# Absolutwertfunktion
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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-modeling/absolute-value-function/de.mdx
Absolutwerte als Abstände verstehen, Graphen gezielt transformieren und Gleichungen sowie Ungleichungen Schritt für Schritt lösen.
---
## Absolutwertfunktionen verstehen
Die Absolutwert-Grundfunktion ordnet jeder reellen Zahl ihren Abstand von null auf der Zahlengeraden zu. Da ein Abstand nie negativ ist, liefert $$f(x)=|x|$$ stets einen nichtnegativen Wert. Transformationen können den Grundgraphen verschieben oder spiegeln, sodass die Ausgaben einer transformierten Absolutwertfunktion nicht immer nichtnegativ sein müssen.
Visible text: Die Absolutwert-Grundfunktion ordnet jeder reellen Zahl ihren Abstand von null auf der Zahlengeraden zu. Da ein Abstand nie negativ ist, liefert stets einen nichtnegativen Wert. Transformationen können den Grundgraphen verschieben oder spiegeln, sodass die Ausgaben einer transformierten Absolutwertfunktion nicht immer nichtnegativ sein müssen.
### Mathematische Definition
Für jede reelle Zahl $$x$$ ist die Absolutwertfunktion wie folgt definiert:
Visible text: Für jede reelle Zahl ist die Absolutwertfunktion wie folgt definiert:
```math
f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{wenn} x \geq 0 \\ -x, & \text{wenn} x < 0 \end{cases}
```
**Komponenten von Absolutwertfunktionen:**
- Das Symbol $$|x|$$ liest man als Absolutwert von $$x$$.
- Der Funktionswert ist immer nichtnegativ: $$|x| \geq 0$$.
- Die Funktion ist gerade: $$|-x| = |x|$$.
Visible text: - Das Symbol liest man als Absolutwert von .
- Der Funktionswert ist immer nichtnegativ: .
- Die Funktion ist gerade: .
## Eigenschaften von Absolutwertfunktionen
Aus der Deutung als Abstand folgen diese grundlegenden Eigenschaften:
**Grundlegende Eigenschaften:**
Component: MathContainer
Children:
```math
|x| \geq 0 \text{für alle} x \in \mathbb{R}
```
```math
|-x| = |x|
```
```math
|x|^2 = x^2
```
```math
|xy| = |x| \cdot |y|
```
```math
\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}, \text{mit} y \neq 0
```
**Eigenschaften der Dreiecksungleichung:**
Component: MathContainer
Children:
```math
|x + y| \leq |x| + |y|
```
```math
||x| - |y|| \leq |x - y|
```
## Graphen von Absolutwertfunktionen
Der Graph der Grundfunktion macht die Abstandsidee sichtbar:
Component: LineEquation
Props:
- title: Funktionsgraph $$f(x) = |x|$$
Visible text: Funktionsgraph
- description: Der Graph ist V-förmig und hat seinen Scheitelpunkt im Ursprung.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$f(x)=|x|$$, at: 15, offset: [1, -1, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 15, offset: [1, -1, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
**Wertetabelle für Funktion $$f(x) = |x|$$:**
Visible text: **Wertetabelle für Funktion :**
| $$x$$ | $$-4$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ |
| ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- |
| $$f(x) = \lvert x \rvert$$ | $$4$$ | $$3$$ | $$2$$ | $$1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ |
Visible text: | | | | | | | | | | |
| ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- | ---------------------- |
| | | | | | | | | | |
## Transformationen von Absolutwertfunktionen
Absolutwertfunktionen können auf verschiedene Arten transformiert werden:
### Vertikale Verschiebung
Die Funktion $$f(x) = |x| + k$$ verschiebt den Graphen nach oben (wenn $$k > 0$$) oder nach unten (wenn $$k < 0$$).
Visible text: Die Funktion verschiebt den Graphen nach oben (wenn ) oder nach unten (wenn ).
Component: LineEquation
Props:
- title: Vertikale Verschiebung
- description: Vergleich von $$f(x) = |x|$$ mit{" "}
$$g(x) = |x| + 2$$ und{" "}
$$h(x) = |x| - 2$$.
Visible text: Vergleich von mit
und
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$f(x)=|x|$$, at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x) + 2, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$g(x)=|x|+2$$, at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x) - 2, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$h(x)=|x|-2$$, at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x) + 2, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x) - 2, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
### Horizontale Verschiebung
Die Funktion $$f(x) = |x - h|$$ verschiebt den Graphen nach rechts (wenn $$h > 0$$) oder nach links (wenn $$h < 0$$).
Visible text: Die Funktion verschiebt den Graphen nach rechts (wenn ) oder nach links (wenn ).
