# Logarithmische Rechenregeln > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionen-und-modelle/identitaeten-der-logarithmusfunktion Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-modeling/logarithmic-function-identity/de.mdx Produkt-, Quotienten-, Potenz- und Basiswechselregeln anwenden, um Terme zu vereinfachen, Gleichungen zu lösen und logarithmische Modelle zu verstehen. --- ## Logarithmische Rechenregeln verstehen Logarithmische Rechenregeln verwandeln Produkte in Summen, Quotienten in Differenzen und Potenzen in Faktoren. Dadurch lassen sich viele logarithmische Terme und Gleichungen leichter bearbeiten. Logarithmen machen Potenzierungen rückgängig. Aus $$b^x = a$$ folgt $$\log_b a = x$$. In diesem Kapitel sind alle Argumente der Logarithmen positiv. Außerdem gilt für jede Basis $$b>0$$ und $$b\neq1$$. Visible text: Logarithmen machen Potenzierungen rückgängig. Aus folgt . In diesem Kapitel sind alle Argumente der Logarithmen positiv. Außerdem gilt für jede Basis und . ## Grundlegende Logarithmusregeln ### Produktregel ```math \log_b(MN) = {\log_b M} + {\log_b N} ``` Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen seiner Faktoren. **Beispiel:** ```math \log_2(8 \times 4) = {\log_2 8} + {\log_2 4} = 3 + 2 = 5 ``` ### Quotientenregel ```math \log_b\left(\frac{M}{N}\right) = {\log_b M} - {\log_b N} ``` Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz aus dem Logarithmus des Zählers und dem Logarithmus des Nenners. **Beispiel:** ```math \log_3\left(\frac{81}{9}\right) = {\log_3 81} - {\log_3 9} = 4 - 2 = 2 ``` ### Potenzregel ```math \log_b(M^p) = p \cdot {\log_b M} ``` Ein Exponent im Argument kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden. **Beispiel:** ```math \log_2(4^3) = 3 \cdot {\log_2 4} = 3 \times 2 = 6 ``` ## Weitere Logarithmusregeln ### Wechsel der Basis ```math \log_b M = \frac{\log_a M}{\log_a b} ``` Mit dieser Regel lässt sich ein Logarithmus in eine andere Basis umrechnen. **Beispiel:** Da $$9=3^2$$ gilt, ist der Zähler genau doppelt so groß wie der Nenner: Visible text: Da gilt, ist der Zähler genau doppelt so groß wie der Nenner: ```math \log_3 9 = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 3} = \frac{2\log_{10}3}{\log_{10}3} = 2 ``` ### Gleichheitsregel Wenn $$\log_b M = {\log_b N}$$, dann gilt $$M = N$$. Visible text: Wenn , dann gilt . Zwei Zahlen mit demselben logarithmischen Wert (mit derselben Basis) müssen dieselbe Zahl sein. ### Monotonie und Ungleichungen - Wenn $$b > 1$$ und $$\log_b M < {\log_b N}$$, dann $$M < N$$ - Wenn $$0 < b < 1$$ und $$\log_b M < {\log_b N}$$, dann $$M > N$$ Visible text: - Wenn und , dann - Wenn und , dann ## Logarithmische Rechenregeln anwenden ### Ausdrücke vereinfachen Vereinfache $$\log_2 32 + {\log_2 8} - {\log_2 4}$$. Visible text: Vereinfache . **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math \log_2 32 + {\log_2 8} - {\log_2 4} ``` ```math = {\log_2(32 \times 8)} - {\log_2 4} ``` ```math = {\log_2 256} - {\log_2 4} ``` ```math = {\log_2\left(\frac{256}{4}\right)} ``` ```math = {\log_2 64} = 6 ``` ### Gleichungen lösen Bestimme $$x$$, wenn $$\log_3 x + {\log_3 9} = {\log_3 81}$$ gilt. Visible text: Bestimme , wenn