# Trigonometrische Funktion eines beliebigen Winkels > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionen-und-modelle/trigonometrische-funktionen-beliebiger-winkel Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-modeling/trigonometric-function-arbitrary-angle/de.mdx Lernen Sie trigonometrische Funktionen für jeden Winkel mithilfe der Einheitskreismethode. Lernen Sie Quadrantenzeichen und Referenzwinkel und lösen Sie Probleme mit der Windmühlenrotation. --- ## Winkel verstehen, die größer als ein rechter Winkel sind Bewegt sich der Minutenzeiger einer Uhr von $$12$$ auf $$6$$, überstreicht er einen Winkel von $$180^\circ$$. Bei einer vollständigen Umdrehung überstreicht der Zeiger $$360^\circ$$. Visible text: Bewegt sich der Minutenzeiger einer Uhr von auf , überstreicht er einen Winkel von . Bei einer vollständigen Umdrehung überstreicht der Zeiger . Trigonometrische Funktionen sind nicht auf spitze Winkel in rechtwinkligen Dreiecken beschränkt. Wir benötigen sie auch für solche größeren Winkel. ## Einheitskreis Um trigonometrische Funktionen beliebiger Winkel zu verstehen, verwenden wir den Einheitskreis. Er hat den Radius $$1$$ und seinen Mittelpunkt im Ursprung $$O(0,0)$$. Visible text: Um trigonometrische Funktionen beliebiger Winkel zu verstehen, verwenden wir den Einheitskreis. Er hat den Radius und seinen Mittelpunkt im Ursprung . Component: UnitCircle Props: - title: Erkundung des Einheitskreises - description: Bewegen Sie den Schieberegler, um zu sehen, wie sich die Koordinaten ändern, wenn der Winkel gedreht wird. - angle: 30 Dabei gilt: - Der Winkel $$\theta$$ wird immer von der positiven $$x$$-Achse aus gemessen - Die positive Richtung ist gegen den Uhrzeigersinn - Jeder Punkt auf dem Kreis hat die Koordinaten $$(x, y)$$ Visible text: - Der Winkel wird immer von der positiven -Achse aus gemessen - Die positive Richtung ist gegen den Uhrzeigersinn - Jeder Punkt auf dem Kreis hat die Koordinaten **Wichtige Definitionen:** Component: MathContainer Children: ```math \sin \theta = y \text{(vertikale Koordinate)} ``` ```math \cos \theta = x \text{(horizontale Koordinate)} ``` ```math \tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad x \neq 0 ``` ## Warum ändern sich die Vorzeichen in jedem Quadranten? Beachten Sie, dass die Koordinaten $$x$$ und $$y$$ positiv oder negativ sein können, wenn sich der Punkt um den Kreis bewegt. Dies führt dazu, dass sich die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen ändern. Visible text: Beachten Sie, dass die Koordinaten und positiv oder negativ sein können, wenn sich der Punkt um den Kreis bewegt. Dies führt dazu, dass sich die Vorzeichen trigonometrischer Funktionen ändern. Component: Triangle Props: - title: Visualisierung von Vorzeichenänderungen - description: Beobachte, wie sich die Werte von $$\sin$$, $$\cos$$ und $$\tan$$ ändern, wenn der Winkel die vier Quadranten durchläuft. Visible text: Beobachte, wie sich die Werte von , und ändern, wenn der Winkel die vier Quadranten durchläuft. - angle: 0 - size: 2 - labels: { opposite: "Gegenkathete", adjacent: "Ankathete", hypotenuse: "Hypotenuse", } **Zeichen in jedem Quadranten:** | Quadrant | Winkelbereich | $$x$$ | $$y$$ | $$\sin$$ | $$\cos$$ | $$\tan$$ | | -------- | ------------------------------------------ | --- | --- | --- | --- | --- | | $$\text{I}$$ | $$0^\circ < \theta < 90^\circ$$ | $$+$$ | $$+$$ | $$+$$ | $$+$$ | $$+$$ | | $$\text{II}$$ | $$90^\circ < \theta < 180^\circ$$ | $$-$$ | $$+$$ | $$+$$ | $$-$$ | $$-$$ | | $$\text{III}$$ | $$180^\circ < \theta < 270^\circ$$ | $$-$$ | $$-$$ | $$-$$ | $$-$$ | $$+$$ | | $$\text{IV}$$ | $$270^\circ < \theta < 360^\circ$$ | $$+$$ | $$-$$ | $$-$$ | $$+$$ | $$-$$ | Visible text: | Quadrant | Winkelbereich | | | | | | | -------- | ------------------------------------------ | --- | --- | --- | --- | --- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Eine sprachabhängige Eselsbrücke ist nicht nötig. Die Vorzeichen lassen sich direkt aus den Koordinaten ablesen: $$\sin\theta$$ hat das Vorzeichen von $$y$$, $$\cos\theta$$ das Vorzeichen von $$x$$, und $$\tan\theta=y/x$$ ist genau dann positiv, wenn $$x$$ und $$y$$ dasselbe Vorzeichen haben. Visible text: Eine sprachabhängige Eselsbrücke ist nicht nötig. Die Vorzeichen lassen sich direkt aus den Koordinaten ablesen: hat das Vorzeichen von , das Vorzeichen von , und ist genau dann positiv, wenn und dasselbe Vorzeichen haben. ## Referenzwinkel Für einen Winkel, dessen Endschenkel auf keiner Koordinatenachse liegt, ist der Referenzwinkel der eindeutige spitze Winkel $$0^\circ<\alpha<90^\circ$$ zwischen diesem Endschenkel und der nächstgelegenen $$x$$-Achse. So lassen sich bekannte Werte spitzer Winkel wiederverwenden. Bei einem Quadrantenwinkel wie $$90^\circ$$ oder $$180^\circ$$ werden die Koordinaten direkt am Einheitskreis abgelesen. Visible text: Für einen Winkel, dessen Endschenkel auf keiner Koordinatenachse liegt, ist der Referenzwinkel der eindeutige spitze Winkel zwischen diesem Endschenkel und der nächstgelegenen -Achse. So lassen sich bekannte Werte spitzer Winkel wiederverwenden. Bei einem Quadrantenwinkel wie oder werden die Koordinaten direkt am Einheitskreis abgelesen. Component: UnitCircle Props: - title: Referenzwinkel verstehen - description: Beobachte, wie sich der spitze Referenzwinkel zur $$x$$-Achse mit dem Winkel verändert. Visible text: Beobachte, wie sich der spitze Referenzwinkel zur -Achse mit dem Winkel verändert. - angle: 135 **So wird der Referenzwinkel $$\alpha$$ für einen Nichtquadrantenwinkel $$0^\circ<\theta<360^\circ$$ bestimmt:** Visible text: **So wird der Referenzwinkel für einen Nichtquadrantenwinkel bestimmt:** - Quadrant I: $$\alpha = \theta$$ - Quadrant II: $$\alpha = 180^\circ - \theta$$ - Quadrant III: $$\alpha = \theta - 180^\circ$$ - Quadrant IV: $$\alpha = 360^\circ - \theta$$ Visible text: - Quadrant I: - Quadrant II: - Quadrant III: - Quadrant IV: ## Ermitteln trigonometrischer Werte Hier sind systematische Schritte zur Bestimmung trigonometrischer Funktionswerte: 1. **Vereinfachen Sie den Winkel** (wenn größer als $$360^\circ$$ oder negativ) 2. **Bestimmen Sie den Quadranten**, in dem der Winkel liegt 3. **Berechnen Sie den Referenzwinkel** 4. **Verwenden Sie den Referenzwinkelwert** mit dem entsprechenden Vorzeichen für den Quadranten Visible text: 1. **Vereinfachen Sie den Winkel** (wenn größer als oder negativ) 2. **Bestimmen Sie den Quadranten**, in dem der Winkel liegt 3. **Berechnen Sie den Referenzwinkel** 4. **Verwenden Sie den Referenzwinkelwert** mit dem entsprechenden Vorzeichen für den Quadranten ### Winkel im zweiten Quadranten **Problem:** Bestimmen Sie $$\sin 120^\circ$$, $$\cos 120^\circ$$ und $$\tan 120^\circ$$ Visible text: **Problem:** Bestimmen Sie , und **Lösung:** - Winkel $$120^\circ$$ liegt im Quadranten II, da $$90^\circ < 120^\circ < 180^\circ$$ gilt - Referenzwinkel: $$\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ - Im Quadranten II: $$\sin(+), \cos(-), \tan(-)$$ Visible text: - Winkel liegt im Quadranten II, da gilt - Referenzwinkel: - Im Quadranten II: Verwendung spezieller Winkelwerte für $$60^\circ$$: Visible text: Verwendung spezieller