# Grundidee logarithmischer Funktionen
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Logarithmen als Umkehrung von Exponentialfunktionen verstehen: mit Graphen, Rechenregeln, nachvollziehbaren Beispielen und Übungen.
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## Was leistet eine logarithmische Funktion?
Ein Logarithmus beantwortet eine konkrete Frage: Welcher Exponent erzeugt einen bestimmten Wert? In diesem Sinn machen logarithmische und exponentielle Funktionen einander rückgängig.
Ausgangspunkt ist diese Exponentialgleichung:
```math
2^3 = 8
```
Der Exponent, der $$2$$ in $$8$$ verwandelt, ist $$3$$. Die logarithmische Schreibweise hält dieselbe Beziehung aus der umgekehrten Richtung fest:
Visible text: Der Exponent, der in verwandelt, ist . Die logarithmische Schreibweise hält dieselbe Beziehung aus der umgekehrten Richtung fest:
```math
\log_2 8 = 3
```
Allgemein hängen exponentielle und logarithmische Schreibweise so zusammen:
```math
y = b^x \quad \Leftrightarrow \quad x = \log_b y
```
## Definition und Arten von Logarithmen
Eine logarithmische Funktion zur Basis $$b$$ mit $$b > 0$$ und $$b \neq 1$$ hat die Form:
Visible text: Eine logarithmische Funktion zur Basis mit und hat die Form:
```math
f(x) = \log_b x \quad \text{für jeden} x > 0
```
Drei Basen kommen besonders häufig vor:
1. **Zehnerlogarithmus** (Basis $$10$$): $$f(x) = \log x$$
Beispiel: $$\log 100 = 2$$ weil $$10^2 = 100$$
2. **Natürlicher Logarithmus** (Basis $$e \approx 2{,}7183$$): $$f(x) = \ln x$$
Beispiel: $$\ln e = 1$$ weil $$e^1 = e$$
3. **Binärer Logarithmus** (Basis $$2$$): $$f(x) = \log_2 x$$
Beispiel: $$\log_2 8 = 3$$ weil $$2^3 = 8$$
Visible text: 1. **Zehnerlogarithmus** (Basis ):
Beispiel: weil
2. **Natürlicher Logarithmus** (Basis ):
Beispiel: weil
3. **Binärer Logarithmus** (Basis ):
Beispiel: weil
## Graph einer logarithmischen Funktion
Component: LineEquation
Props:
- title: Vergleich von Exponential- und Logarithmusfunktionen
- description: Der Graph von $$y = \log_2 x$$ ist die Spiegelung des
Graphen von $$y = 2^x$$ an der Geraden{" "}
$$y = x$$.
Visible text: Der Graph von ist die Spiegelung des
Graphen von an der Geraden
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 - 1;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$y=2^x$$, at: 80, offset: [1.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 8 + 0.1;
return { x, y: Math.log2(x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$y=\log_{2} x$$, at: 80, offset: [0.5, -1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 50 }, (_, i) => {
const x = (i / 49) * 4 - 1;
return { x, y: x, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$y=x$$, at: 40, offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 - 1;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 80, offset: [1.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 8 + 0.1;
return { x, y: Math.log2(x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , at: 80, offset: [0.5, -1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 50 }, (_, i) => {
const x = (i / 49) * 4 - 1;
return { x, y: x, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , at: 40, offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
**Eigenschaften des Graphen** von $$f(x) = \log_b x$$ für $$b > 1$$:
Visible text: **Eigenschaften des Graphen** von für :
- Definitionsbereich: $$x > 0$$
- Wertebereich: alle reellen Zahlen
- Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse: $$(1, 0)$$
- Senkrechte Asymptote: die $$y$$-Achse mit $$x = 0$$
- Die Funktion ist für $$b > 1$$ streng monoton steigend
Visible text: - Definitionsbereich:
- Wertebereich: alle reellen Zahlen
- Schnittpunkt mit der -Achse:
- Senkrechte Asymptote: die -Achse mit
- Die Funktion ist für streng monoton steigend
## Eigenschaften von Logarithmen
### Grundlegende Eigenschaften
Component: MathContainer
Children:
```math
\log_b 1 = 0
```
```math
\log_b b = 1
```
```math
\log_b b^n = n
```
```math
b^{\log_b x} = x
```
### Rechenregeln
Component: MathContainer
Children:
```math
\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y
```
```math
\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y
```
```math
\log_b x^n = n \cdot \log_b x
```
```math
\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b} \quad \text{(Basiswechsel)}
```
## Ein anschauliches Wachstumsmodell aus zwei Datenpunkten
Das [indonesische Gesundheitsministerium meldete am 2. März 2020 zwei bestätigte COVID-19-Fälle](https://kemkes.go.id/id/positif-covid-19-usai-kontak-dengan-wn-jepang). Später [meldete es am 30. April 2020 insgesamt 10.118 bestätigte Fälle](https://kemkes.go.id/id/pasien-positif-covid-19-capai-10-ribu). Zwischen beiden Meldungen liegen $$59 \text{ vergangene Tage}$$.
Visible text: Das [indonesische Gesundheitsministerium meldete am 2. März 2020 zwei bestätigte COVID-19-Fälle](https://kemkes.go.id/id/positif-covid-19-usai-kontak-dengan-wn-jepang). Später [meldete es am 30. April 2020 insgesamt 10.118 bestätigte Fälle](https://kemkes.go.id/id/pasien-positif-covid-19-capai-10-ribu). Zwischen beiden Meldungen liegen .
