# Asymptote

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionen-und-modelle/asymptoten
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-modeling/asymptote/de.mdx

Senkrechte, waagerechte und schräge Asymptoten rationaler Funktionen bestimmen und beim Zeichnen ihrer Graphen nutzen.

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## Was ist eine Asymptote?

Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich ein Graph in einem bestimmten Grenzprozess annähert. In der Nähe einer senkrechten Asymptote wächst der Funktionswert betragsmäßig ohne Grenze. Bei einer waagerechten oder schrägen Asymptote nähert sich der Abstand zwischen Graph und Gerade für große Beträge der Eingabe dem Wert null.

Ein Graph darf eine waagerechte oder schräge Asymptote bei einem endlichen Eingabewert schneiden. Die Asymptote beschreibt das Grenzverhalten und ist keine unüberwindbare Grenze.

## Arten von Asymptoten

Wir unterscheiden drei Arten von Asymptoten:

### Vertikale Asymptote

Eine senkrechte Asymptote liegt an einer Stelle, an der der Funktionswert von mindestens einer Seite betragsmäßig unbegrenzt wächst.

**Definition:** Die Gerade $$x = a$$ ist eine vertikale Asymptote, wenn mindestens einer der folgenden einseitigen Grenzwerte unendlich ist:

Visible text: **Definition:** Die Gerade ist eine vertikale Asymptote, wenn mindestens einer der folgenden einseitigen Grenzwerte unendlich ist:

- Wenn sich $$x$$ von links $$a$$ nähert, $$f(x) \to \pm\infty$$
- Wenn sich $$x$$ von rechts $$a$$ nähert, $$f(x) \to \pm\infty$$

Visible text: - Wenn sich von links nähert, 
- Wenn sich von rechts nähert,

**So wird sie bestimmt:** Zunächst werden gemeinsame Polynomfaktoren gekürzt. In der vereinfachten rationalen Funktion entsteht eine senkrechte Asymptote, wenn $$Q(x) = 0$$ und zugleich $$P(x) \neq 0$$ gilt. Ein gekürzter Faktor erzeugt stattdessen eine Definitionslücke.

Visible text: **So wird sie bestimmt:** Zunächst werden gemeinsame Polynomfaktoren gekürzt. In der vereinfachten rationalen Funktion entsteht eine senkrechte Asymptote, wenn und zugleich gilt. Ein gekürzter Faktor erzeugt stattdessen eine Definitionslücke.

### Horizontale Asymptote

Eine horizontale Asymptote ist eine horizontale Linie, der sich der Graph für $$x$$ gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.

Visible text: Eine horizontale Asymptote ist eine horizontale Linie, der sich der Graph für gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.

**Definition:** Die Gerade $$y = b$$ ist in jeder Richtung eine horizontale Asymptote, in der der zugehörige Grenzwert gilt:

Visible text: **Definition:** Die Gerade ist in jeder Richtung eine horizontale Asymptote, in der der zugehörige Grenzwert gilt:

- $$\lim_{x \to \infty} f(x) = b$$
- $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$$

Visible text: - 
-

### Schräge Asymptote

Eine schräge Asymptote ist eine schräge Linie, der sich der Graph für $$x$$ gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.

Visible text: Eine schräge Asymptote ist eine schräge Linie, der sich der Graph für gegen positiv unendlich, negativ unendlich oder in beiden Richtungen annähert.

**Definition:** Die Gerade $$y = mx + c$$ ist in einer Richtung eine schräge Asymptote, wenn die folgende Differenz dort gegen null geht:

Visible text: **Definition:** Die Gerade ist in einer Richtung eine schräge Asymptote, wenn die folgende Differenz dort gegen null geht:

Component: MathContainer
Children:

```math
\lim_{x \to \infty} [f(x) - (mx + c)] = 0
```

```math
\lim_{x \to -\infty} [f(x) - (mx + c)] = 0
```

## Asymptoten in rationalen Funktionen

Konzentrieren wir uns auf rationale Funktionen $$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$$, wobei $$P(x)$$ und $$Q(x)$$ Polynome sind.

