# Trigonometrische Identität
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Leite pythagoreische, reziproke und Quotientenidentitäten her und verwende sie zum Vereinfachen und Beweisen trigonometrischer Ausdrücke.
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## Trigonometrische Identitäten verstehen
Manche Gleichungen gelten für jeden zulässigen Wert ihrer Variablen. Zum Beispiel ist $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ für alle Werte von $$a$$ und $$b$$ wahr. Solche Gleichungen heißen Identitäten.
Visible text: Manche Gleichungen gelten für jeden zulässigen Wert ihrer Variablen. Zum Beispiel ist für alle Werte von und wahr. Solche Gleichungen heißen Identitäten.
In der Trigonometrie heißt eine Gleichung, die für jeden Winkel ihres Definitionsbereichs gilt, **trigonometrische Identität**. Mit Identitäten lassen sich Ausdrücke umformen, gleichwertige Darstellungen beweisen und Gleichungen lösen, ohne ihren Wert zu verändern.
## Grundlegende trigonometrische Identitäten
### Pythagoreische Identität
Ausgangspunkt ist der Einheitskreis. Der Punkt $$P(x, y)$$ gehört zum Winkel $$\theta$$, gemessen von der positiven $$x$$-Achse.
Visible text: Ausgangspunkt ist der Einheitskreis. Der Punkt gehört zum Winkel , gemessen von der positiven -Achse.
Component: UnitCircle
Props:
- title: Einheitskreis und pythagoreische Identität
- description: Beobachte, wie sich die Koordinaten des Punktes $$P$$ mit
dem Winkel ändern. Sie entsprechen den Werten von{" "}
$$\cos\theta$$ und $$\sin\theta$$.
Visible text: Beobachte, wie sich die Koordinaten des Punktes mit
dem Winkel ändern. Sie entsprechen den Werten von
und .
- angle: 45
Auf dem Einheitskreis:
- Radius: $$r = 1$$
- Die $$x$$-Koordinate ist $$\cos \theta$$
- Die $$y$$-Koordinate ist $$\sin \theta$$
Visible text: - Radius:
- Die -Koordinate ist
- Die -Koordinate ist
Der Satz des Pythagoras liefert für den Punkt $$P$$:
Visible text: Der Satz des Pythagoras liefert für den Punkt :
```math
x^2 + y^2 = 1^2
```
Wir setzen die Werte für $$x$$ und $$y$$ ein:
Visible text: Wir setzen die Werte für und ein:
```math
(\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 = 1
```
Üblicherweise wird die Gleichung so geschrieben:
```math
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
```
Dies ist die **pythagoreische Identität**, die grundlegendste Identität in der Trigonometrie.
**Weitere Formen der pythagoreischen Identität:**
Aus der obigen Grundidentität können wir zwei weitere Formen ableiten:
**Zweite Form:** Beide Seiten durch $$\cos^2 \theta$$ dividieren (für $$\cos \theta \neq 0$$)
Visible text: **Zweite Form:** Beide Seiten durch dividieren (für )
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}
```
```math
\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta
```
**Dritte Form:** Beide Seiten durch $$\sin^2 \theta$$ dividieren (für $$\sin \theta \neq 0$$)
Visible text: **Dritte Form:** Beide Seiten durch dividieren (für )
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}
```
```math
1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
```
### Reziproke Identitäten
Zu jeder trigonometrischen Funktion gehört eine Kehrwertbeziehung. Daraus entstehen die reziproken Identitäten:
Component: MathContainer
Children:
```math
\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}
```
```math
\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}
```
```math
\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}
```
Gleichwertig dazu gilt:
Component: MathContainer
Children:
```math
\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}
```
```math
\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}
```
```math
\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}
```
Jede reziproke Identität gilt dort, wo beide Seiten definiert sind.
### Quotientenidentitäten
Die Quotientenidentitäten drücken Tangens und Kotangens durch Sinus und Kosinus aus:
Component: ContentStack
Children:
Component: MathContainer
Children:
```math
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
```
```math
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
```
Auch diese Quotientenformen setzen einen von null verschiedenen Nenner voraus.
