# Graphen trigonometrischer Funktionen
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Lies Sinus-, Kosinus- und Tangensgraphen mithilfe interaktiver Darstellungen zu Bogenmaß, Amplitude, Periode und Transformationen.
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## Trigonometrische Funktionsgraphen verstehen
Meereswellen zeigen ein wiederkehrendes Auf und Ab. Solche periodischen Muster lassen sich mit trigonometrischen Funktionen modellieren.
Zum Lesen trigonometrischer Funktionsgraphen benötigen wir Winkel im Bogenmaß. Gradangaben sind im Alltag verbreitet, während das Bogenmaß die natürliche Einheit für Analysis und Funktionsgraphen ist.
## Grad und Bogenmaß umrechnen
Eine vollständige Umdrehung eines Kreises beträgt $$360^\circ$$ oder $$2\pi$$ Bogenmaß. Diese Beziehung liefert uns Umrechnungsformeln:
Visible text: Eine vollständige Umdrehung eines Kreises beträgt oder Bogenmaß. Diese Beziehung liefert uns Umrechnungsformeln:
Component: MathContainer
Children:
```math
180^\circ = \pi \text{Bogenmaß}
```
```math
1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{Bogenmaß}
```
```math
1 \text{ Radiant} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ
```
### Umrechnungsbeispiele
Grad in Bogenmaß umrechnen:
Component: MathContainer
Children:
```math
90^\circ = 90 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{Bogenmaß}
```
```math
60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{Bogenmaß}
```
```math
45^\circ = 45 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4} \text{Bogenmaß}
```
Bogenmaß in Grad umrechnen:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{\pi}{6} \text{Bogenmaß} = \frac{\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 30^\circ
```
```math
\frac{3\pi}{4} \text{Bogenmaß} = \frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 135^\circ
```
## Was sind Amplitude und Periode?
Zwei Größen beschreiben die Form eines periodischen Graphen besonders direkt: **Amplitude** und **Periode**.
### Amplitude
Die Amplitude ist der größte vertikale Abstand von der Mittellinie einer Sinuskurve zu einem Hoch- oder Tiefpunkt. Bei den unverschobenen Funktionen $$y = A \sin x$$ und $$y = A \cos x$$ ist diese Mittellinie die $$x$$-Achse und die Amplitude beträgt $$|A|$$.
Visible text: Die Amplitude ist der größte vertikale Abstand von der Mittellinie einer Sinuskurve zu einem Hoch- oder Tiefpunkt. Bei den unverschobenen Funktionen und ist diese Mittellinie die -Achse und die Amplitude beträgt .
Component: LineEquation
Props:
- title: Amplitudenkonzept
- description: Die Amplitude ist der senkrechte Abstand von der $$x$$-Achse zum Hochpunkt der Welle.
Visible text: Die Amplitude ist der senkrechte Abstand von der -Achse zum Hochpunkt der Welle.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 2 * Math.PI;
return { x, y: 2 * Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: <>Amplitude = $$2$$, at: 25, offset: [0, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: Math.PI / 2, y: 0, z: 0 },
{ x: Math.PI / 2, y: 2, z: 0 },
],
color: "#e11d48",
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 2 * Math.PI;
return { x, y: 2 * Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: <>Amplitude = , at: 25, offset: [0, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: Math.PI / 2, y: 0, z: 0 },
{ x: Math.PI / 2, y: 2, z: 0 },
],
color: "#e11d48",
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 10]
- showZAxis: false
### Periode
Die Periode ist die Länge des Intervalls für einen vollständigen Zyklus. Für $$y = \sin(Bx)$$ und $$y = \cos(Bx)$$ beträgt sie $$\frac{2\pi}{|B|}$$.
Visible text: Die Periode ist die Länge des Intervalls für einen vollständigen Zyklus. Für und beträgt sie .
Component: LineEquation
Props:
- title: Periodenkonzept
- description: Die Periode ist der horizontale Abstand für eine vollständige Welle.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: <>Periode = $$2\pi$$, at: 25, offset: [0, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -1.2, z: 0 },
{ x: 2 * Math.PI, y: -1.2, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
cone: { position: "both" },
labels: [
{
text: $$\longleftarrow\;2\pi\;\longrightarrow$$,
at: 1,
offset: [-3, -0.5, 0],
color: "#9333ea",
},
],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: <>Periode = , at: 25, offset: [0, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: [
{ x: 0, y: -1.2, z: 0 },
{ x: 2 * Math.PI, y: -1.2, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
lineWidth: 2,
showPoints: false,
cone: { position: "both" },
labels: [
{
text: ,
at: 1,
offset: [-3, -0.5, 0],
color: "#9333ea",
},
],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 18]
- showZAxis: false
### Allgemeine Formeln
Für trigonometrische Funktionen in der Form:
- $$y = A \sin(Bx)$$ und $$y = A \cos(Bx)$$:
```math
y = A \sin(Bx)
```
```math
y = A \cos(Bx)
```
- $$y = A \tan(Bx)$$:
```math
y = A \tan(Bx)
```
```math
\text{Amplitude} = \text{nicht definiert}
```
```math
\text{Periode} = \frac{\pi}{|B|}
```
Visible text: - und :
- :
## Graph der Sinusfunktion
Die Funktion $$y = \sin x$$ ist periodisch mit der Periode $$2\pi$$. Ihr Graph wiederholt sich daher in jedem Intervall der Länge $$2\pi$$.