gilt. **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math \log_3 x + {\log_3 9} = {\log_3 81} ``` ```math \log_3(x \times 9) = {\log_3 81} ``` ```math x \times 9 = 81 ``` ```math x = \frac{81}{9} = 9 ``` ## Anwendungen in Modellen ### Eine logarithmische Magnitudenskala In einem vereinfachten Magnitudenmodell wird eine gemessene Amplitude $$A$$ mit einer Referenzamplitude $$A_0$$ verglichen: Visible text: In einem vereinfachten Magnitudenmodell wird eine gemessene Amplitude mit einer Referenzamplitude verglichen: ```math M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right) ``` Dabei gilt: - $$M$$ ist die Magnitude in diesem vereinfachten Modell - $$A$$ ist die gemessene Amplitude - $$A_0$$ ist die Referenzamplitude Visible text: - ist die Magnitude in diesem vereinfachten Modell - ist die gemessene Amplitude - ist die Referenzamplitude **Beispiel:** Eine gemessene Amplitude sei $$10^7$$-mal so groß wie die Referenzamplitude. Welche Magnitude ergibt das vereinfachte Modell? Visible text: **Beispiel:** Eine gemessene Amplitude sei -mal so groß wie die Referenzamplitude. Welche Magnitude ergibt das vereinfachte Modell? **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right) ``` ```math = \log\left(\frac{10^7 A_0}{A_0}\right) ``` ```math = \log(10^7) ``` ```math = 7 ``` Das Amplitudenverhältnis entspricht in diesem vereinfachten Modell der Magnitude $$7$$. Bei tatsächlichen Erdbebenberechnungen werden außerdem Messgerät, Wellentyp und Entfernung zur Quelle berücksichtigt. Visible text: Das Amplitudenverhältnis entspricht in diesem vereinfachten Modell der Magnitude . Bei tatsächlichen Erdbebenberechnungen werden außerdem Messgerät, Wellentyp und Entfernung zur Quelle berücksichtigt. ### Aufladen eines Akkus In einem vereinfachten Lademodell erster Ordnung ergibt sich die Zeit bis zu einem bestimmten Anteil der maximalen Kapazität aus: ```math t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right) ``` Dabei gilt: - $$t$$ = Ladezeit (in Minuten) - $$k$$ = Ladekonstante - $$C$$ = gewünschte Kapazität - $$C_0$$ = maximale Kapazität Visible text: - = Ladezeit (in Minuten) - = Ladekonstante - = gewünschte Kapazität - = maximale Kapazität **Beispiel:** Wie lange dauert es in diesem Modell, einen leeren Akku auf $$90\%$$ seiner maximalen Kapazität zu laden? Es gilt $$k = 0{,}02$$. Visible text: **Beispiel:** Wie lange dauert es in diesem Modell, einen leeren Akku auf seiner maximalen Kapazität zu laden? Es gilt . **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right) ``` ```math = -\frac{1}{0{,}02}\ln\left(1 - \frac{0{,}9C_0}{C_0}\right) ``` ```math = -50\ln(1 - 0{,}9) ``` ```math = -50\ln(0{,}1) ``` ```math \approx 115{,}13 ``` In diesem vereinfachten Modell dauert das Laden auf $$90\%$$ ungefähr $$115 \text{Minuten}$$. Reale Ladesysteme können ihre Rate bei hohem Ladestand ändern. Visible text: In diesem vereinfachten Modell dauert das Laden auf ungefähr . Reale Ladesysteme können ihre Rate bei hohem Ladestand ändern. ### Abwertung des Autopreises Ist die momentane Wertminderung proportional zum aktuellen Fahrzeugwert, hat ein exponentielles Modell die Form: ```math H(t) = ce^{kt} ``` Dabei ist $$H(t)$$ der Wert zum Zeitpunkt $$t$$. Visible text: Dabei ist der Wert zum Zeitpunkt . **Beispiel:** Ein Neuwagen kostet $$200 \text{Millionen Rupiah}$$. Sein modellierter Wert beträgt nach $$5 \text{Jahren}$$ noch $$100 \text{Millionen Rupiah}$$. Bestimme den modellierten Wert nach $$10 \text{Jahren}$$, wenn dieselbe exponentielle Wertminderung anhält. Visible text: **Beispiel:** Ein Neuwagen kostet . Sein modellierter Wert beträgt nach noch . Bestimme den modellierten Wert nach , wenn dieselbe exponentielle Wertminderung anhält. **Lösung:** Component: MathContainer Children: ```math H(0) = 200 \text{Millionen, also} 200 = ce^0 = c ``` ```math H(5) = 100 \text{Millionen, also} 100 = 200e^{5k} ``` ```math e^{5k} = \frac{1}{2} \text{, also} 5k = \ln\left(\frac{1}{2}\right) ``` ```math k = \frac{1}{5}\ln\left(\frac{1}{2}\right) \approx -0{,}1386 ``` Aus diesen Ergebnissen ergibt sich für den Autopreis zu jedem Zeitpunkt $$t$$: Visible text: Aus diesen Ergebnissen ergibt sich für den Autopreis zu jedem Zeitpunkt : ```math H(t) = 200e^{\frac{\ln(1/2)}{5}t} \approx 200e^{-0{,}1386t} ``` Der modellierte Fahrzeugwert nach $$10 \text{Jahren}$$ beträgt daher: Visible text: Der modellierte Fahrzeugwert nach beträgt daher: ```math H(10) = 200e^{2\ln(1/2)} = 200\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 50 \text{Millionen Rupiah} ``` ## Übungen **Aufgabe** $$1$$ Visible text: **Aufgabe** Vereinfache: $$\log_5 125 + {\log_5 25} - {\log_5 5}$$ Visible text: Vereinfache: **Aufgabe** $$2$$ Visible text: **Aufgabe** Für $$\log_2 x = 3$$ und $$\log_2 y = 5$$ ist $$\log_2(xy)$$ zu bestimmen. Visible text: Für und ist zu bestimmen. **Aufgabe** $$3$$ Visible text: **Aufgabe** Bestimme $$x$$, wenn $$\log_4(x-1) = {\log_4 16} - {\log_4 2}$$ gilt. Visible text: Bestimme , wenn gilt. ### Ausführliche Lösungen **Antwort** $$1$$ Visible text: **Antwort** Alle drei Zahlen sind Potenzen von $$5$$. Zuerst werden die einzelnen Logarithmen bestimmt: Visible text: Alle drei Zahlen sind Potenzen von . Zuerst werden die einzelnen Logarithmen bestimmt: Component: MathContainer Children: ```math 125=5^3,\quad25=5^2,\quad5=5^1 ``` ```math \log_5 125 + {\log_5 25} - {\log_5 5}=3+2-1=4 ``` Der vereinfachte Term hat den Wert $$4$$. Visible text: Der vereinfachte Term hat den Wert . **Antwort** $$2$$ Visible text: **Antwort** Da im gesuchten Term das Produkt $$xy$$ steht, passt die Produktregel: Visible text: Da im gesuchten Term das Produkt steht, passt die Produktregel: Component: MathContainer Children: ```math \log_2(xy) = {\log_2 x} + {\log_2 y} ``` ```math = 3 + 5 = 8 ``` Somit gilt $$\log_2(xy)=8$$. Visible text: Somit gilt . **Antwort** $$3$$ Visible text: **Antwort** Auf der rechten Seite wird zuerst die Quotientenregel angewendet. Danach können die Argumente der Logarithmen mit derselben Basis gleichgesetzt werden: Component: MathContainer Children: ```math \log_4(x-1) = {\log_4 16} - {\log_4 2} ``` ```math \log_4(x-1) = {\log_4\left(\frac{16}{2}\right)} ``` ```math \log_4(x-1) = {\log_4 8} ``` ```math x - 1 = 8 ``` ```math x = 9 ``` Für den Logarithmus muss $$x-1>0$$ gelten. Da $$9-1=8>0$$ gilt, ist die Lösung zulässig. Visible text: Für den Logarithmus muss gelten. Da gilt, ist die Lösung zulässig.