Component: Triangle
Props:
- title: Visualisierung trigonometrischer Funktionen
- description: Die Seitenverhältnisse des Dreiecks ergeben die Werte von $$\sin$$, $$\cos$$ und $$\tan$$. Verändere den Winkel und beobachte, wie sich die drei Verhältnisse mitändern.
Visible text: Die Seitenverhältnisse des Dreiecks ergeben die Werte von , und . Verändere den Winkel und beobachte, wie sich die drei Verhältnisse mitändern.
- angle: 30
- labels: {
opposite: "Gegenkathete",
adjacent: "Ankathete",
hypotenuse: "Hypotenuse",
}
Beide Quotientenidentitäten folgen direkt aus den Definitionen der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis.
### Identitäten gerader und ungerader Funktionen
Bei negativen Winkeln haben trigonometrische Funktionen besondere Eigenschaften:
**Gerade Funktion (Symmetrie um die $$y$$-Achse):**
Visible text: **Gerade Funktion (Symmetrie um die -Achse):**
```math
\cos(-\theta) = \cos \theta
```
**Ungerade Funktionen (Symmetrie zum Ursprung):**
Component: ContentStack
Children:
Component: MathContainer
Children:
```math
\sin(-\theta) = -\sin \theta
```
```math
\tan(-\theta) = -\tan \theta
```
Component: UnitCircle
Props:
- title: Erkunden gerader und ungerader Eigenschaften
- description: Bewege den Regler zwischen negativen und positiven Winkeln. Vergleiche die Werte von $$\cos$$, $$\sin$$ und $$\tan$$ für entgegengesetzte Winkel.
Visible text: Bewege den Regler zwischen negativen und positiven Winkeln. Vergleiche die Werte von , und für entgegengesetzte Winkel.
- angle: 60
## Identitäten zum Beweisen verwenden
Beim Beweisen wird eine Seite mit bekannten Identitäten so lange umgeformt, bis sie der anderen Seite entspricht.
### Ausdrücke vereinfachen
Vereinfache $$\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta$$
Visible text: Vereinfache
**Lösung:**
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta}
```
```math
= \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos \theta}
```
```math
= \frac{1}{\cos \theta} \quad \text{(unter Verwendung der pythagoräischen Identität)}
```
```math
= \sec \theta
```
### Identitäten beweisen
Beweise, dass $$\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec \theta} = \sec \theta$$
Visible text: Beweise, dass
**Lösung:**
Wir beginnen mit der linken Seite:
Component: MathContainer
Children:
```math
\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\sec \theta} \quad \text{(mit} 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \text{)}
```
```math
= \sec \theta
```
Die linke Seite ist damit zur rechten Seite geworden. Die Identität gilt auf dem gemeinsamen Definitionsbereich beider Seiten.
## Trigonometrische Funktionswerte bestimmen
Ist der Wert einer trigonometrischen Funktion bekannt, lassen sich die übrigen Werte mit Identitäten und der Lage des Winkels bestimmen.
### Identitätsanwendungen
Für $$\sin \theta = \frac{3}{5}$$ und $$90^\circ < \theta < 180^\circ$$ (Quadrant II) sind die übrigen trigonometrischen Funktionswerte gesucht.
Visible text: Für und (Quadrant II) sind die übrigen trigonometrischen Funktionswerte gesucht.
**Lösung:**
Mit der pythagoreischen Identität bestimmen wir zunächst $$\cos \theta$$:
Visible text: Mit der pythagoreischen Identität bestimmen wir zunächst :
Component: MathContainer
Children:
```math
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
```
```math
\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1
```
```math
\frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1
```
```math
\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
```
```math
\cos \theta = \pm \frac{4}{5}
```
Da $$\theta$$ im zweiten Quadranten liegt, gilt $$\cos \theta < 0$$.
Daher ist $$\cos \theta = -\frac{4}{5}$$.
Visible text: Da im zweiten Quadranten liegt, gilt .
Daher ist .
