# Quadratwurzelfunktion
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionen-und-modelle/quadratwurzelfunktion
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-modeling/square-root-function/de.mdx
Untersuche Quadratwurzelfunktionen anhand von Definitions- und Wertebereich, Graphtransformationen, Gleichungen, Ungleichungen und einem Höhenmodell.
---
## Definition der Quadratwurzelfunktion
Eine Quadratwurzelfunktion wendet die Hauptquadratwurzel auf einen Ausdruck an. Es hat die Form $$f(x) = \sqrt{g(x)}$$, wobei $$g(x)$$ der Radikand ist, der Ausdruck unter dem Radikalzeichen.
Visible text: Eine Quadratwurzelfunktion wendet die Hauptquadratwurzel auf einen Ausdruck an. Es hat die Form , wobei der Radikand ist, der Ausdruck unter dem Radikalzeichen.
Die Grundfunktion ist $$f(x) = \sqrt{x}$$. Sie ordnet jeder nicht negativen Eingabe ihre nicht negative Quadratwurzel zu.
Visible text: Die Grundfunktion ist . Sie ordnet jeder nicht negativen Eingabe ihre nicht negative Quadratwurzel zu.
### Eigenschaften von Quadratwurzelfunktionen
Drei Merkmale bilden die Grundlage für den Rest dieser Lektion:
1. **Eingeschränkter Definitionsbereich**: Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel negativer Zahlen nicht definiert. Zulässig sind deshalb nur Eingaben, für die der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ ist.
2. **Erkennbarer Grundgraph**: Der Graph von $$y=\sqrt{x}$$ beginnt bei $$(0,0)$$ und steigt mit zunehmendem $$x$$ immer langsamer. Transformationen können diese Form verschieben, strecken oder spiegeln.
3. **Nichtnegative Hauptwurzel**: Der Wert von $$\sqrt{g(x)}$$ selbst ist immer nicht negativ. Ein vorgelagerter Faktor oder eine Verschiebung kann eine transformierte Funktion dennoch negativ machen.
Visible text: 1. **Eingeschränkter Definitionsbereich**: Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel negativer Zahlen nicht definiert. Zulässig sind deshalb nur Eingaben, für die der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ ist.
2. **Erkennbarer Grundgraph**: Der Graph von beginnt bei und steigt mit zunehmendem immer langsamer. Transformationen können diese Form verschieben, strecken oder spiegeln.
3. **Nichtnegative Hauptwurzel**: Der Wert von selbst ist immer nicht negativ. Ein vorgelagerter Faktor oder eine Verschiebung kann eine transformierte Funktion dennoch negativ machen.
## Definitions- und Wertebereich von Quadratwurzelfunktionen
Der Definitionsbereich beschreibt die zulässigen Eingaben. Der Wertebereich enthält die Ausgaben, die die Funktion tatsächlich annehmen kann.
### Definitionsbereich bestimmen
Der Definitionsbereich einer Quadratwurzelfunktion $$f(x) = \sqrt{g(x)}$$ umfasst alle Werte von $$x$$, die $$g(x) \geq 0$$ ergeben.
Visible text: Der Definitionsbereich einer Quadratwurzelfunktion umfasst alle Werte von , die ergeben.
**Schritte zum Ermitteln des Definitionsbereichs:**
| Schritt | Erklärung | Beispiel: $$f(x) = \sqrt{x-2}$$ |
| ---- | ------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------- |
| $$1$$ | Identifizieren Sie den Ausdruck innerhalb der Quadratwurzel | $$g(x) = x-2$$ |
| $$2$$ | Erstellen Sie die Ungleichung $$g(x) \geq 0$$ | $$x-2 \geq 0$$ |
| $$3$$ | Lösen Sie die Ungleichung | $$x \geq 2$$ |
| $$4$$ | Definitionsbereich angeben | $$D_f = \{x \mid x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}$$ |
Visible text: | Schritt | Erklärung | Beispiel: |
| ---- | ------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------- |
| | Identifizieren Sie den Ausdruck innerhalb der Quadratwurzel | |
| | Erstellen Sie die Ungleichung | |
| | Lösen Sie die Ungleichung | |
| | Definitionsbereich angeben | |
### Wertebereich bestimmen
Der Wertebereich einer Quadratwurzelfunktion umfasst alle Ausgabewerte, die bei zulässigen Eingaben tatsächlich entstehen.
