# Rationale Funktion > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionen-und-modelle/gebrochen-rationale-funktion Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-modeling/rational-function/de.mdx Lerne rationale Funktionen anhand von Definitionsbeschränkungen, äquivalenten Vereinfachungen, Rechenoperationen und realen Modellen für Fläche und Fahrzeit kennen. --- ## Was ist eine rationale Funktion? Eine rationale Funktion ist der Quotient zweier Polynome. Ihre allgemeine Form lautet ```math f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)} ``` wobei $$P(x)$$ und $$Q(x)$$ Polynome sind und $$Q(x)$$ nicht das Nullpolynom ist. Visible text: wobei und Polynome sind und nicht das Nullpolynom ist. Der Nenner bringt eine entscheidende Regel mit sich: Alle Eingaben, für die $$Q(x)=0$$ gilt, müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Diese Einschränkung gehört weiterhin zur Funktion, auch wenn sich später ein gemeinsamer Faktor kürzen lässt. Visible text: Der Nenner bringt eine entscheidende Regel mit sich: Alle Eingaben, für die gilt, müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Diese Einschränkung gehört weiterhin zur Funktion, auch wenn sich später ein gemeinsamer Faktor kürzen lässt. ## Ein rationales Flächenmodell Herr Budi plant einen rechteckigen Hühnerstall mit einer Fläche von $$100\text{ m}^2$$. Seine Länge sei $$x\text{ m}$$, seine Breite $$w\text{ m}$$. Dann gilt Visible text: Herr Budi plant einen rechteckigen Hühnerstall mit einer Fläche von . Seine Länge sei , seine Breite . Dann gilt Component: MathContainer Children: ```math xw=100 ``` ```math w(x)=\frac{100}{x} ``` Die Formel beschreibt eine rationale Funktion, weil eine Variable im Nenner steht. In der realen Situation müssen beide Seitenlängen positiv sein. Der sinnvolle Definitionsbereich ist daher $$x>0$$ und nicht nur $$x\neq 0$$. Visible text: Die Formel beschreibt eine rationale Funktion, weil eine Variable im Nenner steht. In der realen Situation müssen beide Seitenlängen positiv sein. Der sinnvolle Definitionsbereich ist daher und nicht nur . Das Modell zeigt außerdem einen Zusammenhang: Wird der Stall länger, muss er schmaler werden, damit seine Fläche gleich bleibt. ## Häufige Formen ### Kehrwertform Die grundlegende Kehrwertform lautet ```math f(x)=\frac{k}{x} ``` mit einer Konstanten $$k$$. Zum Beispiel hat $$f(x)=\frac{5}{x}$$ den Definitionsbereich $$x\neq 0$$. Visible text: mit einer Konstanten . Zum Beispiel hat den Definitionsbereich . ### Linear gebrochene Form Sind Zähler und Nenner linear, so hat die Funktion die Form ```math f(x)=\frac{ax+b}{cx+d} ``` Für den Nenner muss $$cx+d\neq 0$$ gelten. Bei $$f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$$ ist deshalb $$x=1$$ ausgeschlossen. Visible text: Für den Nenner muss gelten. Bei ist deshalb ausgeschlossen. ### Höhergradige Form Eines oder beide Polynome können den Grad zwei oder höher haben. Zum Beispiel ist ```math f(x)=\frac{x^2+2x+1}{x-3} ``` ebenfalls rational. Hier gehört $$x=3$$ nicht zur Definitionsmenge. Visible text: ebenfalls rational. Hier gehört nicht zur Definitionsmenge. ## Die Definitionsmenge bestimmen So bestimmst du den reellen Definitionsbereich einer rationalen Funktion: 1. Setze den ursprünglichen Nenner gleich null. 2. Bestimme alle Werte, für die er null wird. 3. Schließe diese Werte aus den reellen Zahlen aus. Für ```math f(x)=\frac{x+2}{x-3}, ``` wird der Nenner null, wenn Component: MathContainer Children: ```math x-3=0 ``` ```math x=3. ``` Damit ist ```math D_f=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 3\}. ``` ## Vereinfachen, ohne die Definitionsmenge zu verlieren Ein gemeinsamer Faktor darf nur dort gekürzt werden, wo er nicht null ist. Der vereinfachte Term liefert auf der ursprünglichen Definitionsmenge dieselben Werte, macht aber keine ausgeschlossene Eingabe wieder zulässig. ### Einen Monomfaktor kürzen Vereinfache ```math f(x)=\frac{6x^2}{3x}. ``` Aus dem ursprünglichen Nenner folgt $$x\neq 0$$. Auf diesem Definitionsbereich gilt Visible text: Aus dem ursprünglichen Nenner folgt . Auf diesem Definitionsbereich gilt Component: MathContainer Children: ```math \frac{6x^2}{3x}=\frac{3x\cdot 2x}{3x} ``` ```math =2x,\qquad x\neq 0. ``` Der Term $$2x$$ ist zwar bei $$x=0$$ definiert, die ursprüngliche rationale Funktion jedoch nicht. Visible text: Der Term ist zwar bei definiert, die ursprüngliche rationale Funktion jedoch nicht. ### Nach dem Faktorisieren kürzen Vereinfache ```math g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}. ``` Halte zuerst $$x\neq 2$$ fest und zerlege dann die Differenz zweier Quadrate: Visible text: Halte zuerst fest und zerlege dann die Differenz zweier Quadrate: Component: MathContainer Children: ```math \frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} ``` ```math =x+2,\qquad x\neq 2. ``` Der Graph stimmt mit der Geraden $$y=x+2$$ überein, hat aber bei $$x=2$$ eine Lücke. Visible text: Der Graph stimmt mit der Geraden überein, hat aber bei eine Lücke. ## Rechnen mit rationalen Termen ### Addition und Subtraktion Verwende einen gemeinsamen Nenner und behalte alle Einschränkungen der ursprünglichen Nenner bei. Component: MathContainer Children: ```math \frac{2}{x}+\frac{3}{x+1} ``` ```math =\frac{2(x+1)+3x}{x(x+1)} ``` ```math =\frac{5x+2}{x(x+1)},\qquad x\neq 0,-1. ``` ### Multiplikation Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Faktorisiere anschließend, bevor du kürzt: Component: MathContainer Children: ```math \frac{x+1}{x}\cdot\frac{2x}{x-1} ``` ```math =\frac{2x(x+1)}{x(x-1)} ``` ```math =\frac{2(x+1)}{x-1},\qquad x\neq 0,1. ``` Dass sich der Faktor $$x$$ kürzen lässt, hebt die ursprüngliche Einschränkung $$x\neq 0$$ nicht auf. Visible text: Dass sich der Faktor kürzen lässt, hebt die ursprüngliche Einschränkung nicht auf. ### Division Durch einen Bruch zu teilen bedeutet, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren: ```math \frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}. ``` Dabei müssen $$b\neq 0$$ und $$d\neq 0$$ gelten, damit beide ursprünglichen Brüche definiert sind. Zusätzlich muss $$c\neq 0$$ sein, damit der Divisor nicht null ist. Visible text: Dabei müssen und gelten, damit beide ursprünglichen Brüche definiert sind. Zusätzlich muss sein, damit der Divisor nicht null ist. ## Übungen 1. Bestimme den Definitionsbereich von $$f(x)=\frac{x+3}{x^2-9}$$. 2. Vereinfache $$g(x)=\frac{x^2-1}{x+1}$$ und behalte die ursprüngliche Einschränkung bei. 3. Berechne $$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}$$ und gib die Einschränkungen der Definitionsmenge an. 4. Ein Auto fährt $$300\text{ km}$$ mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $$v\text{ km/h}$$. Stelle die Fahrzeit als Funktion von $$v$$ dar und gib den physikalisch sinnvollen Definitionsbereich an. Visible text: 1. Bestimme den Definitionsbereich von . 2. Vereinfache und behalte die ursprüngliche Einschränkung bei. 3. Berechne und gib die Einschränkungen der Definitionsmenge an. 4. Ein Auto fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von . Stelle die Fahrzeit als Funktion von dar und gib den physikalisch sinnvollen Definitionsbereich an. ### Ausführliche Lösungen #### 1. Definitionsbereich Der Zähler entscheidet nicht über die Definitionsmenge. Faktorisiere den Nenner: Component: MathContainer Children: ```math x^2-9=(x-3)(x+3) ``` ```math (x-3)(x+3)=0\Longrightarrow x=3\text{ oder }x=-3. ``` Beide Werte machen den ursprünglichen Nenner null. Daher gilt ```math D_f=\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -3,\ x\neq 3\}. ``` #### 2. Vereinfachung Aus dem ursprünglichen Nenner folgt $$x\neq -1$$. Faktorisiere und kürze nur auf diesem Definitionsbereich: Visible text: Aus dem ursprünglichen Nenner folgt . Faktorisiere und kürze nur auf diesem Definitionsbereich: Component: MathContainer Children: ```math \frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ``` ```math =x-1,\qquad x\neq -1. ``` Die vereinfachte Formel hat bei der ausgeschlossenen Eingabe $$x=-1$$ weiterhin eine Lücke. Visible text: Die vereinfachte Formel hat bei der ausgeschlossenen Eingabe weiterhin eine Lücke. #### 3. Subtraktion Aus den ursprünglichen Nennern folgen $$x\neq 1$$ und $$x\neq -1$$. Mit $$(x-1)(x+1)$$ als gemeinsamem Nenner erhält man Visible text: Aus den ursprünglichen Nennern folgen und . Mit als gemeinsamem Nenner erhält man Component: MathContainer Children: ```math \frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1} ``` ```math =\frac{x+1-2(x-1)}{(x-1)(x+1)} ``` ```math =\frac{x+1-2x+2}{(x-1)(x+1)} ``` ```math =\frac{3-x}{(x-1)(x+1)},\qquad x\neq -1,1. ``` #### 4. Fahrzeitmodell Die Zeit ist der Quotient aus Strecke und Geschwindigkeit: Component: MathContainer Children: ```math \text{Zeit}=\frac{\text{Strecke}}{\text{Geschwindigkeit}} ``` ```math t(v)=\frac{300}{v}. ``` Algebraisch gilt $$v\neq 0$$. Für ein fahrendes Auto muss die Geschwindigkeit positiv sein. Das physikalische Modell verwendet daher $$v>0$$. Visible text: Algebraisch gilt . Für ein fahrendes Auto muss die Geschwindigkeit positiv sein. Das physikalische Modell verwendet daher .