# Modellieren mit Stufenfunktionen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionen-und-modelle/treppenfunktionen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-modeling/step-function-modeling/de.mdx Modelliere Stufenfunktionen mit Buchrabatten und Aufzugskapazitäten und vergleiche Abrundungs-, Aufrundungs- und Einheitssprungfunktionen. --- ## Stufenfunktionen verstehen Eine Stufenfunktion hat in jedem Intervall einen konstanten Wert und kann beim Übergang zum nächsten Intervall springen. Ihr Graph ähnelt einer Treppe: Waagerechte Abschnitte zeigen die konstanten Werte, getrennte Endpunkte kennzeichnen mögliche Sprungstellen. ### Mathematische Definition Eine Stufenfunktion kann als stückweise Funktion der Form definiert werden: ```math f(x) = \begin{cases} c_1, & \text{wenn} a_1 \leq x < b_1 \\ c_2, & \text{wenn} a_2 \leq x < b_2 \\ c_3, & \text{wenn} a_3 \leq x < b_3 \\ \vdots \\ c_n, & \text{wenn} a_n \leq x < b_n \end{cases} ``` Dabei sind $$c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n$$ Konstanten und $$[a_i, b_i)$$ nicht überlappende Intervalle. Visible text: Dabei sind Konstanten und nicht überlappende Intervalle. **Eigenschaften von Stufenfunktionen:** - Konstante Werte in jedem Intervall - Sprungdiskontinuitäten an Intervallgrenzpunkten - Graph in Form einer Treppe - Gehört zur Kategorie der stückweisen Funktionen ## Typen von Stufenfunktionen ### Abrundungsfunktion Die Abrundungsfunktion, bezeichnet mit $$\lfloor x \rfloor$$, gibt die größte ganze Zahl an, die kleiner oder gleich $$x$$ ist. Visible text: Die Abrundungsfunktion, bezeichnet mit , gibt die größte ganze Zahl an, die kleiner oder gleich ist. ```math \lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \leq x\} ``` Zum besseren Verständnis schauen wir uns das folgende Beispiel an: Component: LineEquation Props: - title: Abrundungsfunktion $$f(x) = \lfloor x \rfloor$$ Visible text: Abrundungsfunktion - description: Der Graph ordnet jeder Zahl $$x$$ die größte ganze Zahl zu, die $$x$$ nicht überschreitet. Visible text: Der Graph ordnet jeder Zahl die größte ganze Zahl zu, die nicht überschreitet. - data: [ ...Array.from({ length: 10 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 5; return { points: [ { x: integerValue, y: integerValue, z: 0 }, { x: integerValue + 0.999, y: integerValue, z: 0 }, ], color: "#9333ea", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 2 ? [{ text: $$f(x)=\lfloor x \rfloor$$, at: 1, offset: [1, -1, 0] }] : [], }; }), ] Visible text: [ ...Array.from({ length: 10 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 5; return { points: [ { x: integerValue, y: integerValue, z: 0 }, { x: integerValue + 0.999, y: integerValue, z: 0 }, ], color: "#9333ea", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 2 ? [{ text: , at: 1, offset: [1, -1, 0] }] : [], }; }), ] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false **Wertetabelle der Abrundungsfunktion:** | $$x$$ | $$-2{,}5$$ | $$-1{,}7$$ | $$-1$$ | $$-0{,}3$$ | $$0$$ | $$0{,}8$$ | $$1$$ | $$1{,}9$$ | $$2{,}4$$ | | --------------------------------------- | ---- | ---- | --- | ---- | --- | --- | --- | --- | --- | | $$\lfloor x \rfloor$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$-1$$ | $$0$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$1$$ | $$2$$ | Visible text: | | | | | | | | | | | | --------------------------------------- | ---- | ---- | --- | ---- | --- | --- | --- | --- | --- | | | | | | | | | | | | ### Aufrundungsfunktion Die Aufrundungsfunktion, bezeichnet mit $$\lceil x \rceil$$, gibt die kleinste ganze Zahl an, die größer oder gleich $$x$$ ist. Visible text: Die Aufrundungsfunktion, bezeichnet mit , gibt die kleinste ganze Zahl an, die größer oder gleich ist. ```math \lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \geq x\} ``` Betrachten wir das folgende Beispiel: Component: LineEquation Props: - title: Aufrundungsfunktion $$f(x) = \lceil x \rceil$$ Visible text: Aufrundungsfunktion - description: Der Graph ordnet jeder Zahl $$x$$ die kleinste ganze Zahl zu, die $$x$$ nicht unterschreitet. Visible text: Der Graph ordnet jeder Zahl die kleinste ganze Zahl zu, die nicht unterschreitet. - data: [ ...Array.from({ length: 10 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 4; return { points: [ { x: integerValue - 0.999, y: integerValue, z: 0 }, { x: integerValue, y: integerValue, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 3 ? [{ text: $$f(x)=\lceil x \rceil$$, at: 1, offset: [1, -1, 0] }] : [], }; }), ] Visible text: [ ...Array.from({ length: 10 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 4; return { points: [ { x: integerValue - 0.999, y: integerValue, z: 0 }, { x: integerValue, y: integerValue, z: 0 }, ], color: "#ea580c", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 3 ? [{ text: , at: 1, offset: [1, -1, 0] }] : [], }; }), ] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false ### Einheitssprungfunktion (Heaviside) In diesem Kapitel verwenden wir für die Einheitsschrittfunktion oder Heaviside-Funktion, bezeichnet mit $$H(x)$$ oder $$u(x)$$, die folgende verbreitete Konvention: Visible text: In diesem Kapitel verwenden wir für die Einheitsschrittfunktion oder Heaviside-Funktion, bezeichnet mit oder , die folgende verbreitete Konvention: ```math H(x) = \begin{cases} 0, & \text{wenn} x < 0 \\ 1, & \text{wenn} x \geq 0 \end{cases} ``` Nach dieser Konvention hat die Einheitsschrittfunktion den Wert $$0$$ für $$x < 0$$ und $$1$$ für $$x \geq 0$$. In anderen Fachgebieten wird manchmal $$H(0)=0$$ oder $$H(0)=\frac12$$ gewählt. Deshalb muss der Wert an der Sprungstelle stets angegeben werden. Visible text: Nach dieser Konvention hat die Einheitsschrittfunktion den Wert für und für . In anderen Fachgebieten wird manchmal oder gewählt. Deshalb muss der Wert an der Sprungstelle stets angegeben werden. Component: LineEquation Props: - title: Einheitsschrittfunktion $$H(x)$$ Visible text: Einheitsschrittfunktion - description: Der Graph springt bei $$x=0$$ vom Wert $$0$$ auf den Wert $$1$$. Visible text: Der Graph springt bei vom Wert auf den Wert . - data: [ { points: [ { x: -10, y: 0, z: 0 }, { x: -0.001, y: 0, z: 0 }, ], color: "#0d9488", showPoints: false, smooth: false, }, { points: [ { x: 0, y: 1, z: 0 }, { x: 10, y: 1, z: 0 }, ], color: "#0d9488", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: $$H(x)$$, at: 1, offset: [1, 0.5, 0] }], }, ] Visible text: [ { points: [ { x: -10, y: 0, z: 0 }, { x: -0.001, y: 0, z: 0 }, ], color: "#0d9488", showPoints: false, smooth: false, }, { points: [ { x: 0, y: 1, z: 0 }, { x: 10, y: 1, z: 0 }, ], color: "#0d9488", showPoints: false, smooth: false, labels: [{ text: , at: 1, offset: [1, 0.5, 0] }], }, ] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false ## Eigenschaften von Stufenfunktionen **Allgemeine Eigenschaften:** 1. Definitionsbereich: $$\mathbb{R}$$ (normalerweise) 2. Wertebereich: eine diskrete Wertemenge 3. Kontinuität: Sprungdiskontinuitäten an bestimmten Punkten Visible text: 1. Definitionsbereich: (normalerweise) 2. Wertebereich: eine diskrete Wertemenge 3. Kontinuität: Sprungdiskontinuitäten an bestimmten Punkten **Besondere Eigenschaften der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion:** 1. $$\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$$ 2. $$\lceil x \rceil - 1 < x \leq \lceil x \rceil$$ 3. $$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1 \text{wenn} x \notin \mathbb{Z}$$ 4. $$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor \text{wenn} x \in \mathbb{Z}$$ Visible text: 1. 2. 3. 4. **Vergleichstabelle der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion:** | $$x$$ | $$\lfloor x \rfloor$$ | $$\lceil x \rceil$$ | Unterschied | | ---- | --------------------------------------- | ------------------------------------- | ---------- | | $$-2{,}3$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$1$$ | | $$-1$$ | $$-1$$ | $$-1$$ | $$0$$ | | $$0{,}7$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$1$$ | | $$2$$ | $$2$$ | $$2$$ | $$0$$ | | $$3{,}8$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$1$$ | Visible text: | | | | Unterschied | | ---- | --------------------------------------- | ------------------------------------- | ---------- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ## Transformationen von Stufenfunktionen ### Vertikale Verschiebung Die Funktion $$f(x) = \lfloor x \rfloor + k$$ verschiebt den Graphen der Abrundungsfunktion nach oben (wenn $$k > 0$$) oder nach unten (wenn $$k < 0$$). Visible text: Die Funktion verschiebt den Graphen der Abrundungsfunktion nach oben (wenn ) oder nach unten (wenn ). Component: LineEquation Props: - title: Vertikale Verschiebung der Abrundungsfunktion - description: Vergleich von $$f(x) = \lfloor x \rfloor$$ mit{" "} $$g(x) = \lfloor x \rfloor + 2$$ und{" "} $$h(x) = \lfloor x \rfloor - 1$$. Visible text: Vergleich von mit und . - data: [ ...Array.from({ length: 10 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 5; return { points: [ { x: integerValue, y: integerValue, z: 0 }, { x: integerValue + 0.999, y: integerValue, z: 0 }, ], color: "#9333ea", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 2 ? [{ text: $$f(x)=\lfloor x \rfloor$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }] : [], }; }), ...Array.from({ length: 10 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 5; return { points: [ { x: integerValue, y: integerValue + 2, z: 0 }, { x: integerValue + 0.999, y: integerValue + 2, z: 0 }, ], color: "#0891b2", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 2 ? [{ text: $$g(x)=\lfloor x \rfloor+2$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }] : [], }; }), ...Array.from({ length: 10 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 5; return { points: [ { x: integerValue, y: integerValue - 1, z: 0 }, { x: integerValue + 0.999, y: integerValue - 1, z: 0 }, ], color: "#e11d48", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 2 ? [{ text: $$h(x)=\lfloor x \rfloor-1$$, at: 1, offset: [2, 0.5, 0] }] : [], }; }), ] Visible text: [ ...Array.from({ length: 10 