# Stückweise Funktionsmodellierung
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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-modeling/piecewise-function-modeling/de.mdx
Modelliere stückweise Funktionen anhand von Intervallgrenzen, gestaffelten Tarifen, wechselnden Geschwindigkeiten und Verbindungsstellen.
---
## Wann man stückweise Funktionen verwenden sollte
Eine stückweise Funktion ist nützlich, wenn eine Situation nicht durch eine einzige Formel beschrieben werden kann. Ihr Definitionsbereich wird in Intervalle aufgeteilt, für die jeweils eine eigene Regel gilt.
Beispielsweise können die Stromkosten für die erste Nutzungsstufe günstiger und ab einer bestimmten Grenze teurer sein. Eine solche Grenze ist ein Zeichen dafür, dass das Modell in Teilen geschrieben werden sollte.
### Mathematische Definition
Eine stückweise Funktion kann in der Form geschrieben werden:
```math
f(x) = \begin{cases} f_1(x), & \text{wenn} x \in D_1 \\ f_2(x), & \text{wenn} x \in D_2 \\ f_3(x), & \text{wenn} x \in D_3 \\ \vdots \\ f_n(x), & \text{wenn} x \in D_n \end{cases}
```
Dabei sind $$D_1, D_2, D_3, \ldots, D_n$$ Intervalle, die den Definitionsbereich der Funktion in disjunkte Teile zerlegen.
Visible text: Dabei sind Intervalle, die den Definitionsbereich der Funktion in disjunkte Teile zerlegen.
Achten Sie beim Lesen oder Erstellen einer stückweisen Funktion auf drei Dinge:
- Die Formel in jeder Zeile.
- Die Intervallbedingung, die entscheidet, wann diese Formel verwendet wird.
- Der Funktionswert an Verbindungspunkten, insbesondere wenn eine Intervallgrenze $$\lt$$, $$\leq$$, $$\gt$$ oder $$\geq$$ verwendet.
Visible text: - Die Formel in jeder Zeile.
- Die Intervallbedingung, die entscheidet, wann diese Formel verwendet wird.
- Der Funktionswert an Verbindungspunkten, insbesondere wenn eine Intervallgrenze , , oder verwendet.
## Gemeinsame Stückformen
### Lineare Stücke
Eine lineare stückweise Funktion verwendet in jedem Intervall eine lineare Funktion. Diese Form tritt häufig auf, wenn die Änderungsrate eine Zeit lang konstant bleibt und sich dann ab einem bestimmten Punkt ändert.
Component: LineEquation
Props:
- title: Lineare stückweise Funktion
- description: Beispiel einer linearen stückweisen Funktion mit drei verschiedenen Teilen.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=2x+3$$, at: 10, offset: [-1.5, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 0 + i * 0.1;
return { x, y: -x + 3, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=-x+3$$, at: 10, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 2 + i * 0.1;
return { x, y: 0.5 * x, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=0{,}5x$$, at: 10, offset: [1, -0.5, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 10, offset: [-1.5, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 0 + i * 0.1;
return { x, y: -x + 3, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 10, offset: [1, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 2 + i * 0.1;
return { x, y: 0.5 * x, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 10, offset: [1, -0.5, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
Die obige Funktion kann wie folgt geschrieben werden:
```math
f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & \text{wenn} -2 \leq x < 0 \\ -x + 3, & \text{wenn} 0 \leq x < 2 \\ 0{,}5x, & \text{wenn} x \geq 2 \end{cases}
```
Die drei Reihen sind keine drei separaten Funktionen. Sie arbeiten als eine Funktion zusammen und die gewählte Formel hängt vom Wert von $$x$$ ab.
Visible text: Die drei Reihen sind keine drei separaten Funktionen. Sie arbeiten als eine Funktion zusammen und die gewählte Formel hängt vom Wert von ab.
