: , , . Je größer wird, desto näher liegt bei .

Für $$n \to \infty$$ und $$-1 < r < 1$$ gilt also $$r^n \to 0$$. Die Formel lautet:

Visible text: Für und gilt also . Die Formel lautet:

```math
S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a(1 - 0)}{1 - r}
```

Somit lautet die Formel für die Summe einer konvergenten unendlichen geometrischen Reihe:

```math
S_\infty = \frac{a}{1 - r}
```

Dabei gilt:

- $$S_\infty$$ = Summe der unendlichen Reihe
- $$a$$ = erstes Glied
- $$r$$ = Faktor mit $$-1<r<1$$

Visible text: - = Summe der unendlichen Reihe
- = erstes Glied
- = Faktor mit

## Kontrolle mit halbierten Strecken

Betrachte die Reihe:

```math
1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots
```

Hier $$a=1$$ und $$r=\frac12$$, also:

Visible text: Hier und , also:

```math
S_\infty=\frac{1}{1-1/2}=2
```

Keine endliche Teilsumme ist gleich $$2$$, aber die Teilsummen können beliebig nahe an $$2$$ herankommen. Die unendliche Summe ist die Grenze dieser endlichen Teilsummen.

Visible text: Keine endliche Teilsumme ist gleich , aber die Teilsummen können beliebig nahe an herankommen. Die unendliche Summe ist die Grenze dieser endlichen Teilsummen.

## Berechnung der Gesamtstrecke

Mit der Formel $$S_\infty$$ können wir die vom Ball zurückgelegte Gesamtstrecke berechnen. Der Weg besteht aus zwei Teilen:

Visible text: Mit der Formel können wir die vom Ball zurückgelegte Gesamtstrecke berechnen. Der Weg besteht aus zwei Teilen:

1.  **Abwärtsstrecke:** Der Ball fällt aus der Höhe $$a$$, nach dem ersten Sprung erneut um $$ar$$, nach dem zweiten Sprung um $$ar^2$$ und so weiter.

    - Abwärtsreihe: $$a + ar + ar^2 + ar^3 + \dots$$
    - Das erste Glied ($$a_{\downarrow}$$) ist $$a$$
    - Der Faktor ($$r_{\downarrow}$$) ist $$r$$
    - Summe der Abwärtsstrecken: $$S_{\downarrow}=\frac{a_{\downarrow}}{1-r_{\downarrow}}=\frac{a}{1-r}$$

2.  **Aufwärtsstrecke:** Nach dem ersten Aufprall steigt der Ball um $$ar$$, nach dem zweiten um $$ar^2$$ und so weiter.
    - Aufwärtsreihe: $$ar + ar^2 + ar^3 + \dots$$
    - Das erste Glied ($$a_{\uparrow}$$) ist $$ar$$
    - Der Faktor ($$r_{\uparrow}$$) ist $$r$$
    - Summe der Aufwärtsstrecken: $$S_{\uparrow}=\frac{a_{\uparrow}}{1-r_{\uparrow}}=\frac{ar}{1-r}$$

Visible text: 1. **Abwärtsstrecke:** Der Ball fällt aus der Höhe , nach dem ersten Sprung erneut um , nach dem zweiten Sprung um und so weiter.

 - Abwärtsreihe: 
 - Das erste Glied () ist 
 - Der Faktor () ist 
 - Summe der Abwärtsstrecken: 

2. **Aufwärtsstrecke:** Nach dem ersten Aufprall steigt der Ball um , nach dem zweiten um und so weiter.
 - Aufwärtsreihe: 
 - Das erste Glied () ist 
 - Der Faktor () ist 
 - Summe der Aufwärtsstrecken:

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Gesamtdistanz} = \text{Summe des Abwärtspfads} + \text{Summe des Aufwärtspfads}
```

```math
\text{Gesamt} = S_{\downarrow} + S_{\uparrow} = \frac{a}{1 - r} + \frac{ar}{1 - r}
```

```math
\text{Gesamt} = \frac{a(1 + r)}{1 - r}
```

Für das Tennisball-Beispiel mit $$a = 1 \text{ Meter}$$ und $$r = \frac{1}{4}$$:

Visible text: Für das Tennisball-Beispiel mit und :

```math
\text{Gesamt} = \frac{1(1 + \frac{1}{4})}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1(\frac{5}{4})}{\frac{3}{4}} = \frac{5/4}{3/4} = \frac{5}{4} \times \frac{4}{3} = \frac{5}{3}
```

Das Modell ergibt also eine Gesamtstrecke von $$\frac{5}{3} \text{Metern}$$.

Visible text: Das Modell ergibt also eine Gesamtstrecke von .

Dies ist ein idealisiertes mathematisches Modell. Ein echter Ball vollführt nicht unendlich viele messbare Sprünge und sein Sprungverhältnis ist nicht vollkommen konstant.

**Eine zweite Berechnung:**
Die Gesamtstrecke lässt sich auch als erste Abwärtsstrecke plus $$2 \text{ mal}$$ der Summe aller Aufwärtsstrecken berechnen.

Visible text: **Eine zweite Berechnung:**
Die Gesamtstrecke lässt sich auch als erste Abwärtsstrecke plus der Summe aller Aufwärtsstrecken berechnen.

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Gesamt} = a + 2 \times S_{\uparrow} = a + 2 \times \left( \frac{ar}{1 - r} \right)
```

```math
\text{Gesamt} = 1 + 2 \times \left( \frac{1 \times \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} \right) = 1 + 2 \times \left( \frac{1/4}{3/4} \right) = 1 + 2 \times \left( \frac{1}{3} \right) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}
```

Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

## Übung: Eine alternierende Reihe

Berechne die Summe:

```math
12-6+3-\frac32+\cdots
```

Hier $$a=12$$ und $$r=-\frac12$$. Da $$|r|<1$$ konvergiert die Reihe:

Visible text: Hier und . Da konvergiert die Reihe:

```math
S_\infty=\frac{12}{1-(-1/2)}=8
```

Durch den negativen Faktor wechseln sich die Vorzeichen der Glieder ab. Ihre Beträge werden jedoch schnell genug kleiner, sodass sich die Teilsummen dem Wert $$8$$ nähern.

Visible text: Durch den negativen Faktor wechseln sich die Vorzeichen der Glieder ab. Ihre Beträge werden jedoch schnell genug kleiner, sodass sich die Teilsummen dem Wert nähern.