Component: LineEquation
Props:
- title: Horizontale Verschiebung
- description: Vergleich von $$f(x) = |x|$$ mit{" "}
$$g(x) = |x - 3|$$ und{" "}
$$h(x) = |x + 3|$$.
Visible text: Vergleich von mit
und
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$f(x)=|x|$$, at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x - 3), z: 0 };
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$g(x)=|x-3|$$, at: 12, offset: [3, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x + 3), z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$h(x)=|x+3|$$, at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x - 3), z: 0 };
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 12, offset: [3, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x + 3), z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
### Streckung und Stauchung
Die Funktion $$f(x) = a|x|$$ verändert je nach Faktor die Steilheit und gegebenenfalls die Orientierung des Graphen:
Visible text: Die Funktion verändert je nach Faktor die Steilheit und gegebenenfalls die Orientierung des Graphen:
- Für $$|a| > 1$$ wird der Graph steiler.
- Für $$0 < |a| < 1$$ wird der Graph flacher.
- Für $$a < 0$$ wird der Graph zusätzlich an der $$x$$-Achse gespiegelt.
Visible text: - Für wird der Graph steiler.
- Für wird der Graph flacher.
- Für wird der Graph zusätzlich an der -Achse gespiegelt.
Der direkte Vergleich zeigt den Einfluss des Faktors:
Component: LineEquation
Props:
- title: Streckung und Stauchung
- description: Vergleich von $$f(x) = |x|$$ mit{" "}
$$g(x) = 2|x|$$ und $$h(x) = 0{,}5|x|$$.
Visible text: Vergleich von mit
und .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$f(x)=|x|$$, at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: 2 * Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$g(x)=2|x|$$, at: 12, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: 0.5 * Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: $$h(x)=0{,}5|x|$$, at: 12, offset: [3, 0.2, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 12, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: 2 * Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 12, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i - 10;
return { x, y: 0.5 * Math.abs(x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
smooth: false,
labels: [{ text: , at: 12, offset: [3, 0.2, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
## Allgemeine Form von Absolutwertfunktionen
Die allgemeine Form einer Absolutwertfunktion ist:
```math
f(x) = a|x - h| + k
```
Dabei gilt:
- $$a$$ steuert Streckung, Stauchung und Spiegelung.
- $$h$$ bestimmt die horizontale Verschiebung.
- $$k$$ bestimmt die vertikale Verschiebung.
- Der Scheitelpunkt liegt bei $$(h, k)$$
Visible text: - steuert Streckung, Stauchung und Spiegelung.
- bestimmt die horizontale Verschiebung.
- bestimmt die vertikale Verschiebung.
- Der Scheitelpunkt liegt bei
**Transformationstabelle:**
| Parameter | Wert | Auswirkung auf den Graphen |
| ---------------- | ------------ | --------------------- |
| $$\lvert a \rvert > 1$$ | Betrag $$> 1$$ | Graph wird steiler |
| $$0 < \lvert a \rvert < 1$$ | Betrag $$< 1$$ | Graph wird flacher |
| $$a < 0$$ | Negativ | Graph wird zusätzlich an der $$x$$-Achse gespiegelt |
| $$h > 0$$ | Positiv | Nach rechts verschieben |
| $$h < 0$$ | Negativ | Nach links verschieben |
| $$k > 0$$ | Positiv | Nach oben verschieben |
| $$k < 0$$ | Negativ | Nach unten verschieben |
Visible text: | Parameter | Wert | Auswirkung auf den Graphen |
| ---------------- | ------------ | --------------------- |
| | Betrag | Graph wird steiler |
| | Betrag | Graph wird flacher |
| | Negativ | Graph wird zusätzlich an der -Achse gespiegelt |
| | Positiv | Nach rechts verschieben |
| | Negativ | Nach links verschieben |
| | Positiv | Nach oben verschieben |
| | Negativ | Nach unten verschieben |
## Absolutwertgleichungen und Ungleichungen
**Absolutwertgleichungen lösen:**
So lösen Sie $$|x| = a$$ mit $$a \geq 0$$:
Visible text: So lösen Sie mit :
Component: MathContainer
Children:
```math
|x| = a \Rightarrow x = a \text{oder} x = -a
```
**Beispiel:** Lösen Sie $$|x - 3| = 5$$
Visible text: **Beispiel:** Lösen Sie
Component: MathContainer
Children:
```math
|x - 3| = 5
```
```math
x - 3 = 5 \text{oder} x - 3 = -5
```
```math
x = 8 \text{oder} x = -2
```
**Absolutwertungleichungen lösen:**
Für $$|x| < a$$ mit $$a > 0$$:
Visible text: Für mit :
```math
|x| < a \Rightarrow -a < x < a
```
Für $$|x| > a$$ mit $$a > 0$$:
Visible text: Für mit :
```math
|x| > a \Rightarrow x < -a \text{oder} x > a
```
## Übungen
1. Bestimmen Sie den Wert von $$f(x) = |2x - 6|$$ für $$x = -1, 0, 3, 5$$
2. Lösen Sie die Gleichung $$|3x + 1| = 7$$
3. Lösen Sie die Ungleichung $$|x - 2| < 4$$
4. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Funktion $$f(x) = 2|x - 3| + 1$$
5. Die Entfernung zwischen zwei Städten beträgt $$150 \text{ km}$$. Wenn sich die Stadt $$A$$ an der Koordinate $$-50 \text{ km}$$ befindet, wo befindet sich dann die Stadt $$B$$?