Visible text: Konzentrieren wir uns auf rationale Funktionen , wobei und Polynome sind.

### Vertikale Asymptoten bestimmen

**Schritte:**

1. Bestimme die Werte von $$x$$, für die $$Q(x) = 0$$ gilt
2. Prüfe für diese Werte, ob $$P(x) \neq 0$$ gilt
3. Ist das der Fall, liegt bei $$x = a$$ eine senkrechte Asymptote

Visible text: 1. Bestimme die Werte von , für die gilt
2. Prüfe für diese Werte, ob gilt
3. Ist das der Fall, liegt bei eine senkrechte Asymptote

**Beispiel:** Bestimme die senkrechte Asymptote von $$f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$$.

Visible text: **Beispiel:** Bestimme die senkrechte Asymptote von .

**Lösung:**

- Der Nenner ist Null, wenn: $$x - 2 = 0$$, also $$x = 2$$
- Bei $$x = 2$$ ist der Zähler $$2 + 3 = 5 \neq 0$$
- Daher ist $$x = 2$$ eine senkrechte Asymptote.

Visible text: - Der Nenner ist Null, wenn: , also 
- Bei ist der Zähler 
- Daher ist eine senkrechte Asymptote.

Betrachten wir das Funktionsverhalten um die vertikale Asymptote:

| $$x$$ | $$f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$$ | Beschreibung |
| -------------------------- | -------------------------------------------------------- | ---------------------------------------- |
| $$1{,}9$$ | $$\frac{1{,}9 + 3}{1{,}9 - 2} = \frac{4{,}9}{-0{,}1} = -49$$ | Nähert sich $$-\infty$$ |
| $$1{,}99$$ | $$\frac{4{,}99}{-0{,}01} = -499$$ | Wird stärker negativ |
| $$2{,}01$$ | $$\frac{5{,}01}{0{,}01} = 501$$ | Nähert sich $$+\infty$$ |
| $$2{,}1$$ | $$\frac{5{,}1}{0{,}1} = 51$$ | Wird stärker positiv |

Visible text: | | | Beschreibung |
| -------------------------- | -------------------------------------------------------- | ---------------------------------------- |
| | | Nähert sich |
| | | Wird stärker negativ |
| | | Nähert sich |
| | | Wird stärker positiv |

Component: LineEquation
Props:
- title: Graph von $$f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$$ mit
senkrechter Asymptote
  Visible text: Graph von mit
senkrechter Asymptote
- description: Der Graph nähert sich der senkrechten Geraden $$x = 2$$
von beiden Seiten.
  Visible text: Der Graph nähert sich der senkrechten Geraden 
von beiden Seiten.
- data: [
{
points: [
{ x: -2, y: -0.25, z: 0 },
{ x: -1, y: -0.67, z: 0 },
{ x: 0, y: -1.5, z: 0 },
{ x: 1, y: -4, z: 0 },
{ x: 1.5, y: -9, z: 0 },
{ x: 1.8, y: -24, z: 0 },
{ x: 1.9, y: -49, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$x \to 2^{-}$$,
at: 1,
offset: [-1, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 2.1, y: 51, z: 0 },
{ x: 2.2, y: 26, z: 0 },
{ x: 2.5, y: 11, z: 0 },
{ x: 3, y: 6, z: 0 },
{ x: 4, y: 3.5, z: 0 },
{ x: 5, y: 2.67, z: 0 },
{ x: 6, y: 2.25, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$x \to 2^{+}$$,
at: 6,
offset: [0.5, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 2, y: -50, z: 0 },
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 50, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$x=2$$, at: 1, offset: [1, -0.5, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: -2, y: -0.25, z: 0 },
{ x: -1, y: -0.67, z: 0 },
{ x: 0, y: -1.5, z: 0 },
{ x: 1, y: -4, z: 0 },
{ x: 1.5, y: -9, z: 0 },
{ x: 1.8, y: -24, z: 0 },
{ x: 1.9, y: -49, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 1,
offset: [-1, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 2.1, y: 51, z: 0 },
{ x: 2.2, y: 26, z: 0 },
{ x: 2.5, y: 11, z: 0 },
{ x: 3, y: 6, z: 0 },
{ x: 4, y: 3.5, z: 0 },
{ x: 5, y: 2.67, z: 0 },
{ x: 6, y: 2.25, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 6,
offset: [0.5, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 2, y: -50, z: 0 },
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 50, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [1, -0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- showZAxis: false