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 5; return { points: [ { x: integerValue, y: integerValue, z: 0 }, { x: integerValue + 0.999, y: integerValue, z: 0 }, ], color: "#9333ea", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 2 ? [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }] : [], }; }), ...Array.from({ length: 10 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 5; return { points: [ { x: integerValue, y: integerValue + 2, z: 0 }, { x: integerValue + 0.999, y: integerValue + 2, z: 0 }, ], color: "#0891b2", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 2 ? [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }] : [], }; }), ...Array.from({ length: 10 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 5; return { points: [ { x: integerValue, y: integerValue - 1, z: 0 }, { x: integerValue + 0.999, y: integerValue - 1, z: 0 }, ], color: "#e11d48", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 2 ? [{ text: , at: 1, offset: [2, 0.5, 0] }] : [], }; }), ] - cameraPosition: [0, 0, 12] - showZAxis: false ### Horizontale Verschiebung Die Funktion $$f(x) = \lfloor x - h \rfloor$$ verschiebt den Graphen nach rechts (wenn $$h > 0$$) oder nach links (wenn $$h < 0$$). Visible text: Die Funktion verschiebt den Graphen nach rechts (wenn ) oder nach links (wenn ). ## Übungsaufgaben 1. Bestimmen Sie den Wert von $$\lfloor 3{,}7 \rfloor + \lceil -2{,}3 \rceil$$ 2. Eine Buchhandlung gewährt Rabatte abhängig von der Anzahl der gekauften Artikel: Visible text: 1. Bestimmen Sie den Wert von 2. Eine Buchhandlung gewährt Rabatte abhängig von der Anzahl der gekauften Artikel: - $$1\text{-}5$$ Bücher: kein Rabatt - $$6\text{-}10$$ Bücher: $$10\%$$ Rabatt - $$11\text{-}20$$ Bücher: $$15\%$$ Rabatt - $$> 20$$ Bücher: $$20\%$$ Rabatt Wenn der Preis pro Buch $$\text{Rp}\,50{.}000$$ beträgt, erstellen Sie eine Funktion, die den Gesamtpreis nach Rabatt darstellt! Visible text: - Bücher: kein Rabatt - Bücher: Rabatt - Bücher: Rabatt - Bücher: Rabatt Wenn der Preis pro Buch beträgt, erstellen Sie eine Funktion, die den Gesamtpreis nach Rabatt darstellt! 3. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion $$f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$$ für $$-3 \leq x \leq 3$$. 4. Lösen Sie die Gleichung $$\lfloor 2x + 1 \rfloor = 5$$ 5. Ein Aufzug kann maximal $$8 \text{Menschen}$$ aufnehmen. Wenn es $$n \text{Menschen}$$ gibt, die den Aufzug benutzen möchten, wie oft muss der Aufzug fahren? Visible text: 3. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion für . 4. Lösen Sie die Gleichung 5. Ein Aufzug kann maximal aufnehmen. Wenn es gibt, die den Aufzug benutzen möchten, wie oft muss der Aufzug fahren? ### Lösungen 1. **Werte der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion berechnen:** ```math \lfloor 3{,}7 \rfloor = 3 \text{(größte ganze Zahl} \leq 3{,}7\text{)} ``` ```math \lceil -2{,}3 \rceil = -2 \text{(kleinste ganze Zahl} \geq -2{,}3\text{)} ``` ```math \lfloor 3{,}7 \rfloor + \lceil -2{,}3 \rceil = 3 + (-2) = 1 ``` 2. **Modell der Rabattfunktion für Buchhandlungen:** Sei $$n\in\mathbb{N}$$ die positive ganzzahlige Anzahl der gekauften Bücher. Dann beträgt der Gesamtpreis nach Rabatt: ```math H(n) = \begin{cases} 50{.}000n, & \text{wenn} 1 \leq n \leq 5 \\ 50{.}000n \times 0{,}9, & \text{wenn} 6 \leq n \leq 10 \\ 50{.}000n \times 0{,}85, & \text{wenn} 11 \leq n \leq 20 \\ 50{.