Winkelwerte für : Component: MathContainer Children: ```math \sin 120^\circ = +\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ``` ```math \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} ``` ```math \tan 120^\circ = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3} ``` ### Winkel im dritten Quadranten **Aufgabe:** Bestimmen Sie trigonometrische Werte für den Winkel $$240^\circ$$ Visible text: **Aufgabe:** Bestimmen Sie trigonometrische Werte für den Winkel **Lösung:** - Winkel $$240^\circ$$ liegt im Quadranten III, da $$180^\circ < 240^\circ < 270^\circ$$ gilt - Referenzwinkel: $$\alpha = 240^\circ - 180^\circ = 60^\circ$$ - Im Quadranten III: $$\sin(-), \cos(-), \tan(+)$$ Visible text: - Winkel liegt im Quadranten III, da gilt - Referenzwinkel: - Im Quadranten III: Verwendung spezieller Winkelwerte für $$60^\circ$$: Visible text: Verwendung spezieller Winkelwerte für : Component: MathContainer Children: ```math \sin 240^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} ``` ```math \cos 240^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} ``` ```math \tan 240^\circ = +\tan 60^\circ = \sqrt{3} ``` ### Winkel im vierten Quadranten **Aufgabe:** Bestimmen Sie trigonometrische Werte für den Winkel $$300^\circ$$ Visible text: **Aufgabe:** Bestimmen Sie trigonometrische Werte für den Winkel **Lösung:** - Winkel $$300^\circ$$ liegt im Quadranten IV, da $$270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$$ gilt - Referenzwinkel: $$\alpha = 360^\circ - 300^\circ = 60^\circ$$ - Im Quadranten IV: $$\sin(-), \cos(+), \tan(-)$$ Visible text: - Winkel liegt im Quadranten IV, da gilt - Referenzwinkel: - Im Quadranten IV: Verwendung spezieller Winkelwerte für $$60^\circ$$: Visible text: Verwendung spezieller Winkelwerte für : Component: MathContainer Children: ```math \sin 300^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} ``` ```math \cos 300^\circ = +\cos 60^\circ = \frac{1}{2} ``` ```math \tan 300^\circ = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3} ``` ## Umgang mit Sonderwinkeln ### Negative Winkel Wenn der Winkel negativ ist, bewegen wir uns im Uhrzeigersinn. Nutzen Sie die Eigenschaften: - $$\sin(-\theta) = -\sin \theta$$ (ungerade Funktion) - $$\cos(-\theta) = \cos \theta$$ (gerade Funktion) - $$\tan(-\theta) = -\tan \theta$$ (ungerade Funktion) Visible text: - (ungerade Funktion) - (gerade Funktion) - (ungerade Funktion) **Beispiel:** $$\sin(-30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$$ Visible text: **Beispiel:** ### Winkel größer als eine volle Umdrehung Verwenden Sie die Periodizitätseigenschaft. Subtrahieren oder addieren Sie Vielfache von $$360^\circ$$, bis der Winkel im Bereich von $$0^\circ$$ bis $$360^\circ$$ liegt. Visible text: Verwenden Sie die Periodizitätseigenschaft. Subtrahieren oder addieren Sie Vielfache von , bis der Winkel im Bereich von bis liegt. **Beispiel:** - $$750^\circ = 750^\circ - 2(360^\circ) = 750^\circ - 720^\circ = 30^\circ$$ - Also $$\sin 750^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$ Visible text: - - Also ## Übungen 1. Bestimmen Sie die Werte von $$\sin 315^\circ$$, $$\cos 315^\circ$$ und $$\tan 315^\circ$$. 2. Berechnen Sie $$\sin(-60^\circ) + \cos 210^\circ - \tan(-135^\circ)$$. 3. Wenn $$\sin \theta = \frac{3}{5}$$ gilt und $$\theta$$ im Quadranten II liegt, bestimmen Sie $$\cos \theta$$ und $$\tan \theta$$. 4. Vereinfachen Sie $$\sin 840^\circ \cdot \cos(-330^\circ)$$. 5. Ein Windmühlenflügel dreht sich aus seiner Ausgangsposition um $$1050^\circ$$. Seine Spitze liegt anfangs auf der positiven $$x$$-Achse des Einheitskreises. Bestimmen Sie die Koordinaten der Flügelspitze nach der Drehung. Visible text: 1. Bestimmen Sie die Werte von , und . 