### Horizontale Asymptoten finden

**Regeln für rationale Funktionen:**

Der Zähler habe den Grad $$m$$ und der Nenner den Grad $$n$$.

Visible text: Der Zähler habe den Grad und der Nenner den Grad .

1. Wenn $$m < n$$: Die horizontale Asymptote ist $$y = 0$$
2. Wenn $$m = n$$: Die horizontale Asymptote ist $$y = \frac{a}{b}$$ (Verhältnis der führenden Koeffizienten)
3. Wenn $$m > n$$: Keine horizontale Asymptote (aber es könnte eine schräge Asymptote geben)

Visible text: 1. Wenn : Die horizontale Asymptote ist 
2. Wenn : Die horizontale Asymptote ist (Verhältnis der führenden Koeffizienten)
3. Wenn : Keine horizontale Asymptote (aber es könnte eine schräge Asymptote geben)

**Beispiel:** Bestimme die waagerechte Asymptote der folgenden Funktionen:

1. $$f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 4}$$

   **Lösung:**

   Der Zählergrad ist $$= 1$$ und der Nennergrad ist $$= 2$$. Da $$1 < 2$$, beträgt die horizontale Asymptote $$y = 0$$.

2. $$g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}$$

   **Lösung:**

   Der Zählergrad ist $$= 2$$ und der Nennergrad ist $$= 2$$. Da die Grade gleich sind, beträgt die horizontale Asymptote $$y = \frac{3}{2}$$.

Visible text: 1. 

 **Lösung:**

 Der Zählergrad ist und der Nennergrad ist . Da , beträgt die horizontale Asymptote .

2. 

 **Lösung:**

 Der Zählergrad ist und der Nennergrad ist . Da die Grade gleich sind, beträgt die horizontale Asymptote .

Sehen wir uns an, wie sich die Funktion der horizontalen Asymptote annähert:

| $$x$$ | $$g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}$$ | Annäherung an |
| -------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------- |
| $$10$$ | $$\frac{3(100) - 1}{2(100) + 5} = \frac{299}{205} \approx 1{,}459$$ | $$1{,}5$$ |
| $$100$$ | $$\frac{29999}{20005} \approx 1{,}4996$$ | $$1{,}5$$ |
| $$1000$$ | $$\frac{2999999}{2000005} \approx 1{,}499996$$ | $$1{,}5$$ |

Visible text: | | | Annäherung an |
| -------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------- |
| | | |
| | | |
| | | |

Component: LineEquation
Props:
- title: Graph von $$g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}$$ mit
waagerechter Asymptote
  Visible text: Graph von mit
waagerechter Asymptote
- description: Für $$x \to \pm\infty$$ nähert sich der Graph der
Geraden $$y = 1{,}5$$.
  Visible text: Für nähert sich der Graph der
Geraden .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 40 }, (_, i) => {
const x = -10 + i * 0.5;
const y = (3 * x * x - 1) / (2 * x * x + 5);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -10, y: 1.5, z: 0 },
{ x: 0, y: 1.5, z: 0 },
{ x: 10, y: 1.5, z: 0 },
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=1{,}5$$, at: 1, offset: [2, 0.5, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 40 }, (_, i) => {
const x = -10 + i * 0.5;
const y = (3 * x * x - 1) / (2 * x * x + 5);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -10, y: 1.5, z: 0 },
{ x: 0, y: 1.5, z: 0 },
{ x: 10, y: 1.5, z: 0 },
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [2, 0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- showZAxis: false

### Schrägasymptoten finden

Bei $$\text{Grad des Zählers} = \text{Grad des Nenners} + 1$$ treten schräge Asymptoten auf.