}000n \times 0{,}8, & \text{wenn} n > 20 \end{cases} ``` 3. **Graph der Funktion $$f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$$:** Für jedes Intervall: - $$-3 \leq x < -2: f(x) = 2(-3) - 1 = -7$$ - $$-2 \leq x < -1: f(x) = 2(-2) - 1 = -5$$ - $$-1 \leq x < 0: f(x) = 2(-1) - 1 = -3$$ - $$0 \leq x < 1: f(x) = 2(0) - 1 = -1$$ - $$1 \leq x < 2: f(x) = 2(1) - 1 = 1$$ - $$2 \leq x < 3: f(x) = 2(2) - 1 = 3$$ - Am Endpunkt gilt $$f(3)=2\lfloor3\rfloor-1=5$$ Der Graph sieht so aus: Graph von $$f(x) = 2\lfloor x \rfloor - 1$$ } description={ <> Der Graph entsteht aus der Abrundungsfunktion durch eine vertikale Streckung mit dem Faktor $$2$$ und eine Verschiebung um $$1$$ nach unten. } data={[ ...Array.from({ length: 6 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 3; const functionValue = 2 * integerValue - 1; return { points: [ { x: integerValue, y: functionValue, z: 0 }, { x: integerValue + 0.999, y: functionValue, z: 0 }, ], color: "#7c3aed", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 1 ? [{ text: $$f(x)=2\lfloor x \rfloor-1$$, at: 1, offset: [1, 1, 0] }] : [], }; }), { points: [ { x: 3, y: 5, z: 0 }, { x: 3.001, y: 5, z: 0 }, ], color: "#7c3aed", showPoints: true, smooth: false, }, ]} cameraPosition={[0, 0, 10]} showZAxis={false} /> 4. **Lösen der Gleichung $$\lfloor 2x + 1 \rfloor = 5$$:** ```math 5 \leq 2x + 1 < 6 ``` ```math 4 \leq 2x < 5 ``` ```math 2 \leq x < 2{,}5 ``` Die Lösungsmenge ist also $$x \in [2; 2{,}5)$$. 5. **Erforderliche Anzahl der Aufzugsfahrten:** Sei $$n\in\mathbb{Z}_{\geq0}$$ die Anzahl der Personen. Wenn der Aufzug höchstens $$8 \text{Personen}$$ aufnehmen kann, beträgt die erforderliche Anzahl der Fahrten: ```math f(n) = \lceil \frac{n}{8} \rceil ``` Die Aufrundungsfunktion wird verwendet, weil jeder von null verschiedene Rest eine zusätzliche Fahrt erfordert. Für eine leere Warteschlange liefert die Formel außerdem $$f(0)=0$$. Visible text: 1. **Werte der Abrundungs- und Aufrundungsfunktion berechnen:** 2. **Modell der Rabattfunktion für Buchhandlungen:** Sei die positive ganzzahlige Anzahl der gekauften Bücher. Dann beträgt der Gesamtpreis nach Rabatt: 3. **Graph der Funktion :** Für jedes Intervall: - - - - - - - Am Endpunkt gilt Der Graph sieht so aus: Graph von } description={ <> Der Graph entsteht aus der Abrundungsfunktion durch eine vertikale Streckung mit dem Faktor und eine Verschiebung um nach unten. } data={[ ...Array.from({ length: 6 }, (_, intervalIndex) => { const integerValue = intervalIndex - 3; const functionValue = 2 * integerValue - 1; return { points: [ { x: integerValue, y: functionValue, z: 0 }, { x: integerValue + 0.999, y: functionValue, z: 0 }, ], color: "#7c3aed", showPoints: false, smooth: false, labels: integerValue === 1 ? [{ text: , at: 1, offset: [1, 1, 0] }] : [], }; }), { points: [ { x: 3, y: 5, z: 0 }, { x: 3.001, y: 5, z: 0 }, ], color: "#7c3aed", showPoints: true, smooth: false, }, ]} cameraPosition={[0, 0, 10]} showZAxis={false} /> 4. **Lösen der Gleichung :** Die Lösungsmenge ist also . 5. **Erforderliche Anzahl der Aufzugsfahrten:** Sei die Anzahl der Personen. Wenn der Aufzug höchstens aufnehmen kann, beträgt die erforderliche Anzahl der Fahrten: Die Aufrundungsfunktion wird verwendet, weil jeder von null verschiedene Rest eine zusätzliche Fahrt erfordert. Für eine leere Warteschlange liefert die Formel außerdem .