2. Berechnen Sie . 3. Wenn gilt und im Quadranten II liegt, bestimmen Sie und . 4. Vereinfachen Sie . 5. Ein Windmühlenflügel dreht sich aus seiner Ausgangsposition um . Seine Spitze liegt anfangs auf der positiven -Achse des Einheitskreises. Bestimmen Sie die Koordinaten der Flügelspitze nach der Drehung. ### Antwortschlüssel 1. Für den Winkel $$315^\circ$$ müssen wir zunächst seinen Quadranten bestimmen. Da $$270^\circ < 315^\circ < 360^\circ$$ liegt der Winkel im Quadranten IV. Der Referenzwinkel beträgt $$360^\circ - 315^\circ = 45^\circ$$. ```math \sin 315^\circ = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} ``` ```math \cos 315^\circ = +\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ``` ```math \tan 315^\circ = -\tan 45^\circ = -1 ``` 2. Berechnen wir jeden Term einzeln. Verwenden Sie für $$\sin(-60^\circ)$$ die ungerade Funktionseigenschaft. Für $$\cos 210^\circ$$ liegt der Winkel im Quadranten III und hat den Referenzwinkel $$30^\circ$$. Für $$\tan(-135^\circ)$$ nutzen wir ebenfalls die Ungeradheit des Tangens. ```math \sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} ``` ```math \cos 210^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} ``` ```math \tan(-135^\circ) = -\tan 135^\circ = -(-\tan 45^\circ) = 1 ``` ```math \text{Ergebnis} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = -\sqrt{3} - 1 ``` 3. Gegeben $$\sin \theta = \frac{3}{5}$$ im Quadranten II. Die pythagoräische Identität liefert $$\cos \theta$$. Im zweiten Quadranten ist $$\cos$$ negativ. ```math \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 ``` ```math \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1 ``` ```math \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} ``` ```math \cos \theta = -\frac{4}{5} \text{(negativ in Quadrant II)} ``` ```math \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} ``` 4. Vereinfachen Sie zunächst die Winkel. ```math 840^\circ = 840^\circ - 2(360^\circ) = 120^\circ ``` Für $$-330^\circ$$ addieren wir $$360^\circ$$ und erhalten $$30^\circ$$. ```math \sin 840^\circ = \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ``` ```math \cos(-330^\circ) = \cos 330^\circ = \cos(360^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ``` ```math \sin 840^\circ \cdot \cos(-330^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} ``` 5. Winkel $$1050^\circ$$ muss zunächst vereinfacht werden. ```math 1050^\circ = 1050^\circ - 2(360^\circ) = 1050^\circ - 720^\circ = 330^\circ ``` Winkel $$330^\circ$$ liegt im Quadranten IV mit Referenzwinkel $$30^\circ$$. ```math x = \cos 330^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ``` ```math y = \sin 330^\circ = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} ``` ```math \text{Koordinaten der Blattspitze:} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right) ``` Visible text: 1. Für den Winkel müssen wir zunächst seinen Quadranten bestimmen. Da liegt der Winkel im Quadranten IV. Der Referenzwinkel beträgt . 2. Berechnen wir jeden Term einzeln. Verwenden Sie für die ungerade Funktionseigenschaft. Für liegt der Winkel im Quadranten III und hat den Referenzwinkel . Für nutzen wir ebenfalls die Ungeradheit des Tangens. 3. Gegeben im Quadranten II. Die pythagoräische Identität liefert . Im zweiten Quadranten ist negativ. 4. Vereinfachen Sie zunächst die Winkel. Für addieren wir und erhalten . 5. Winkel muss zunächst vereinfacht werden. Winkel liegt im Quadranten IV mit Referenzwinkel .