Visible text: Bei treten schräge Asymptoten auf.

**Vorgehen:** Führe eine Polynomdivision durch.

**Beispiel:** Bestimme die schräge Asymptote von $$f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$$.

Visible text: **Beispiel:** Bestimme die schräge Asymptote von .

**Lösung:**
Die Polynomdivision liefert:

```math
f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1} = x + 3 + \frac{2}{x - 1}
```

Bei $$x \to \pm\infty$$ ist der Term $$\frac{2}{x - 1} \to 0$$

Visible text: Bei ist der Term

Daher schräge Asymptote: $$y = x + 3$$

Visible text: Daher schräge Asymptote:

Component: LineEquation
Props:
- title: Graph von $$f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}$$ mit
schräger Asymptote
  Visible text: Graph von mit
schräger Asymptote
- description: Für $$x \to \pm\infty$$ nähert sich der Graph der
Geraden $$y = x + 3$$.
  Visible text: Für nähert sich der Graph der
Geraden .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 30 }, (_, i) => {
const x = -8 + i * 0.3;
if (Math.abs(x - 1) < 0.1) return null;
const y = (x * x + 2 * x - 1) / (x - 1);
return { x, y, z: 0 };
}).filter((p) => p !== null),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 30 }, (_, i) => {
const x = 1.3 + i * 0.3;
const y = (x * x + 2 * x - 1) / (x - 1);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -8, y: -5, z: 0 },
{ x: 0, y: 3, z: 0 },
{ x: 10, y: 13, z: 0 },
],
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=x+3$$, at: 1, offset: [3, 1.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 1, y: -10, z: 0 },
{ x: 1, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 15, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$x=1$$, at: 1, offset: [1, -0.5, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 30 }, (_, i) => {
const x = -8 + i * 0.3;
if (Math.abs(x - 1) < 0.1) return null;
const y = (x * x + 2 * x - 1) / (x - 1);
return { x, y, z: 0 };
}).filter((p) => p !== null),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 30 }, (_, i) => {
const x = 1.3 + i * 0.3;
const y = (x * x + 2 * x - 1) / (x - 1);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -8, y: -5, z: 0 },
{ x: 0, y: 3, z: 0 },
{ x: 10, y: 13, z: 0 },
],
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [3, 1.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 1, y: -10, z: 0 },
{ x: 1, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 15, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [1, -0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- showZAxis: false

## Graphen mit Asymptoten zeichnen

Asymptoten sind beim Zeichnen von Funktionsgraphen sehr hilfreich. Hier sind die Schritte:

1. **Bestimme alle Asymptoten** (senkrecht, waagerecht oder schräg)
2. **Zeichne die Asymptoten als Hilfslinien**
3. **Bestimme die Achsenschnittpunkte**
4. **Berechne einige zusätzliche Punkte**
5. **Zeichne die Kurvenäste** passend zu Punkten und Grenzverhalten

**Vollständiges Beispiel:** Zeichne den Graphen von $$f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$$.

Visible text: **Vollständiges Beispiel:** Zeichne den Graphen von .

**Schritt** $$1$$: Asymptoten bestimmen

Visible text: **Schritt** : Asymptoten bestimmen

- Vertikale Asymptote: $$x = 2$$ ($$\text{Nenner} = 0$$)
- Horizontale Asymptote: $$y = 1$$ (gleicher Grad, Koeffizientenverhältnis $$= 1/1$$)

Visible text: - Vertikale Asymptote: ()
- Horizontale Asymptote: (gleicher Grad, Koeffizientenverhältnis )

**Schritt** $$2$$: Achsenschnittpunkte bestimmen

Visible text: **Schritt** : Achsenschnittpunkte bestimmen

- $$y$$-Achse: $$f(0) = \frac{0 + 1}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$$
- $$x$$-Achse: $$0 = \frac{x + 1}{x - 2}$$, also $$x = -1$$

