# Exponentialfunktion > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionen-und-modelle/exponentialfunktion Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-modeling/exponential-function/de.mdx Exponentielles Wachstum und exponentiellen Zerfall an Graphen, Bevölkerungsmodellen, Halbwertszeiten und Zinseszins verstehen. --- ## Exponentialfunktionen verstehen Bei einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable im Exponenten. Für die Wachstums- und Zerfallsmodelle in dieser Lektion gilt die allgemeine Form $$f(x) = a \cdot b^x$$ mit $$a > 0$$, $$b > 0$$ und $$b \neq 1$$. Visible text: Bei einer Exponentialfunktion steht die unabhängige Variable im Exponenten. Für die Wachstums- und Zerfallsmodelle in dieser Lektion gilt die allgemeine Form mit , und . **Komponenten von Exponentialfunktionen:** In der Funktion $$f(x) = a \cdot b^x$$: Visible text: In der Funktion : - $$a$$ ist der Anfangswert der Funktion. - $$b$$ ist die Basis und bestimmt Wachstum oder Zerfall. - $$x$$ ist die unabhängige Variable im Exponenten. Visible text: - ist der Anfangswert der Funktion. - ist die Basis und bestimmt Wachstum oder Zerfall. - ist die unabhängige Variable im Exponenten. ## Eigenschaften von Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen haben mehrere besondere Eigenschaften, die sie von anderen Funktionen unterscheiden: ### Grundlegende Eigenschaften Component: MathContainer Children: ```math f(0) = a \cdot b^0 = a \cdot 1 = a ``` ```math f(x_1 + x_2) = a \cdot b^{x_1 + x_2} = a \cdot b^{x_1} \cdot b^{x_2} ``` ```math f(x_1 - x_2) = a \cdot b^{x_1 - x_2} = \frac{a \cdot b^{x_1}}{b^{x_2}} ``` ### Typen von Exponentialfunktionen **Exponentielle Wachstumsfunktion** ($$b > 1$$): Visible text: **Exponentielle Wachstumsfunktion** (): - Funktionswerte erhöhen sich mit zunehmendem $$x$$ - Der Graph steigt von links nach rechts - Beispiel: $$f(x) = 2^x$$ Visible text: - Funktionswerte erhöhen sich mit zunehmendem - Der Graph steigt von links nach rechts - Beispiel: **Exponentielle Zerfallsfunktion** ($$0 < b < 1$$): Visible text: **Exponentielle Zerfallsfunktion** (): - Funktionswerte nehmen mit zunehmendem $$x$$ ab - Der Graph fällt von links nach rechts - Beispiel: $$f(x) = (0{,}5)^x$$ Visible text: - Funktionswerte nehmen mit zunehmendem ab - Der Graph fällt von links nach rechts - Beispiel: ## Graphen exponentieller Funktionen Die beiden Grundformen lassen sich im selben Koordinatensystem direkt vergleichen: Component: LineEquation Props: - title: Vergleich von Exponentialfunktionen - description: Der Graph von $$f(x) = 2^x$$ zeigt Wachstum, der Graph von $$g(x) = (0{,}5)^x$$ zeigt Zerfall. Visible text: Der Graph von zeigt Wachstum, der Graph von zeigt Zerfall. - data: [ { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = i * 0.2 - 2; return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, labels: [{ text: $$f(x)=2^x$$, at: 15, offset: [2, -0.5, 0] }], }, { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = i * 0.2 - 2; return { x, y: Math.pow(0.5, x), z: 0 }; }), color: "#ea580c", showPoints: false, labels: [{ text: $$g(x)=(0{,}5)^x$$, at: 5, offset: [-2, -0.5, 0] }], }, ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = i * 0.2 - 2; return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 }; }), color: "#9333ea", showPoints: false, labels: [{ text: , at: 15, offset: [2, -0.5, 0] }], }, { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = i * 0.2 - 2; return { x, y: Math.pow(0.5, x), z: 0 }; }), color: "#ea580c", showPoints: false, labels: [{ text: , at: 5, offset: [-2, -0.5, 0] }], }, ] - cameraPosition: [0, 0, 10] - showZAxis: false Vergleich der Funktionswerte $$f(x) = 2^x$$ und $$g(x) = (0{,}5)^x$$: Visible text: Vergleich der Funktionswerte und : | $$x$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | | ------------------------------------ | ---- | --- | --- | --- | ---- | ----- | | $$f(x) = 2^x$$ | $$0{,}25$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ | $$8$$ | | $$g(x) = (0{,}5)^x$$ | $$4$$ | $$2$$ | $$1$$ | $$0{,}5$$ | $$0{,}25$$ | $$0{,}125$$ | Visible text: | | | | | | | | | ------------------------------------ | ---- | --- | --- | --- | ---- | ----- | | | | | | | | | | | | | | | | | ## Transformationen von Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen können auf verschiedene Arten transformiert werden: ### Vertikale Verschiebung Die Funktion $$f(x) = a \cdot b^x + c$$ verschiebt den Graphen nach oben (wenn $$c > 0$$) oder nach unten (wenn $$c < 0$$). Visible text: Die Funktion verschiebt den Graphen nach oben (wenn ) oder nach unten (wenn ). Component: LineEquation Props: - title: Vertikale Verschiebung - description: Vergleich von $$f(x) = 2^x$$ mit{" "} $$g(x) = 2^x + 2$$. Visible text: Vergleich von mit . - data: [ { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = i * 0.2 - 2; return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 }; }), color: "#0891b2", showPoints: false, labels: [{ text: $$f(x)=2^x$$, at: 15, offset: [1.5, -0.5, 0] }], }, { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = i * 0.2 - 2; return { x, y: Math.pow(2, x) + 2, z: 0 }; }), color: "#db2777", showPoints: false, labels: [{ text: $$g(x)=2^x+2$$, at: 15, offset: [0, 0.5, 0] }], }, ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = i * 0.2 - 2; return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 }; }), color: "#0891b2", showPoints: false, labels: [{ text: , at: 15, offset: [1.5, -0.5, 0] }], }, { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = i * 0.2 - 2; return { x, y: Math.pow(2, x) + 2, z: 0 }; }), color: "#db2777", showPoints: false, labels: [{ text: , at: 15, offset: [0, 0.5, 0] }], }, ] - cameraPosition: [8, 5, 8] - showZAxis: false ### Horizontale Verschiebung Die Funktion $$f(x) = a \cdot b^{x-h}$$ verschiebt den Graphen nach rechts (wenn $$h > 0$$) oder nach links (wenn $$h < 0$$). Visible text: Die Funktion verschiebt den Graphen nach rechts (wenn ) oder nach links (wenn ). ## Anwendungen von Exponentialfunktionen Exponentialfunktionen werden im täglichen Leben häufig verwendet: ### Bevölkerungswachstum Wenn eine Population eine konstante proportionale Wachstumsrate hat und die Bedingungen unverändert bleiben, kann ein exponentielles Modell ihr Wachstum beschreiben. Wenn die Anfangspopulation $$P_0$$ beträgt und die Wachstumsrate $$r$$ pro Zeitraum beträgt, gilt: Visible text: Wenn eine Population eine konstante proportionale Wachstumsrate hat und die Bedingungen unverändert bleiben, kann ein exponentielles Modell ihr Wachstum beschreiben. Wenn die Anfangspopulation beträgt und die Wachstumsrate pro Zeitraum beträgt, gilt: ```math P(t) = P_0 \cdot (1 + r)^t ``` **Beispiel:** Bakterienpopulation, die sich jede Stunde mit einer Rate von $$20\%$$ vermehrt: Visible text: **Beispiel:** Bakterienpopulation, die sich jede Stunde mit einer Rate von vermehrt: - Anfangspopulation: $$1000 \text{Bakterien}$$ - Wachstumsrate: $$r = 0{,}2$$ - Funktion: $$P(t) = 1000 \cdot (1{,}2)^t$$ Visible text: - Anfangspopulation: - Wachstumsrate: - Funktion: ### Wachstumstabelle der Bakterienkultur | Zeit (Stunden) | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$5$$ | | ------------ | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | Bevölkerung | $$1000$$ | $$1200$$ | $$1440$$ | $$1728$$ | $$2074$$ | $$2488$$ | Visible text: | Zeit (Stunden) | | | | | | | | ------------ | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | | Bevölkerung | | | | | | | Das Modell liefert nach $$4$$ beziehungsweise $$5$$ Stunden $$2073{,}6$$ und $$2488{,}32$$. Die Tabelle rundet beide Werte auf die nächste ganze Bakterienzahl. Visible text: Das Modell liefert nach beziehungsweise Stunden und . Die Tabelle rundet beide Werte auf die nächste ganze Bakterienzahl. ### Radioaktiver Zerfall Radioaktive Stoffe zerfallen nach Exponentialfunktionen. Wenn die Anfangsmasse $$M_0$$ und die Halbwertszeit $$t_{1/2}$$ beträgt, dann: Visible text: Radioaktive Stoffe zerfallen nach Exponentialfunktionen. Wenn die Anfangsmasse und die Halbwertszeit beträgt, dann: ```math M(t) = M_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}} ``` ### Zinseszins Anlagen mit Zinseszins wachsen exponentiell. Wenn $$P$$ das Anfangskapital, $$r$$ der jährliche Zinssatz und $$t \text{Jahre}$$ die Laufzeit ist, gilt: Visible text: Anlagen mit Zinseszins wachsen exponentiell. Wenn das Anfangskapital, der jährliche Zinssatz und die Laufzeit ist, gilt: ```math A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt} ``` Dabei ist $$n$$ die Häufigkeit der Zinsaufzinsung pro Jahr. Visible text: Dabei ist die Häufigkeit der Zinsaufzinsung pro Jahr. ## Exponentielle Gleichungen Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, deren Exponent eine Variable enthält. Allgemeine Form: ```math b^x = c ``` **Methode $$1$$: Basen ausgleichen** Visible text: **Methode : Basen ausgleichen** Wenn $$b^{f(x)} = b^{g(x)}$$, dann $$f(x) = g(x)$$ Visible text: Wenn , dann **Beispiel:** Lösen Sie $$2^{x+1} = 8$$ Visible text: **Beispiel:** Lösen Sie Component: MathContainer Children: ```math 2^{x+1} = 8 ``` ```math 2^{x+1} = 2^3 ``` ```math x + 1 = 3 ``` ```math x = 2 ``` **Methode $$2$$: Logarithmen verwenden** Visible text: **Methode : Logarithmen verwenden** Für $$b>0$$, $$b\neq1$$ und $$c>0$$ lässt sich $$b^x = c$$ mit Logarithmen lösen: Visible text: Für , und lässt sich mit Logarithmen lösen: ```math x = \log_b c = \frac{\log c}{\log b} ``` ## Übungen 1. Bestimmen Sie den Wert von $$f(3)$$, wenn $$f(x) = 5 \cdot 2^x$$ 2. Lösen Sie die Gleichung $$3^{2x-1} = 27$$ 3. Die Bevölkerung einer Stadt beträgt $$50{.}000 \text{Menschen}$$ und wächst um $$3\%$$ pro Jahr. Wie groß ist die Bevölkerung nach $$10 \text{Jahren}$$ laut diesem Modell? 4. Eine radioaktive Substanz hat eine Halbwertszeit von $$5 \text{Jahren}$$. Wenn die Anfangsmasse $$100 \text{Gramm}$$ beträgt, wie viel Masse bleibt nach $$15 \text{Jahren}$$ übrig? Visible text: 1. Bestimmen Sie den Wert von , wenn 2. Lösen Sie die Gleichung 3. Die Bevölkerung einer Stadt beträgt und wächst um pro Jahr. Wie groß ist die Bevölkerung nach laut diesem Modell? 4. Eine radioaktive Substanz hat eine Halbwertszeit von . Wenn die Anfangsmasse beträgt, wie viel Masse bleibt nach übrig? ### Ausführliche Lösungen #### Funktionswert berechnen Setzen Sie $$x = 3$$ in $$f(x) = 5 \cdot 2^x$$ ein. Berechnen Sie zuerst die Potenz und multiplizieren Sie anschließend mit dem Anfangsfaktor. Visible text: Setzen Sie in ein. Berechnen Sie zuerst die Potenz und multiplizieren Sie anschließend mit dem Anfangsfaktor. ```math f(3) = 5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8 = 40 ``` Damit ist $$f(3) = 40$$. Visible text: Damit ist . #### Gleiche Basen verwenden Schreiben Sie $$27$$ als $$3^3$$. Bei gleichen positiven Basen müssen die Exponenten übereinstimmen. Visible text: Schreiben Sie als . Bei gleichen positiven Basen müssen die Exponenten übereinstimmen. Component: MathContainer Children: ```math 3^{2x-1} = 3^3 ``` ```math 2x - 1 = 3 ``` ```math x = 2 ``` Die Probe ergibt $$3^{2(2)-1} = 3^3 = 27$$. Die Lösung ist also korrekt. Visible text: Die Probe ergibt . Die Lösung ist also korrekt. #### Bevölkerungswachstum modellieren Die Anfangsbevölkerung beträgt $$P_0 = 50{.}000$$, die jährliche Wachstumsrate $$r = 0{,}03$$ und die Zeit $$t = 10$$ Jahre. Der jährliche Wachstumsfaktor ist $$1 + r = 1{,}03$$. Visible text: Die Anfangsbevölkerung beträgt , die jährliche Wachstumsrate und die Zeit Jahre. Der jährliche Wachstumsfaktor ist . Component: MathContainer Children: ```math P(10) = 50{.}000 \cdot (1{,}03)^{10} ``` ```math P(10) \approx 50{.}000 \cdot 1{,}343916 = 67{.}195{,}82 ``` ```math P(10) \approx 67{.}196 \text{ Menschen} ``` Die Bevölkerungszahl wird auf die nächste ganze Person gerundet. #### Halbwertszeit anwenden Fünfzehn Jahre entsprechen $$15/5 = 3$$ Halbwertszeiten. Die Masse wird daher dreimal mit $$1/2$$ multipliziert. Visible text: Fünfzehn Jahre entsprechen Halbwertszeiten. Die Masse wird daher dreimal mit multipliziert. Component: MathContainer Children: ```math M(15) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 ``` ```math M(15) = 100 \cdot \frac{1}{8} = 12{,}5 \text{ Gramm} ``` Nach $$15 \text{ Jahren}$$ bleiben $$12{,}5 \text{ Gramm}$$ übrig. Visible text: Nach bleiben übrig.