### Quadratische Stücke
Stückweise Funktionen können auch quadratische Teile verwenden. Dies ist hilfreich, wenn ein Teil des Modells einer Kurve folgt, anstatt einer geraden Linie zu folgen.
Component: LineEquation
Props:
- title: Kombinierte stückweise Funktion
- description: Kombination quadratischer und linearer Funktionen in einer stückweisen Funktion.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = -3 + i * 0.1;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=x^2$$, at: 15, offset: [-1, -1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = 0 + i * 0.1;
return { x, y: 2 * x, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=2x$$, at: 15, offset: [1, -1, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = -3 + i * 0.1;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 15, offset: [-1, -1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = 0 + i * 0.1;
return { x, y: 2 * x, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 15, offset: [1, -1, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
## Verbindungspunkte und Kontinuität
### Verbindungen ohne Sprünge
Eine stückweise Funktion ist stetig, wenn der Graph an einem Verbindungspunkt keinen Sprung macht. Der Wert von links, der Wert von rechts und der Funktionswert an diesem Punkt müssen übereinstimmen.
Bedingung für Kontinuität am Punkt $$x = c$$:
Visible text: Bedingung für Kontinuität am Punkt :
```math
\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = f(c)
```
Beispiel einer stetigen stückweisen Funktion:
```math
f(x) = \begin{cases} x + 1, & \text{wenn} x < 2 \\ 3, & \text{wenn} x = 2 \\ 5 - x, & \text{wenn} x > 2 \end{cases}
```
Für Kontinuität bei $$x = 2$$:
Visible text: Für Kontinuität bei :
- $$\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$$
- $$\lim_{x \to 2^+} (5 - x) = 3$$
- $$f(2) = 3$$
Visible text: -
-
-
### Verbindungen mit Sprüngen
Diskontinuierliche stückweise Funktionen weisen an bestimmten Stellen „Sprünge“ oder „Löcher“ auf.
Beispielsweise treffen die beiden folgenden Regeln bei $$x=1$$ aufeinander, nähern sich dort aber unterschiedlichen Ausgabewerten:
Visible text: Beispielsweise treffen die beiden folgenden Regeln bei aufeinander, nähern sich dort aber unterschiedlichen Ausgabewerten:
```math
f(x)=\begin{cases}x+2,&\text{wenn }x<1\\2x-3,&\text{wenn }x\geq1\end{cases}
```
Component: LineEquation
Props:
- title: Diskontinuierliche stückweise Funktion
- description: Beispiel einer Funktion mit Sprungunstetigkeit bei{" "}
$$x = 1$$.
Visible text: Beispiel einer Funktion mit Sprungunstetigkeit bei
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 20 }, (_, i) => {
const x = -1 + i * 0.1;
return { x, y: x + 2, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=x+2$$, at: 10, offset: [-1, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 1 + i * 0.1;
return { x, y: 2 * x - 3, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=2x-3$$, at: 10, offset: [1, 1, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 20 }, (_, i) => {
const x = -1 + i * 0.1;
return { x, y: x + 2, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 10, offset: [-1, 1, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 1 + i * 0.1;
return { x, y: 2 * x - 3, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 10, offset: [1, 1, 0] }],
},
]
- cameraPosition: [0, 0, 12]
- showZAxis: false
## Modellierung mit stückweisen Funktionen
### Progressive Tarife
Viele reale Situationen können mit stückweisen Funktionen modelliert werden, da sich ihre Regeln nach bestimmten Grenzen ändern. Gängige Beispiele sind progressive Steuern, gestaffelte Parkgebühren und gestaffelte Stromtarife.