Visible text: - -Achse: 
- -Achse: , also

**Schritt** $$3$$: Verhalten rund um Asymptoten

Visible text: **Schritt** : Verhalten rund um Asymptoten

- Bei $$x \to 2^-$$: $$f(x) \to -\infty$$
- Bei $$x \to 2^+$$: $$f(x) \to +\infty$$
- Bei $$x \to \pm\infty$$: $$f(x) \to 1$$

Visible text: - Bei : 
- Bei : 
- Bei :

**Schritt** $$4$$: Wertetabelle als Hilfe beim Zeichnen

Visible text: **Schritt** : Wertetabelle als Hilfe beim Zeichnen

| $$x$$ | $$f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$$ | Beschreibung |
| ------------------------ | ----------------------------------------------------------------- | -------------------------------- |
| $$-3$$ | $$\frac{-3 + 1}{-3 - 2} = \frac{-2}{-5} = 0{,}4$$ | Punkt im Quadranten II |
| $$-1$$ | $$\frac{-1 + 1}{-1 - 2} = \frac{0}{-3} = 0$$ | $$x$$-Achsenschnittpunkt |
| $$0$$ | $$\frac{0 + 1}{0 - 2} = \frac{1}{-2} = -0{,}5$$ | $$y$$-Achsenschnittpunkt |
| $$1$$ | $$\frac{1 + 1}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2$$ | Annäherung an die vertikale Asymptote |
| $$3$$ | $$\frac{3 + 1}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4$$ | Rechts der senkrechten Asymptote |
| $$5$$ | $$\frac{5 + 1}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$$ | Annäherung an die horizontale Asymptote |

Visible text: | | | Beschreibung |
| ------------------------ | ----------------------------------------------------------------- | -------------------------------- |
| | | Punkt im Quadranten II |
| | | -Achsenschnittpunkt |
| | | -Achsenschnittpunkt |
| | | Annäherung an die vertikale Asymptote |
| | | Rechts der senkrechten Asymptote |
| | | Annäherung an die horizontale Asymptote |

Component: LineEquation
Props:
- title: Vollständiger Graph von $$f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$$
  Visible text: Vollständiger Graph von
- description: Der Graph hat die senkrechte Asymptote $$x = 2$$ und
die waagerechte Asymptote $$y = 1$$.
  Visible text: Der Graph hat die senkrechte Asymptote und
die waagerechte Asymptote .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 40 }, (_, i) => {
const x = -5 + i * 0.175;
if (Math.abs(x - 2) < 0.05) return null;
const y = (x + 1) / (x - 2);
if (Math.abs(y) > 20) return null;
return { x, y, z: 0 };
}).filter((p) => p !== null),
color: "#0284c7",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 40 }, (_, i) => {
const x = 2.05 + i * 0.175;
const y = (x + 1) / (x - 2);
if (Math.abs(y) > 20) return null;
return { x, y, z: 0 };
}).filter((p) => p !== null),
color: "#0284c7",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 2, y: -20, z: 0 },
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 20, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$x=2$$, at: 1, offset: [2, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -5, y: 1, z: 0 },
{ x: 0, y: 1, z: 0 },
{ x: 9, y: 1, z: 0 },
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=1$$, at: 1, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: -1, y: 0, z: 0 }],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$(-1,0)$$, at: 0, offset: [-1, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: -0.5, z: 0 }],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$(0,-0{,}5)$$, at: 0, offset: [-1.5, -1, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 40 }, (_, i) => {
const x = -5 + i * 0.175;
if (Math.abs(x - 2) < 0.05) return null;
const y = (x + 1) / (x - 2);
if (Math.abs(y) > 20) return null;
return { x, y, z: 0 };
}).filter((p) => p !== null),
color: "#0284c7",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 40 }, (_, i) => {
const x = 2.05 + i * 0.175;
const y = (x + 1) / (x - 2);
if (Math.abs(y) > 20) return null;
return { x, y, z: 0 };
}).filter((p) => p !== null),
color: "#0284c7",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 2, y: -20, z: 0 },
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 20, z: 0 },
],
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [2, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -5, y: 1, z: 0 },
{ x: 0, y: 1, z: 0 },
{ x: 9, y: 1, z: 0 },
],
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: -1, y: 0, z: 0 }],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-1, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: -0.5, z: 0 }],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-1.5, -1, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- showZAxis: false