Visible text: Die Funktion ist periodisch mit der Periode . Ihr Graph wiederholt sich daher in jedem Intervall der Länge .
Component: LineEquation
Props:
- title: Graph von $$y = \sin x$$
Visible text: Graph von
- description: Der Graph bildet eine Welle, die sich nach jeder Periode wiederholt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$y=\sin x$$, at: 25, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 25, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
**Grapheneigenschaften:** $$y = \sin x$$
Visible text: **Grapheneigenschaften:**
- **Periode**: $$2\pi$$ (der Graph wiederholt sich nach $$2\pi \text{Einheiten}$$)
- **Amplitude**: $$1$$ (Maximalwert minus Minimalwert, dann geteilt durch $$2$$)
- **Definitionsbereich**: Alle reellen Zahlen
- **Wertebereich**: $$[-1, 1]$$
- **Schnittpunkte mit der $$x$$-Achse**: $$x = n\pi$$, wobei $$n$$ eine ganze Zahl ist
- **Maximalwert**: $$1$$ bei $$x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$$
- **Minimalwert**: $$-1$$ bei $$x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$$
Visible text: - **Periode**: (der Graph wiederholt sich nach )
- **Amplitude**: (Maximalwert minus Minimalwert, dann geteilt durch )
- **Definitionsbereich**: Alle reellen Zahlen
- **Wertebereich**:
- **Schnittpunkte mit der -Achse**: , wobei eine ganze Zahl ist
- **Maximalwert**: bei
- **Minimalwert**: bei
## Graph der Kosinusfunktion
Die Funktion $$y = \cos x$$ hat eine sinusähnliche Form, ist jedoch um $$\frac{\pi}{2}$$ nach links verschoben.
Visible text: Die Funktion hat eine sinusähnliche Form, ist jedoch um nach links verschoben.
Component: LineEquation
Props:
- title: Graph von $$y = \cos x$$
Visible text: Graph von
- description: Vergleiche den Graphen mit $$\sin$$. Die Form ist gleich, aber horizontal verschoben.
Visible text: Vergleiche den Graphen mit . Die Form ist gleich, aber horizontal verschoben.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.cos(x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$y=\cos x$$, at: 25, offset: [0.3, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.cos(x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , at: 25, offset: [0.3, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
**Grapheneigenschaften:** $$y = \cos x$$
Visible text: **Grapheneigenschaften:**
- **Periode**: $$2\pi$$
- **Amplitude**: $$1$$
- **Definitionsbereich**: Alle reellen Zahlen
- **Wertebereich**: $$[-1, 1]$$
- **Schnittpunkte mit der $$x$$-Achse**: $$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$
- **Maximalwert**: $$1$$ bei $$x = 2n\pi$$
- **Minimalwert**: $$-1$$ bei $$x = \pi + 2n\pi$$
Visible text: - **Periode**:
- **Amplitude**:
- **Definitionsbereich**: Alle reellen Zahlen
- **Wertebereich**:
- **Schnittpunkte mit der -Achse**:
- **Maximalwert**: bei
- **Minimalwert**: bei
### Sinus und Kosinus vergleichen
Component: LineEquation
Props:
- title: Vergleich der Graphen von $$\sin$$ und $$\cos$$
Visible text: Vergleich der Graphen von und
- description: Es gilt $$\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$$.
Visible text: Es gilt .
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$y=\sin x$$, at: 25, offset: [1.5, -1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.cos(x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$y=\cos x$$, at: 75, offset: [1.5, 2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 25, offset: [1.5, -1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.cos(x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , at: 75, offset: [1.5, 2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
## Tangentenfunktionsgraph
Die Funktion $$y = \tan x$$ unterscheidet sich von $$\sin$$ und $$\cos$$ durch vertikale Asymptoten.
Visible text: Die Funktion unterscheidet sich von und durch vertikale Asymptoten.
Component: LineEquation
Props:
- title: Graph von $$y = \tan x$$
Visible text: Graph von
- description: Die roten vertikalen Linien markieren die Asymptoten.