**Beispiel: Stromtarife**
Ein Elektrizitätsunternehmen wendet gestaffelte Tarife an:
- $$0\leq x\leq50$$ kWh: $$\text{Rp}1{.}000/\text{kWh}$$
- $$50<x\leq100$$ kWh: $$\text{Rp}1{.}500/\text{kWh}$$
- $$x>100$$ kWh: $$\text{Rp}2{.}000/\text{kWh}$$
Visible text: - kWh:
- kWh:
- kWh:
Das mathematische Modell:
```math
C(x) = \begin{cases} 1000x, & \text{wenn} 0 \leq x \leq 50 \\ 50000 + 1500(x-50), & \text{wenn} 50 < x \leq 100 \\ 125000 + 2000(x-100), & \text{wenn} x > 100 \end{cases}
```
Die Zahl $$50{.}000$$ in der zweiten Zeile stammt aus dem ersten $$50 \text{ kWh}$$. Die Zahl $$125{.}000$$ in der dritten Zeile ergibt sich aus den Kosten bis zum ersten $$100 \text{ kWh}$$. Dadurch wird verhindert, dass die Kosten bei $$0$$ neu starten, wenn die Nutzung in ein neues Intervall eintritt.
Visible text: Die Zahl in der zweiten Zeile stammt aus dem ersten . Die Zahl in der dritten Zeile ergibt sich aus den Kosten bis zum ersten . Dadurch wird verhindert, dass die Kosten bei neu starten, wenn die Nutzung in ein neues Intervall eintritt.
**Stromkostentabelle:**
| Verbrauch (kWh) | $$30$$ | $$50$$ | $$75$$ | $$100$$ | $$150$$ |
| ----------- | ------ | ------ | ------ | ------- | ------- |
| Kosten (Rp) | $$30{.}000$$ | $$50{.}000$$ | $$87{.}500$$ | $$125{.}000$$ | $$225{.}000$$ |
Visible text: | Verbrauch (kWh) | | | | | |
| ----------- | ------ | ------ | ------ | ------- | ------- |
| Kosten (Rp) | | | | | |
### Wechselnde Geschwindigkeiten
**Beispiel: Reise mit mehreren Verkehrsmitteln**
Jemand unternimmt eine Reise mit:
- Gehen: $$5 \text{km/h}$$ für $$0{,}5 \text{Stunden}$$
- Radfahren: $$15 \text{km/h}$$ für $$1 \text{Stunde}$$
- Autofahrt: $$60 \text{km/h}$$ für $$0{,}5 \text{Stunden}$$
Visible text: - Gehen: für
- Radfahren: für
- Autofahrt: für
Abstandsfunktion über der Zeit:
```math
s(t) = \begin{cases} 5t, & \text{wenn} 0 \leq t \leq 0{,}5 \\ 2{,}5 + 15(t-0{,}5), & \text{wenn} 0{,}5 < t \leq 1{,}5 \\ 17{,}5 + 60(t-1{,}5), & \text{wenn} 1{,}5 < t \leq 2 \end{cases}
```
Die Konstanten $$2{,}5$$ und $$17{,}5$$ sorgen dafür, dass die bereits zurückgelegte Strecke beim Wechsel des Verkehrsmittels erhalten bleibt. Jeder neue Abschnitt beginnt daher an der zuletzt erreichten Position und nicht wieder bei $$0$$.
Visible text: Die Konstanten und sorgen dafür, dass die bereits zurückgelegte Strecke beim Wechsel des Verkehrsmittels erhalten bleibt. Jeder neue Abschnitt beginnt daher an der zuletzt erreichten Position und nicht wieder bei .
## Stückweise Funktionsgleichungen bestimmen
So ermitteln Sie stückweise Funktionsgleichungen aus Graphen oder Situationen:
- Teilen Sie den Definitionsbereich an jeder Grenze auf, an der sich die Regel ändert.
- Bestimmen Sie die Formel für jedes Intervall.
- Überprüfen Sie die Verbindungspunkte, damit die Intervallzeichen und Funktionswerte nicht in Konflikt geraten.
- Schreiben Sie alle Stücke in stückweiser Notation.