Für $$f(x) = \sqrt{x-2}$$ kann der Radikand jeden Wert ab Null annehmen. Die Hauptquadratwurzel hat daher den Wertebereich
Visible text: Für kann der Radikand jeden Wert ab Null annehmen. Die Hauptquadratwurzel hat daher den Wertebereich
```math
R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}
```
## Graph der grundlegenden Quadratwurzelfunktion
Visualisieren wir die grundlegende Quadratwurzelfunktion $$f(x) = \sqrt{x}$$.
Visible text: Visualisieren wir die grundlegende Quadratwurzelfunktion .
Component: LineEquation
Props:
- title: Grundlegende Quadratwurzelfunktion: $$f(x) = \sqrt{x}$$
Visible text: Grundlegende Quadratwurzelfunktion:
- description: Der Graph der grundlegenden Quadratwurzelfunktion beginnt mit dem Punkt $$(0,0)$$ und steigt immer langsamer an.
Visible text: Der Graph der grundlegenden Quadratwurzelfunktion beginnt mit dem Punkt und steigt immer langsamer an.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$f(x)=\sqrt{x}$$,
at: 5,
offset: [0, 1, 0],
},
],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 5,
offset: [0, 1, 0],
},
],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
## Transformationen von Quadratwurzelfunktionen
Transformationen verändern die Form und Lage des Graphen einer Quadratwurzelfunktion.
### Horizontale Verschiebung
Die Funktion $$f(x) = \sqrt{x-h}$$ verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um $$h \text{Einheiten}$$ nach rechts (wenn $$h > 0$$) oder nach links (wenn $$h < 0$$).
Visible text: Die Funktion verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um nach rechts (wenn ) oder nach links (wenn ).
Component: LineEquation
Props:
- title: Horizontale Verschiebung von Quadratwurzelfunktionen
- description: Vergleich von $$f(x) = \sqrt{x}$$,{" "}
$$g(x) = \sqrt{x-2}$$, und{" "}
$$h(x) = \sqrt{x+2}$$.
Visible text: Vergleich von ,
, und
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$\sqrt{x}$$,
at: 5,
offset: [0, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 2 + i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x - 2), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$\sqrt{x-2}$$,
at: 10,
offset: [0, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x + 2), z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$\sqrt{x+2}$$,
at: 10,
offset: [0, 0.5, 0],
},
],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 5,
offset: [0, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 2 + i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x - 2), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 10,
offset: [0, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x + 2), z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 10,
offset: [0, 0.5, 0],
},
],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
### Vertikale Verschiebung
Die Funktion $$f(x) = \sqrt{x} + k$$ verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um $$k \text{Einheiten}$$ nach oben (wenn $$k > 0$$) oder nach unten (wenn $$k < 0$$).
Visible text: Die Funktion verschiebt den Graphen der grundlegenden Quadratwurzelfunktion um nach oben (wenn ) oder nach unten (wenn ).
| Funktion | Transformation | Definitionsbereich | Wertebereich |
| ----------------------------------------- | ---------------------- | --------------- | ---------------- |
| $$f(x) = \sqrt{x}$$ | Grundfunktion | $$x \geq 0$$ | $$y \geq 0$$ |
| $$f(x) = \sqrt{x} + 2$$ | $$2 \text{Einheiten}$$ nach oben verschieben | $$x \geq 0$$ | $$y \geq 2$$ |
| $$f(x) = \sqrt{x} - 3$$ | $$3 \text{Einheiten}$$ nach unten verschieben | $$x \geq 0$$ | $$y \geq -3$$ |
Visible text: | Funktion | Transformation | Definitionsbereich | Wertebereich |
| ----------------------------------------- | ---------------------- | --------------- | ---------------- |
| | Grundfunktion | | |
| | nach oben verschieben | | |
| | nach unten verschieben | | |
### Vertikale Streckung und Stauchung
Für $$f(x) = a\sqrt{x}$$ streckt $$|a|>1$$ den Graphen vertikal, während $$0<|a|<1$$ ihn vertikal staucht. Ein negatives $$a$$ spiegelt den Graphen zusätzlich an der $$x$$-Achse.
Visible text: Für streckt den Graphen vertikal, während ihn vertikal staucht. Ein negatives spiegelt den Graphen zusätzlich an der -Achse.
Component: LineEquation
Props:
- title: Vertikale Streckung und Stauchung
- description: Vergleich von $$f(x) = \sqrt{x}$$,{" "}
$$g(x) = 2\sqrt{x}$$, und{" "}
$$h(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}$$.