- data: [
// Tangensfunktion
...Array.from({ length: 3 }, (_, periodIndex) => {
const offset = (periodIndex - 1) * Math.PI;
return {
points: Array.from({ length: 50 }, (_, i) => {
const x = offset + (i / 49) * Math.PI * 0.9 - Math.PI * 0.45;
return { x, y: Math.tan(x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels:
periodIndex === 1
? [{ text: $$y=\tan x$$, at: 25, offset: [2, 0.5, 0] }]
: [],
showPoints: false,
};
}),
// Vertikale Asymptoten
...Array.from({ length: 3 }, (_, i) => {
const x = (i - 1) * Math.PI + Math.PI / 2;
return {
points: [
{ x, y: -5, z: 0 },
{ x, y: 5, z: 0 },
],
color: "#e11d48",
showPoints: false,
labels:
i === 1 ? [{ text: $$x=\frac{\pi}{2}$$, at: 1, offset: [1, 0.5, 0] }] : [],
};
}),
]
Visible text: [
// Tangensfunktion
...Array.from({ length: 3 }, (_, periodIndex) => {
const offset = (periodIndex - 1) * Math.PI;
return {
points: Array.from({ length: 50 }, (_, i) => {
const x = offset + (i / 49) * Math.PI * 0.9 - Math.PI * 0.45;
return { x, y: Math.tan(x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels:
periodIndex === 1
? [{ text: , at: 25, offset: [2, 0.5, 0] }]
: [],
showPoints: false,
};
}),
// Vertikale Asymptoten
...Array.from({ length: 3 }, (_, i) => {
const x = (i - 1) * Math.PI + Math.PI / 2;
return {
points: [
{ x, y: -5, z: 0 },
{ x, y: 5, z: 0 },
],
color: "#e11d48",
showPoints: false,
labels:
i === 1 ? [{ text: , at: 1, offset: [1, 0.5, 0] }] : [],
};
}),
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
**Grapheneigenschaften:** $$y = \tan x$$
Visible text: **Grapheneigenschaften:**
- **Periode**: $$\pi$$ (kürzer als bei $$\sin$$ und $$\cos$$)
- **Amplitude**: nicht definiert
- **Definitionsbereich**: $$x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$$
- **Wertebereich**: Alle reellen Zahlen
- **Vertikale Asymptoten**: $$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$$
- **Schnittpunkte mit der $$x$$-Achse**: $$x = n\pi$$
Visible text: - **Periode**: (kürzer als bei und )
- **Amplitude**: nicht definiert
- **Definitionsbereich**:
- **Wertebereich**: Alle reellen Zahlen
- **Vertikale Asymptoten**:
- **Schnittpunkte mit der -Achse**:
## Transformationen trigonometrischer Funktionen
### Amplitudenänderungen
Für $$y = A \sin x$$ beträgt die Amplitude $$|A|$$.
Visible text: Für beträgt die Amplitude .
Component: LineEquation
Props:
- title: Wirkung der Amplitude
- description: Vergleiche, wie der Wert von $$A$$ die Wellenhöhe verändert.
Visible text: Vergleiche, wie der Wert von die Wellenhöhe verändert.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$y=\sin x$$, at: 25, offset: [1.5, -2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: 2 * Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$y=2\\sin x$$, at: 25, offset: [1.25, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: 0.5 * Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: $$y=0{,}5\\sin x$$, at: 25, offset: [1, 2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 25, offset: [1.5, -2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: 2 * Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , at: 25, offset: [1.25, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: 0.5 * Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: , at: 25, offset: [1, 2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
### Periodenänderungen
Die Funktion $$y = \sin(Bx)$$ hat die Periode $$\frac{2\pi}{|B|}$$.
Visible text: Die Funktion hat die Periode .
Component: LineEquation
Props:
- title: Wirkung der Periode
- description: Der Wert $$B$$ bestimmt, wie schnell sich der Graph wiederholt.
Visible text: Der Wert bestimmt, wie schnell sich der Graph wiederholt.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$y=\sin x$$, at: 25, offset: [1.5, -2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(2 * x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$y=\sin 2x$$, at: 60, offset: [1.25, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(0.5 * x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: $$y=\sin 0{,}5x$$, at: 25, offset: [1, 2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 25, offset: [1.5, -2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(2 * x), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , at: 60, offset: [1.25, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(0.5 * x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: , at: 25, offset: [1, 2.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
### Vertikale und horizontale Verschiebungen
Allgemeine Form:
```math
y = A \sin(B(x - C)) + D
```
- $$A$$: Amplitude
- $$B$$: Bestimmt die Periode (
$$\text{Periode} = \frac{2\pi}{|B|}$$)
- $$C$$: Horizontale Verschiebung (Phase)
- $$D$$: Vertikale Verschiebung
Visible text: - : Amplitude
- : Bestimmt die Periode (
)
- : Horizontale Verschiebung (Phase)
- : Vertikale Verschiebung
Die folgende Darstellung verbindet Amplitude, horizontale Verschiebung und vertikale Verschiebung:
Component: LineEquation
Props:
- title: Vollständige Transformation
- description: Der Graph von $$y = 2\sin(x - \frac{\pi}{4}) + 1$$ zeigt
alle drei Transformationen.