Visible text: 1. Bestimmen Sie den Wert von für
2. Lösen Sie die Gleichung
3. Lösen Sie die Ungleichung
4. Bestimmen Sie den Scheitelpunkt der Funktion
5. Die Entfernung zwischen zwei Städten beträgt . Wenn sich die Stadt an der Koordinate befindet, wo befindet sich dann die Stadt ?
### Ausführliche Lösungen
1. **Funktionswerte für verschiedene Eingaben berechnen:**
Ersetzen Sie jeden Wert von $$x$$ in der Funktion $$f(x) = |2x - 6|$$:
```math
f(-1) = |2(-1) - 6| = |-2 - 6| = |-8| = 8
```
```math
f(0) = |2(0) - 6| = |0 - 6| = |-6| = 6
```
```math
f(3) = |2(3) - 6| = |6 - 6| = |0| = 0
```
```math
f(5) = |2(5) - 6| = |10 - 6| = |4| = 4
```
2. **Absolutwertgleichungen lösen:**
Für die Gleichung $$|3x + 1| = 7$$ verwenden wir die Definition des Absolutwerts, die zwei Möglichkeiten ergibt:
```math
3x + 1 = 7 \quad \text{oder} \quad 3x + 1 = -7
```
```math
3x = 6 \quad \text{oder} \quad 3x = -8
```
```math
x = 2 \quad \text{oder} \quad x = -\frac{8}{3}
```
3. **Absolutwertungleichungen lösen:**
Für $$|x - 2| < 4$$ verwenden wir die Eigenschaft, dass $$|a| < b$$ äquivalent zu $$-b < a < b$$ ist:
```math
-4 < x - 2 < 4
```
```math
-4 + 2 < x < 4 + 2
```
```math
-2 < x < 6
```
Die Lösungsmenge ist also $$x \in (-2, 6)$$.
4. **Bestimmung des Scheitelpunkts:**
Anhand der Funktion $$f(x) = 2|x - 3| + 1$$ können wir die Parameter identifizieren:
- $$a = 2$$ (Streckfaktor)
- $$h = 3$$ (horizontale Verschiebung)
- $$k = 1$$ (vertikale Verschiebung)
Der Scheitelpunkt liegt bei $$(h, k) = (3, 1)$$.
5. **Mögliche Positionen aus dem Abstand bestimmen:**
Der Abstand zwischen den Städten $$A$$ und $$B$$ beträgt $$150 \text{ km}$$. Stadt $$A$$ liegt bei $$-50 \text{ km}$$; die Koordinate von Stadt $$B$$ nennen wir $$x_B$$:
```math
|-50 - x_B| = 150
```
```math
-50 - x_B = 150 \quad \text{oder} \quad -50 - x_B = -150
```
```math
x_B = -50 - 150 = -200 \quad \text{oder} \quad x_B = -50 + 150 = 100
```
Die Stadt $$B$$ kann also an der Koordinate $$100 \text{ km}$$ oder $$-200 \text{ km}$$ liegen.
Visible text: 1. **Funktionswerte für verschiedene Eingaben berechnen:**
Ersetzen Sie jeden Wert von in der Funktion :
2. **Absolutwertgleichungen lösen:**
Für die Gleichung verwenden wir die Definition des Absolutwerts, die zwei Möglichkeiten ergibt:
3. **Absolutwertungleichungen lösen:**
Für verwenden wir die Eigenschaft, dass äquivalent zu ist:
Die Lösungsmenge ist also .
4. **Bestimmung des Scheitelpunkts:**
Anhand der Funktion können wir die Parameter identifizieren:
- (Streckfaktor)
- (horizontale Verschiebung)
- (vertikale Verschiebung)
Der Scheitelpunkt liegt bei .
5. **Mögliche Positionen aus dem Abstand bestimmen:**
Der Abstand zwischen den Städten und beträgt . Stadt liegt bei ; die Koordinate von Stadt nennen wir :
Die Stadt kann also an der Koordinate oder liegen.