Visible text: Vergleich von ,
, und
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$\sqrt{x}$$,
at: 5,
offset: [0, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: 2 * Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$2\sqrt{x}$$,
at: 10,
offset: [0, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: 0.5 * Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$\frac{1}{2}\sqrt{x}$$,
at: 10,
offset: [0, 0.5, 0],
},
],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 5,
offset: [0, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: 2 * Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 10,
offset: [0, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.5;
return { x, y: 0.5 * Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 10,
offset: [0, 0.5, 0],
},
],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
## Allgemeine Form von Quadratwurzelfunktionen
Für den nicht entarteten Fall $$a\neq 0$$ und $$b\neq 0$$ hat die transformierte Quadratwurzelfunktion die Form:
Visible text: Für den nicht entarteten Fall und hat die transformierte Quadratwurzelfunktion die Form:
```math
f(x) = a\sqrt{b(x-h)} + k
```
Hier:
- $$a$$ bestimmt die vertikale Skalierung und bei $$a<0$$ die Spiegelung an der $$x$$-Achse
- $$b$$ bestimmt die horizontale Skalierung und bei $$b<0$$ die horizontale Spiegelung
- $$h$$ bestimmt die horizontale Verschiebung
- $$k$$ bestimmt die vertikale Verschiebung
Visible text: - bestimmt die vertikale Skalierung und bei die Spiegelung an der -Achse
- bestimmt die horizontale Skalierung und bei die horizontale Spiegelung
- bestimmt die horizontale Verschiebung
- bestimmt die vertikale Verschiebung
Der reelle Definitionsbereich folgt aus $$b(x-h)\geq 0$$. Das Vorzeichen von $$a$$ bestimmt anschließend, ob sich der Wertebereich von $$y=k$$ aus nach oben oder unten erstreckt.
Visible text: Der reelle Definitionsbereich folgt aus . Das Vorzeichen von bestimmt anschließend, ob sich der Wertebereich von aus nach oben oder unten erstreckt.
**Schritte zum Zeichnen des Graphen:**
| Schritt | Aktion | Beispiel: $$f(x) = 2\sqrt{x-1} + 3$$ |
| ---- | ------------------------- | ----------------------------------------------------------------- |
| $$1$$ | Startpunkt bestimmen | $$x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$$, $$f(1) = 3$$, Punkt: $$(1, 3)$$ |
| $$2$$ | Definitionsbereich bestimmen | $$x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$$ |
| $$3$$ | Wertetabelle erstellen | Wählen Sie mehrere Werte $$x \geq 1$$ |
| $$4$$ | Funktionswerte berechnen | Für $$x = 2$$: $$f(2) = 2\sqrt{1} + 3 = 5$$ |
| $$5$$ | Punkte eintragen | Tragen Sie $$(1,3)$$, $$(2,5)$$, $$(5,7)$$ usw. ein |
| $$6$$ | Punkte verbinden | Zeichnen Sie eine glatte Kurve durch die Punkte |
Visible text: | Schritt | Aktion | Beispiel: |
| ---- | ------------------------- | ----------------------------------------------------------------- |
| | Startpunkt bestimmen | , , Punkt: |
| | Definitionsbereich bestimmen | |
| | Wertetabelle erstellen | Wählen Sie mehrere Werte |
| | Funktionswerte berechnen | Für : |
| | Punkte eintragen | Tragen Sie , , usw. ein |
| | Punkte verbinden | Zeichnen Sie eine glatte Kurve durch die Punkte |
## Quadratwurzelfunktionsgleichungen
Um eine Gleichung mit einer Quadratwurzel zu lösen, isolieren Sie die Wurzel, quadrieren Sie beide Seiten und prüfen anschließend jeden Lösungskandidaten in der ursprünglichen Gleichung. Das Quadrieren ist für beliebige reelle Ausdrücke nicht umkehrbar und kann deshalb Scheinlösungen erzeugen.