Visible text: Der Graph von zeigt
alle drei Transformationen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: <>$$y=\sin x$$ (grundlegend), at: 25, offset: [0.5, -2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: 2 * Math.sin(x - Math.PI / 4) + 1, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [
{ text: $$y=2\\sin(x-\frac{\pi}{4})+1$$, at: 25, offset: [0.5, 1.5, 0] },
],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: Math.sin(x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: <> (grundlegend), at: 25, offset: [0.5, -2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
const x = (i / 99) * 4 * Math.PI - 2 * Math.PI;
return { x, y: 2 * Math.sin(x - Math.PI / 4) + 1, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [
{ text: , at: 25, offset: [0.5, 1.5, 0] },
],
showPoints: false,
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
## Übungen
1. Rechne die folgenden Winkel um:
- $$120^\circ$$ in Bogenmaß
- $$\frac{5\pi}{6}$$ Bogenmaß in Grad
2. Bestimme Periode und Amplitude von:
- $$y = 3 \sin(2x)$$
- $$y = -2 \cos(\frac{x}{3})$$
3. Skizziere den Graphen von $$y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1$$. Bestimme:
- Amplitude
- Periode
- Phasenverschiebung
- Vertikale Verschiebung
4. Wenn die Gezeitenhöhe durch $$h(t) = 2 \sin(\frac{\pi t}{6}) + 5 \text{Meter}$$ modelliert wird, wobei $$t$$ in Stunden gemessen wird:
- Was sind die maximalen und minimalen Wasserhöhen?
- Was ist die Gezeitenperiode?
5. Bestimme die Gleichung einer trigonometrischen Funktion mit:
- Amplitude $$3$$
- Periode $$\pi$$
- $$\frac{\pi}{4}$$ nach rechts verschoben
- $$2 \text{Einheiten}$$ nach oben verschoben
Visible text: 1. Rechne die folgenden Winkel um:
- in Bogenmaß
- Bogenmaß in Grad
2. Bestimme Periode und Amplitude von:
-
-
3. Skizziere den Graphen von . Bestimme:
- Amplitude
- Periode
- Phasenverschiebung
- Vertikale Verschiebung
4. Wenn die Gezeitenhöhe durch modelliert wird, wobei in Stunden gemessen wird:
- Was sind die maximalen und minimalen Wasserhöhen?
- Was ist die Gezeitenperiode?
5. Bestimme die Gleichung einer trigonometrischen Funktion mit:
- Amplitude
- Periode
- nach rechts verschoben
- nach oben verschoben
### Lösungen
1. Winkelumrechnung:
- $$120^\circ = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$$ Bogenmaß
- $$\frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = 150^\circ$$
2. Periode und Amplitude:
- $$y = 3 \sin(2x)$$: Amplitude $$3$$, Periode $$\frac{2\pi}{2} = \pi$$
- $$y = -2 \cos(\frac{x}{3})$$: Amplitude $$2$$, Periode $$\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$$
3. Für $$y = 2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) - 1$$:
- Amplitude: $$2$$
- Periode: $$2\pi$$
- Phasenverschiebung: $$\frac{\pi}{3}$$ nach links
- Vertikale Verschiebung: $$1 \text{Einheit}$$ nach unten
4. Für $$h(t) = 2 \sin(\frac{\pi t}{6}) + 5$$:
- Maximale Höhe: $$5 + 2 = 7 \text{Meter}$$
- Minimale Höhe: $$5 - 2 = 3 \text{Meter}$$
- Periode: $$\frac{2\pi}{\pi/6} = 12 \text{Stunden}$$
5. Gleichung, die die Anforderungen erfüllt:
```math
y = 3 \sin(2(x - \frac{\pi}{4})) + 2
```
oder
```math
y = 3 \sin(2x - \frac{\pi}{2}) + 2
```
Visible text: 1. Winkelumrechnung:
- Bogenmaß
-
2. Periode und Amplitude:
- : Amplitude , Periode
- : Amplitude , Periode
3. Für :
- Amplitude:
- Periode:
- Phasenverschiebung: nach links
- Vertikale Verschiebung: nach unten
4. Für :
- Maximale Höhe:
- Minimale Höhe:
- Periode:
5. Gleichung, die die Anforderungen erfüllt:
oder