Die übrigen Funktionswerte folgen aus den Quotienten- und Kehrwertidentitäten:
Component: MathContainer
Children:
```math
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}
```
```math
\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{5}{3}
```
```math
\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{5}{4}
```
```math
\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = -\frac{4}{3}
```
## Übungen
1. Vereinfache den Ausdruck $$\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta}$$
2. Beweise die Identität $$\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$$
3. Für $$\cos \theta = \frac{5}{13}$$ und $$270^\circ < \theta < 360^\circ$$ sind alle trigonometrischen Funktionswerte zu bestimmen.
4. Vereinfache $$\sin^4 \theta - \cos^4 \theta$$
5. Für $$\tan \theta = \frac{4}{3}$$ und $$\sin \theta < 0$$ sind $$\sin \theta$$ und $$\cos \theta$$ zu bestimmen.
Visible text: 1. Vereinfache den Ausdruck
2. Beweise die Identität
3. Für und sind alle trigonometrischen Funktionswerte zu bestimmen.
4. Vereinfache
5. Für und sind und zu bestimmen.
### Lösungen
1. Wir ersetzen den Tangens durch den Quotienten aus Sinus und Kosinus:
```math
\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta}{\sin \theta}
```
```math
= \frac{\sin \theta}{\sin \theta} = 1
```
Das Ergebnis gilt im Definitionsbereich des ursprünglichen Ausdrucks, also für $$\sin\theta \neq 0$$ und $$\cos\theta \neq 0$$.
2. Um die Identität zu beweisen, transformieren wir die linke Seite:
```math
\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \cdot \frac{1 - \cos \theta}{1 - \cos \theta}
```
```math
= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta)}
```
```math
= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{1 - \cos^2 \theta}
```
```math
= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{\sin^2 \theta}
```
```math
= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}
```
Damit ist die Gleichheit für alle Winkel bewiesen, für die beide ursprünglichen Seiten definiert sind.
3. Gegeben $$\cos \theta = \frac{5}{13}$$ im Quadranten IV.
Zunächst bestimmen wir $$\sin \theta$$. Im vierten Quadranten ist der Sinus negativ:
```math
\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}
```
```math
\sin \theta = -\frac{12}{13} \text{(negativ im Quadranten IV)}
```
Weitere trigonometrische Funktionen:
```math
\tan \theta = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5}
```
```math
\csc \theta = -\frac{13}{12}
```
```math
\sec \theta = \frac{13}{5}
```
```math
\cot \theta = -\frac{5}{12}
```
4. Wir faktorisieren als Differenz zweier Quadrate und setzen anschließend die pythagoreische Identität ein:
```math
\sin^4 \theta - \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2 - (\cos^2 \theta)^2
```
```math
= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)
```
```math
= 1 \cdot (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)
```
```math
= \sin^2 \theta - \cos^2 \theta
```
5. Gegeben sind $$\tan \theta = \frac{4}{3}$$ und $$\sin \theta < 0$$.
Aus $$\tan \theta > 0$$ und $$\sin \theta < 0$$ folgt $$\cos \theta < 0$$ (Quadrant III).
Mit der Identität $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ folgt:
```math
1 + \frac{16}{9} = \sec^2 \theta
```
```math
\sec^2 \theta = \frac{25}{9}
```
```math
\sec \theta = -\frac{5}{3} \text{(negativ in Quadrant III)}
```
```math
\cos \theta = -\frac{3}{5}
```
Für $$\sin \theta$$:
```math
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}
```
```math
\frac{4}{3} = \frac{\sin \theta}{-3/5}
```
```math
\sin \theta = \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5}
```
Visible text: 1. Wir ersetzen den Tangens durch den Quotienten aus Sinus und Kosinus:
Das Ergebnis gilt im Definitionsbereich des ursprünglichen Ausdrucks, also für und .
2. Um die Identität zu beweisen, transformieren wir die linke Seite:
Damit ist die Gleichheit für alle Winkel bewiesen, für die beide ursprünglichen Seiten definiert sind.
3. Gegeben im Quadranten IV.
Zunächst bestimmen wir . Im vierten Quadranten ist der Sinus negativ:
Weitere trigonometrische Funktionen:
4. Wir faktorisieren als Differenz zweier Quadrate und setzen anschließend die pythagoreische Identität ein:
5. Gegeben sind und .
Aus und folgt (Quadrant III).
Mit der Identität folgt:
Für :