| Schritt | Erklärung | Beispiel: $$\sqrt{2x+3} = 5$$ |
| ---- | --------- | ----------------------------------------------------- |
| $$1$$ | Isolieren Sie die Quadratwurzel | Bereits isoliert |
| $$2$$ | Beide Seiten quadrieren | $$(\sqrt{2x+3})^2 = 5^2$$ |
| $$3$$ | Vereinfachen | $$2x+3 = 25$$ |
| $$4$$ | Lösen | $$2x = 22 \Rightarrow x = 11$$ |
| $$5$$ | Überprüfen | $$\sqrt{2(11)+3} = \sqrt{25} = 5$$ ✓ |
Visible text: | Schritt | Erklärung | Beispiel: |
| ---- | --------- | ----------------------------------------------------- |
| | Isolieren Sie die Quadratwurzel | Bereits isoliert |
| | Beide Seiten quadrieren | |
| | Vereinfachen | |
| | Lösen | |
| | Überprüfen | ✓ |
## Quadratwurzelfunktionsungleichungen
Für eine Quadratwurzelungleichung erzwingen Sie zunächst den Definitionsbereich. Überprüfen Sie vor dem Quadrieren auch das Vorzeichen der anderen Seite, damit der Vergleich gleich bleibt.
**Beispiel:** Lösen Sie $$\sqrt{x-1} < 3$$
Visible text: **Beispiel:** Lösen Sie
Component: MathContainer
Children:
```math
\text{Bedingung:} x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1
```
```math
\sqrt{x-1} < 3
```
```math
x-1 < 9
```
```math
x < 10
```
Da beide Seiten im Definitionsbereich nicht negativ sind, bleibt die Ungleichung beim Quadrieren äquivalent. Zusammen mit $$x\geq 1$$ und $$x<10$$ ergibt sich $$1 \leq x < 10$$.
Visible text: Da beide Seiten im Definitionsbereich nicht negativ sind, bleibt die Ungleichung beim Quadrieren äquivalent. Zusammen mit und ergibt sich .
## Übungsaufgaben
1. Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion $$f(x) = \sqrt{3x-6}$$
2. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$$
3. Lösen Sie die Gleichung $$\sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5$$
4. Eine Rakete wird senkrecht gestartet. Das Modell $$h(t) = 100\sqrt{t} \text{Meter}$$ beschreibt ihre Höhe nach $$t \text{Sekunden}$$. Wie hoch ist die Rakete nach $$9 \text{Sekunden}$$?
5. Bestimmen Sie alle Werte von $$x$$, für die $$2\sqrt{x-3} \geq 6$$ gilt.
Visible text: 1. Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktion
2. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion
3. Lösen Sie die Gleichung
4. Eine Rakete wird senkrecht gestartet. Das Modell beschreibt ihre Höhe nach . Wie hoch ist die Rakete nach ?
5. Bestimmen Sie alle Werte von , für die gilt.
### Ausführliche Lösungen
1. Der Radikand darf nicht negativ sein:
```math
3x-6\geq 0
```
```math
x\geq 2.
```
Damit ist $$D_f=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq 2\}$$. Wenn $$x$$ diesen Definitionsbereich durchläuft, nimmt $$3x-6$$ jeden nicht negativen Wert an. Folglich gilt $$R_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y\geq 0\}$$.
2. **Graph von** $$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$$
**Schritte zum Zeichnen:**
| Schritt | Erklärung | Details für $$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$$ |
| ---- | ------------------------ | --------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $$1$$ | Transformationen identifizieren | $$a = -1$$ (Spiegelung entlang der $$x$$-Achse), $$h = -4$$ (Verschiebung $$4 \text{Einheiten}$$ nach links), $$k = 2$$ (Verschiebung $$2 \text{Einheiten}$$ nach oben) |
| $$2$$ | Startpunkt bestimmen | $$x+4 = 0 \Rightarrow x = -4$$, $$g(-4) = 0 + 2 = 2$$, Startpunkt: $$(-4, 2)$$ |
| $$3$$ | Definitionsbereich bestimmen | $$x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$$ |
| $$4$$ | Wertebereich bestimmen | Da $$a = -1 < 0$$, fällt der Graph vom Startpunkt aus. Deshalb gilt $$y \leq 2$$. |
| $$5$$ | Wertetabelle erstellen | Wählen Sie Werte $$x \geq -4$$ |
**Wertetabelle:**
| $$x$$ | $$x+4$$ | $$\sqrt{x+4}$$ | $$-\sqrt{x+4}$$ | $$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$$ |
| --------- | ------------------------- | -------------------------------- | --------------------------------- | -------------------------------------------- |
| $$-4$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$2$$ |
| $$-3$$ | $$1$$ | $$1$$ | $$-1$$ | $$1$$ |
| $$0$$ | $$4$$ | $$2$$ | $$-2$$ | $$0$$ |
| $$5$$ | $$9$$ | $$3$$ | $$-3$$ | $$-1$$ |
| $$12$$ | $$16$$ | $$4$$ | $$-4$$ | $$-2$$ |
Graph von $$g(x) = -\sqrt{x+4} + 2$$
}
description={<>Der Graph wird an der $$x$$-Achse gespiegelt und anschließend verschoben.}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -4 + i * 0.8;
const y = -Math.sqrt(x + 4) + 2;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$g(x)=-\sqrt{x+4}+2$$,
at: 8,
offset: [0, -1, 0],
},
{
text: $$(-4,2)$$,
at: 0,
offset: [0.5, 0.5, 0],
},
],
},
]}
showZAxis={false}
cameraPosition={[10, 6, 10]}
/>
Der Graph beginnt bei $$(-4,2)$$. Das negative Vorzeichen spiegelt den Grundgraphen an der $$x$$-Achse, sodass die Kurve nach rechts fällt und ihre Funktionswerte höchstens $$2$$ betragen.