**Beispiel:**
Ein Graph zeigt:
- Linie mit Steigung $$2$$ von $$x = -2$$ bis $$x = 0$$
- Horizontale Linie $$y = 4$$ von $$x = 0$$ bis $$x = 2$$
- Linie mit Steigung $$-1$$ von $$x = 2$$ bis $$x = 4$$
Visible text: - Linie mit Steigung von bis
- Horizontale Linie von bis
- Linie mit Steigung von bis
Die Lösung lässt sich wie folgt zusammenfassen:
| Intervall | Informationen aus dem Graphen | Gleichung |
| -------- | ----------------- | -------- |
| $$[-2, 0)$$ | Verläuft durch $$(-2, 0)$$ mit Steigung $$2$$ | $$y = 2(x + 2) = 2x + 4$$ |
| $$[0, 2)$$ | Horizontale Linie | $$y = 4$$ |
| $$[2, 4]$$ | Verläuft durch $$(2, 4)$$ mit Steigung $$-1$$ | $$y = -1(x - 2) + 4 = -x + 6$$ |
Visible text: | Intervall | Informationen aus dem Graphen | Gleichung |
| -------- | ----------------- | -------- |
| | Verläuft durch mit Steigung | |
| | Horizontale Linie | |
| | Verläuft durch mit Steigung | |
Stückweise Funktion:
```math
f(x) = \begin{cases} 2x + 4, & \text{wenn} -2 \leq x < 0 \\ 4, & \text{wenn} 0 \leq x < 2 \\ -x + 6, & \text{wenn} 2 \leq x \leq 4 \end{cases}
```
## Übungsaufgaben
1. Bestimmen Sie die Werte von $$f(1)$$, $$f(3)$$ und $$f(5)$$ für die Funktion:
```math
f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{wenn} x < 2 \\ 2x + 1, & \text{wenn} 2 \leq x < 4 \\ 9, & \text{wenn} x \geq 4 \end{cases}
```
2. Ein Online-Taxiunternehmen wendet die folgenden Tarife an:
Der Grundpreis beträgt $$\text{Rp}10{.}000$$ für die ersten $$2 \text{ km}$$. Die Strecke über $$2 \text{ km}$$ bis $$10 \text{ km}$$ kostet $$\text{Rp}4{.}000/\text{km}$$. Oberhalb von $$10 \text{ km}$$ beträgt der zusätzliche Tarif $$\text{Rp}3{.}000/\text{km}$$.
Erstellen Sie ein stückweises Funktionsmodell für die Gesamtkosten!
3. Bestimmen Sie, ob die folgende Funktion bei $$x = 1$$ stetig ist:
```math
g(x) = \begin{cases} 3x - 1, & \text{wenn} x < 1 \\ 2, & \text{wenn} x = 1 \\ x + 1, & \text{wenn} x > 1 \end{cases}
```
4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion:
```math
h(x) = \begin{cases} -x + 2, & \text{wenn} x < 0 \\ x^2, & \text{wenn} 0 \leq x < 2 \\ 4, & \text{wenn} x \geq 2 \end{cases}
```
5. Ein Arbeiter wird nach folgendem System bezahlt:
Die ersten $$8 \text{Stunden}$$ werden mit $$\text{Rp}50{.}000/\text{Stunde}$$ bezahlt. Jede weitere Stunde wird mit $$\text{Rp}75{.}000/\text{Stunde}$$ vergütet.
Der Arbeitnehmer darf höchstens $$12 \text{Stunden/Tag}$$ arbeiten. Erstellen Sie eine Funktion für seinen Tageslohn.
Visible text: 1. Bestimmen Sie die Werte von , und für die Funktion:
2. Ein Online-Taxiunternehmen wendet die folgenden Tarife an:
Der Grundpreis beträgt für die ersten . Die Strecke über bis kostet . Oberhalb von beträgt der zusätzliche Tarif .
Erstellen Sie ein stückweises Funktionsmodell für die Gesamtkosten!