## Übungsaufgaben

1. Bestimme alle Asymptoten von $$f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 3}$$.

2. Bestimme die Asymptoten von $$g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}$$.

3. Die durchschnittliche Kostenfunktion eines Produkts ist $$C(x) = \frac{500 + 3x}{x}$$. Bestimme den Grenzwert der Kosten pro Einheit, wenn die Produktion unbegrenzt wächst.

4. Zeichne eine Skizze des Graphen $$h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$$ einschließlich seiner Asymptoten.

Visible text: 1. Bestimme alle Asymptoten von .

2. Bestimme die Asymptoten von .

3. Die durchschnittliche Kostenfunktion eines Produkts ist . Bestimme den Grenzwert der Kosten pro Einheit, wenn die Produktion unbegrenzt wächst.

4. Zeichne eine Skizze des Graphen einschließlich seiner Asymptoten.

### Ausführliche Lösungen

**Aufgabe** $$1$$:

Visible text: **Aufgabe** :

Der Nenner wird bei $$x = 3$$ null, während der Zähler dort den Wert $$2(3)^2 - 3(3) + 1 = 10$$ hat. Weil der Zähler nicht ebenfalls null wird, ist $$x = 3$$ eine senkrechte Asymptote.

Visible text: Der Nenner wird bei null, während der Zähler dort den Wert hat. Weil der Zähler nicht ebenfalls null wird, ist eine senkrechte Asymptote.

Die Polynomdivision trennt das langfristige lineare Verhalten vom Restterm:

```math
\frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 3} = 2x + 3 + \frac{10}{x - 3}
```

Für $$x \to \pm\infty$$ gilt $$\frac{10}{x - 3} \to 0$$. Daher ist $$y = 2x + 3$$ die schräge Asymptote.

Visible text: Für gilt . Daher ist die schräge Asymptote.

**Aufgabe** $$2$$:

Visible text: **Aufgabe** :

Zähler und Nenner werden zuerst faktorisiert:

Component: MathContainer
Children:

```math
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
```

```math
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
```

Es gibt keinen gemeinsamen Faktor, der gekürzt werden könnte. Daher sind die Nennernullstellen $$x = -3$$ und $$x = 3$$ senkrechte Asymptoten. Die Zählernullstellen $$x = -2$$ und $$x = 2$$ sind Schnittpunkte mit der $$x$$-Achse. Zähler und Nenner haben denselben Grad und beide Leitkoeffizienten sind $$1$$. Somit ist $$y = 1$$ die waagerechte Asymptote.

Visible text: Es gibt keinen gemeinsamen Faktor, der gekürzt werden könnte. Daher sind die Nennernullstellen und senkrechte Asymptoten. Die Zählernullstellen und sind Schnittpunkte mit der -Achse. Zähler und Nenner haben denselben Grad und beide Leitkoeffizienten sind . Somit ist die waagerechte Asymptote.

**Aufgabe** $$3$$:

Visible text: **Aufgabe** :

```math
C(x) = \frac{500 + 3x}{x} = \frac{500}{x} + 3
```

Für $$x \to \infty$$ gilt $$\frac{500}{x} \to 0$$. Daher folgt $$C(x) \to 3$$. Die Kosten nähern sich $$3$$ pro Einheit, erreichen diesen Wert aber für kein endliches positives $$x$$.

Visible text: Für gilt . Daher folgt . Die Kosten nähern sich pro Einheit, erreichen diesen Wert aber für kein endliches positives .