3. Der Definitionsbereich erfordert $$x\geq 0$$. Isolieren Sie einen Wurzelausdruck:
```math
\sqrt{x+5}=5-\sqrt{x}
```
```math
x+5=25-10\sqrt{x}+x
```
```math
10\sqrt{x}=20
```
```math
\sqrt{x}=2
```
```math
x=4.
```
Überprüfen Sie die Originalgleichung: $$\sqrt{4+5}+\sqrt{4}=3+2=5$$. Somit ist $$x=4$$ gültig.
4. Ersetzen Sie $$t=9$$ im Modell:
```math
h(9)=100\sqrt{9}=100\cdot 3=300\text{ m}.
```
Das Modell verwendet $$t\geq 0$$, und $$9$$ liegt in diesem Definitionsbereich. Die modellierte Höhe beträgt $$300\text{ m}$$.
5. Halten Sie zunächst den Definitionsbereich fest: Aus $$x-3\geq 0$$ folgt $$x\geq 3$$. Teilen Sie durch die positive Zahl $$2$$ und quadrieren Sie anschließend die nicht negativen Seiten:
```math
2\sqrt{x-3}\geq 6
```
```math
\sqrt{x-3}\geq 3
```
```math
x-3\geq 9
```
```math
x\geq 12.
```
Der Schnitt mit dem Definitionsbereich ergibt weiterhin $$x\geq 12$$.
Visible text: 1. Der Radikand darf nicht negativ sein:
Damit ist . Wenn diesen Definitionsbereich durchläuft, nimmt jeden nicht negativen Wert an. Folglich gilt .
2. **Graph von**
**Schritte zum Zeichnen:**
| Schritt | Erklärung | Details für |
| ---- | ------------------------ | --------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| | Transformationen identifizieren | (Spiegelung entlang der -Achse), (Verschiebung nach links), (Verschiebung nach oben) |
| | Startpunkt bestimmen | , , Startpunkt: |
| | Definitionsbereich bestimmen | |
| | Wertebereich bestimmen | Da , fällt der Graph vom Startpunkt aus. Deshalb gilt . |
| | Wertetabelle erstellen | Wählen Sie Werte |
**Wertetabelle:**
| | | | | |
| --------- | ------------------------- | -------------------------------- | --------------------------------- | -------------------------------------------- |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | |
Graph von
}
description={<>Der Graph wird an der -Achse gespiegelt und anschließend verschoben.}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -4 + i * 0.8;
const y = -Math.sqrt(x + 4) + 2;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 8,
offset: [0, -1, 0],
},
{
text: ,
at: 0,
offset: [0.5, 0.5, 0],
},
],
},
]}
showZAxis={false}
cameraPosition={[10, 6, 10]}
/>
Der Graph beginnt bei . Das negative Vorzeichen spiegelt den Grundgraphen an der -Achse, sodass die Kurve nach rechts fällt und ihre Funktionswerte höchstens betragen.
3. Der Definitionsbereich erfordert . Isolieren Sie einen Wurzelausdruck:
Überprüfen Sie die Originalgleichung: . Somit ist gültig.
4. Ersetzen Sie im Modell:
Das Modell verwendet , und liegt in diesem Definitionsbereich. Die modellierte Höhe beträgt .
5. Halten Sie zunächst den Definitionsbereich fest: Aus folgt . Teilen Sie durch die positive Zahl und quadrieren Sie anschließend die nicht negativen Seiten:
Der Schnitt mit dem Definitionsbereich ergibt weiterhin .