Um Logarithmen anzuwenden, passen wir eine einfache Exponentialkurve an diese beiden gemeldeten Werte an. Dabei bezeichnet $$t$$ die seit dem 2. März vergangenen Tage und $$P(t)$$ die Fallzahl auf der Kurve. Aus $$P(0)=2$$ und $$P(59)=10{.}118$$ folgt:
Visible text: Um Logarithmen anzuwenden, passen wir eine einfache Exponentialkurve an diese beiden gemeldeten Werte an. Dabei bezeichnet die seit dem 2. März vergangenen Tage und die Fallzahl auf der Kurve. Aus und folgt:
Component: ContentStack
Children:
```math
P(t) = 2e^{\frac{1}{59}\ln(5059)t}
```
Component: LineEquation
Props:
- title: Exponentialfunktion durch zwei Datenpunkte
- description: Eine Kurve durch die beiden gemeldeten Fallzahlen mit kurzer Extrapolation
- data: [
{
points: Array.from({ length: 72 }, (_, i) => {
const t = i;
const P = 2 * Math.exp((1 / 59) * Math.log(5059) * t);
return { x: t, y: P, z: 0 };
}),
color: "#dc2626",
labels: [{ text: $$P(t)$$, at: 3, offset: [2, -0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 72 }, (_, i) => {
const t = i;
const P = 2 * Math.exp((1 / 59) * Math.log(5059) * t);
return { x: t, y: P, z: 0 };
}),
color: "#dc2626",
labels: [{ text: , at: 3, offset: [2, -0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [15, 10, 15]
- showZAxis: false
Wird die angepasste Rate fortgeschrieben, erreicht die Kurve den Schwellenwert $$50{.}000$$ laut logarithmischer Rechnung bei:
Visible text: Wird die angepasste Rate fortgeschrieben, erreicht die Kurve den Schwellenwert laut logarithmischer Rechnung bei:
Component: MathContainer
Children:
```math
50000 = 2e^{\frac{1}{59}\ln(5059)t}
```
```math
t = \frac{59 \cdot \ln(25000)}{\ln(5059)} \approx 70{,}1 \text{Tage}
```
Das ist eine mathematische Illustration, keine epidemiologische Prognose. Bestätigte Fallzahlen hängen auch von Tests, Meldesystemen, Verhalten und gesundheitspolitischen Maßnahmen ab. Eine feste exponentielle Rate darf deshalb nicht unbegrenzt fortgeschrieben werden.
## Übungen
1. Bestimmen Sie den Wert von:
- $$\log_3 27$$
- $$\log_5 \frac{1}{125}$$
- $$\ln e^3$$
2. Wenn $$\log_2 x = 4$$, bestimmen Sie den Wert von $$x$$.
3. Vereinfachen Sie: $$\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2$$
4. Eine Investition wächst nach der Formel $$A = 1000 \cdot 2^t$$ (in Millionen Rupiah). Wie viele Jahre sind nötig, bis die Investition $$8 \text{Milliarden Rupiah}$$ beträgt?
Visible text: 1. Bestimmen Sie den Wert von:
-
-
-
2. Wenn , bestimmen Sie den Wert von .
3. Vereinfachen Sie:
4. Eine Investition wächst nach der Formel (in Millionen Rupiah). Wie viele Jahre sind nötig, bis die Investition beträgt?
### Ausführliche Lösungen
1. Jeder Logarithmus ist als Frage nach einem Exponenten zu lesen. Die gesuchten Potenzen sind:
```math
3^3=27\quad\Longrightarrow\quad\log_3 27=3
```
```math
5^{-3}=\frac{1}{125}\quad\Longrightarrow\quad\log_5\frac{1}{125}=-3
```
```math
e^3=e^3\quad\Longrightarrow\quad\ln e^3=3
```
2. Zuerst wird die logarithmische Gleichung in die exponentielle Form umgeschrieben:
```math
\log_2 x=4\quad\Longleftrightarrow\quad x=2^4=16
```
Mit $$x=16$$ ergibt die Probe $$\log_2 16=4$$. Das Ergebnis stimmt also.
3. Zunächst werden die drei Potenzen zur Basis $$2$$ bestimmt und anschließend verrechnet:
```math
\log_2 8+\log_2 4-\log_2 2=3+2-1=4
```
4. In der Formel wird $$A$$ in Millionen Rupiah angegeben. Daher gilt $$8 \text{ Milliarden Rupiah}=8000 \text{ Millionen Rupiah}$$. Nun wird der Zielwert eingesetzt und der Exponentialterm freigestellt:
```math
8000=1000\cdot2^t
```
```math
8=2^t
```
```math
2^3=2^t\quad\Longrightarrow\quad t=3
```
Die Investition erreicht den Zielwert nach $$3 \text{ Jahren}$$.
Visible text: 1. Jeder Logarithmus ist als Frage nach einem Exponenten zu lesen. Die gesuchten Potenzen sind:
2. Zuerst wird die logarithmische Gleichung in die exponentielle Form umgeschrieben:
Mit ergibt die Probe . Das Ergebnis stimmt also.
3. Zunächst werden die drei Potenzen zur Basis bestimmt und anschließend verrechnet:
4. In der Formel wird in Millionen Rupiah angegeben. Daher gilt . Nun wird der Zielwert eingesetzt und der Exponentialterm freigestellt:
Die Investition erreicht den Zielwert nach .