**Aufgabe** $$4$$:

Visible text: **Aufgabe** :

Der Nenner wird als $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ faktorisiert. Keiner der Faktoren kürzt sich mit dem Zähler. Deshalb sind $$x = -1$$ und $$x = 1$$ senkrechte Asymptoten. Da der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist, gilt $$h(x) \to 0$$ für $$x \to \pm\infty$$. Die waagerechte Asymptote ist also $$y = 0$$.

Visible text: Der Nenner wird als faktorisiert. Keiner der Faktoren kürzt sich mit dem Zähler. Deshalb sind und senkrechte Asymptoten. Da der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist, gilt für . Die waagerechte Asymptote ist also .

Die beiden senkrechten Asymptoten teilen den Definitionsbereich in drei Intervalle. $$h(x)$$ ist für $$x < -1$$ negativ, für $$-1 < x < 0$$ positiv, für $$0 < x < 1$$ negativ und für $$x > 1$$ positiv. Zusammen mit dem Achsenschnittpunkt $$(0,0)$$ bestimmen diese Vorzeichen die Lage aller drei Kurvenäste.

Visible text: Die beiden senkrechten Asymptoten teilen den Definitionsbereich in drei Intervalle. ist für negativ, für positiv, für negativ und für positiv. Zusammen mit dem Achsenschnittpunkt bestimmen diese Vorzeichen die Lage aller drei Kurvenäste.

Wertetabelle für $$h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$$:

Visible text: Wertetabelle für :

| $$x$$ | $$h(x)$$ | Beschreibung |
| -------------------------- | ------------------------------------------------------- | ----------- |
| $$-2$$ | $$\frac{-2}{4-1} = -\frac{2}{3}$$ | Linker Teil |
| $$-0{,}5$$ | $$\frac{-0{,}5}{0{,}25-1} = \frac{2}{3}$$ | Mittelteil |
| $$0$$ | $$\frac{0}{0-1} = 0$$ | Achsenschnittpunkt |
| $$0{,}5$$ | $$\frac{0{,}5}{0{,}25-1} = -\frac{2}{3}$$ | Mittelteil |
| $$2$$ | $$\frac{2}{4-1} = \frac{2}{3}$$ | Rechter Teil |

Visible text: | | | Beschreibung |
| -------------------------- | ------------------------------------------------------- | ----------- |
| | | Linker Teil |
| | | Mittelteil |
| | | Achsenschnittpunkt |
| | | Mittelteil |
| | | Rechter Teil |

Component: LineEquation
Props:
- title: Graph von $$h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$$ mit zwei
senkrechten Asymptoten
  Visible text: Graph von mit zwei
senkrechten Asymptoten
- description: Der Graph hat senkrechte Asymptoten bei $$x = -1$$ und{" "}
$$x = 1$$ sowie die waagerechte Asymptote{" "}
$$y = 0$$.
  Visible text: Der Graph hat senkrechte Asymptoten bei und 
 sowie die waagerechte Asymptote 
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 20 }, (_, i) => {
const x = -3 + i * 0.095;
const y = x / (x * x - 1);
if (Math.abs(y) > 10) return null;
return { x, y, z: 0 };
}).filter((p) => p !== null),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 20 }, (_, i) => {
const x = -0.95 + i * 0.09;
const y = x / (x * x - 1);
if (Math.abs(y) > 10) return null;
return { x, y, z: 0 };
}).filter((p) => p !== null),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 20 }, (_, i) => {
const x = 1.05 + i * 0.095;
const y = x / (x * x - 1);
if (Math.abs(y) > 10) return null;
return { x, y, z: 0 };
}).filter((p) => p !== null),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: -1, y: -10, z: 0 },
{ x: -1, y: 0, z: 0 },
{ x: -1, y: 10, z: 0 },
],
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labels: [{ text: $$x=-1$$, at: 1, offset: [-2, 1, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 1, y: -10, z: 0 },
{ x: 1, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 10, z: 0 },
],
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{
points: [
{ x: -3, y: 0, z: 0 },
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{ x: 3, y: 0, z: 0 },
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  Visible text: [
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const x = -3 + i * 0.095;
const y = x / (x * x - 1);
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