3. Bestimmen Sie, ob die folgende Funktion bei stetig ist:
4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion:
5. Ein Arbeiter wird nach folgendem System bezahlt:
Die ersten werden mit bezahlt. Jede weitere Stunde wird mit vergütet.
Der Arbeitnehmer darf höchstens arbeiten. Erstellen Sie eine Funktion für seinen Tageslohn.
### Lösungen
1. **Funktionswerte berechnen:**
Für $$f(1)$$ verwenden wir $$f(x) = x^2$$, da $$1 < 2$$ gilt.
```math
f(1) = 1^2 = 1
```
Für $$f(3)$$ verwenden wir $$f(x) = 2x + 1$$, da $$2 \leq 3 < 4$$ gilt.
```math
f(3) = 2(3) + 1 = 7
```
Für $$f(5)$$ verwenden wir $$f(x) = 9$$, da $$5 \geq 4$$ gilt.
```math
f(5) = 9
```
2. **Taxi-Tarifmodell:**
Sei $$x$$ die Entfernung in km, dann gilt:
```math
C(x) = \begin{cases} 10000, & \text{wenn} 0 < x \leq 2 \\ 10000 + 4000(x-2), & \text{wenn} 2 < x \leq 10 \\ 10000 + 32000 + 3000(x-10), & \text{wenn} x > 10 \end{cases}
```
Oder vereinfacht:
```math
C(x) = \begin{cases} 10000, & \text{wenn} 0 < x \leq 2 \\ 4000x + 2000, & \text{wenn} 2 < x \leq 10 \\ 3000x + 12000, & \text{wenn} x > 10 \end{cases}
```
3. **Kontinuität prüfen:**
Bei $$x = 1$$:
```math
\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x - 1) = 3(1) - 1 = 2
```
```math
\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 1 + 1 = 2
```
```math
g(1) = 2
```
Da $$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^+} g(x) = g(1) = 2$$ gilt, ist die Funktion **stetig** bei $$x = 1$$.
4. **Skizze des Graphen $$h(x)$$:**
Funktionsgraph $$h(x)$$
}
description={
<>
Stückweise Funktion mit drei Teilen: abnehmend linear, quadratisch und
konstant
}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x, y: -x + 2, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=-x+2$$, at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 0 + i * 0.1;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=x^2$$, at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 2 + i * 0.1;
return { x, y: 4, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=4$$, at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
]}
cameraPosition={[0, 0, 12]}
showZAxis={false}
/>
5. **Tageslohnfunktion:**
Sei $$t$$ die Arbeitszeit in Stunden. Dann gilt:
```math
U(t) = \begin{cases} 50000t, & \text{wenn} 0 \leq t \leq 8 \\ 400000 + 75000(t-8), & \text{wenn} 8 < t \leq 12 \end{cases}
```
Oder vereinfacht:
```math
U(t) = \begin{cases} 50000t, & \text{wenn} 0 \leq t \leq 8 \\ 75000t - 200000, & \text{wenn} 8 < t \leq 12 \end{cases}
```
Visible text: 1. **Funktionswerte berechnen:**
Für verwenden wir , da gilt.
Für verwenden wir , da gilt.
Für verwenden wir , da gilt.
2. **Taxi-Tarifmodell:**
Sei die Entfernung in km, dann gilt:
Oder vereinfacht:
3. **Kontinuität prüfen:**
Bei :
Da gilt, ist die Funktion **stetig** bei .
4. **Skizze des Graphen :**
Funktionsgraph
}
description={
<>
Stückweise Funktion mit drei Teilen: abnehmend linear, quadratisch und
konstant
}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -2 + i * 0.1;
return { x, y: -x + 2, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 0 + i * 0.1;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = 2 + i * 0.1;
return { x, y: 4, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
},
]}
cameraPosition={[0, 0, 12]}
showZAxis={false}
/>
5. **Tageslohnfunktion:**
Sei die Arbeitszeit in Stunden. Dann gilt:
Oder vereinfacht: