# Addition und Subtraktion von Funktionen
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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/addition-subtraction-function/de.mdx
Addiere und subtrahiere Funktionen und bestimme den gemeinsamen Definitionsbereich anhand nachvollziehbarer Beispiele.
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## Funktionen kombinieren
Zwei Funktionen können an derselben Eingabe miteinander verknüpft werden. Für ein $$x$$ werden $$f(x)$$ und $$g(x)$$ berechnet und anschließend addiert oder subtrahiert. Die Eingabe muss in beiden Definitionsbereichen $$D_f$$ und $$D_g$$ liegen.
Visible text: Zwei Funktionen können an derselben Eingabe miteinander verknüpft werden. Für ein werden und berechnet und anschließend addiert oder subtrahiert. Die Eingabe muss in beiden Definitionsbereichen und liegen.
Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung der Funktionsaddition
- description: Beobachte, wie die Geraden $$f(x)=x$$ und{" "}
$$g(x)=2$$ zur neuen Geraden{" "}
$$(f+g)(x)=x+2$$ zusammenwirken.
Visible text: Beobachte, wie die Geraden und
zur neuen Geraden
zusammenwirken.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
x: i - 5,
y: i - 5,
z: 0,
})),
color: "#d97706",
labels: [{ text: $$f(x)=x$$, at: 6, offset: [1, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({ x: i - 5, y: 2, z: 0 })),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$g(x)=2$$, at: 8, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
x: i - 5,
y: i - 5 + 2,
z: 0,
})),
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: $$(f+g)(x)=x+2$$, at: 9, offset: [1.5, -0.5, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
x: i - 5,
y: i - 5,
z: 0,
})),
color: "#d97706",
labels: [{ text: , at: 6, offset: [1, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({ x: i - 5, y: 2, z: 0 })),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 8, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
x: i - 5,
y: i - 5 + 2,
z: 0,
})),
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: , at: 9, offset: [1.5, -0.5, 0] }],
},
]
## Addition zweier Funktionen
Die Summenfunktion addiert die beiden Funktionswerte an derselben Eingabe:
```math
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
```
Die Summe $$(f+g)$$ ist nur dort definiert, wo beide Ausgangsfunktionen definiert sind. Ihr Definitionsbereich ist deshalb die Schnittmenge beider Definitionsbereiche:
Visible text: Die Summe ist nur dort definiert, wo beide Ausgangsfunktionen definiert sind. Ihr Definitionsbereich ist deshalb die Schnittmenge beider Definitionsbereiche:
```math
D_{f+g} = D_f \cap D_g
```
Das bedeutet, dass $$x$$ Element von $$D_f$$ **UND** auch Element von $$D_g$$ sein muss.
Visible text: Das bedeutet, dass Element von **UND** auch Element von sein muss.
### Beispiel einer Addition
Angenommen, wir haben zwei Funktionen:
1. $$f(x) = x^2$$, mit Definitionsbereich $$D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$ (alle
reelle Zahlen).
2. $$g(x) = \sqrt{x+2}$$, mit Definitionsbereich $$D_g = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$$ (alle
reellen Zahlen größer oder gleich $$-2$$, weil der Ausdruck unter der Quadratwurzel,
$$x+2$$, nicht negativ sein darf).
Visible text: 1. , mit Definitionsbereich (alle
reelle Zahlen).
2. , mit Definitionsbereich (alle
reellen Zahlen größer oder gleich , weil der Ausdruck unter der Quadratwurzel,
, nicht negativ sein darf).
**Schritt** $$1$$: Bestimmen Sie die resultierende Funktion aus der Addition
Visible text: **Schritt** : Bestimmen Sie die resultierende Funktion aus der Addition
```math
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x^2 + \sqrt{x+2}
```
**Schritt** $$2$$: Bestimmen Sie den Definitionsbereich der resultierenden Funktion
Visible text: **Schritt** : Bestimmen Sie den Definitionsbereich der resultierenden Funktion
Wir finden den Schnittpunkt von $$D_f$$ und $$D_g$$:
Visible text: Wir finden den Schnittpunkt von und :
Component: MathContainer
Children:
```math
D_{f+g} = D_f \cap D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}
```
```math
D_{f+g} = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}
```
Die Summe ist also $$(f+g)(x) = x^2 + \sqrt{x+2}$$ mit dem Definitionsbereich $$\{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$$.
Visible text: Die Summe ist also mit dem Definitionsbereich .
## Subtraktion zweier Funktionen
Um die Funktion $$g$$ von der Funktion $$f$$ abzuziehen, ziehen wir für dieselbe Eingabe den Funktionswert $$g(x)$$ von $$f(x)$$ ab. Diese Eingabe bezeichnen wir mit $$x$$. Das Ergebnis ist die neue Funktion $$(f-g)$$.
Visible text: Um die Funktion von der Funktion abzuziehen, ziehen wir für dieselbe Eingabe den Funktionswert von ab. Diese Eingabe bezeichnen wir mit . Das Ergebnis ist die neue Funktion .
```math
(f-g)(x) = f(x) - g(x)
```
Auch hier ist der Definitionsbereich die Schnittmenge der Definitionsbereiche von $$f$$ und $$g$$. Schließlich muss $$x$$ in beiden Definitionsbereichen liegen.
Visible text: Auch hier ist der Definitionsbereich die Schnittmenge der Definitionsbereiche von und . Schließlich muss in beiden Definitionsbereichen liegen.
```math
D_{f-g} = D_f \cap D_g
```
### Beispiel für Subtraktion
Wir verwenden die gleichen Funktionen wie im Additionsbeispiel:
1. $$f(x) = x^2$$, $$D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$
2. $$g(x) = \sqrt{x+2}$$, $$D_g = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$$
Visible text: 1. ,
2. ,
**Schritt** $$1$$: Bestimmen Sie die resultierende Funktion aus der Subtraktion
Visible text: **Schritt** : Bestimmen Sie die resultierende Funktion aus der Subtraktion
```math
(f-g)(x) = f(x) - g(x) = x^2 - \sqrt{x+2}
```
**Schritt** $$2$$: Bestimmen Sie den Definitionsbereich der resultierenden Funktion
Sein Definitionsbereich ist derselbe wie der Definitionsbereich des Additionsergebnisses, da die Schnittregel dieselbe ist:
Visible text: **Schritt** : Bestimmen Sie den Definitionsbereich der resultierenden Funktion
Sein Definitionsbereich ist derselbe wie der Definitionsbereich des Additionsergebnisses, da die Schnittregel dieselbe ist:
```math
D_{f-g} = D_f \cap D_g = \{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}
```
Die Differenz ist also $$(f-g)(x) = x^2 - \sqrt{x+2}$$ mit dem Definitionsbereich $$\{x | x \ge -2, x \in \mathbb{R}\}$$.
Visible text: Die Differenz ist also mit dem Definitionsbereich .
## Übungsaufgaben
Gegeben seien die Funktionen $$f(x) = 2x - 1$$ mit $$D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$ und die Funktion $$g(x) = x^2 + 3$$ mit $$D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$.
Visible text: Gegeben seien die Funktionen mit und die Funktion mit .
1. Bestimmen Sie $$(f+g)(x)$$ und seinen Definitionsbereich $$D_{f+g}$$.
2. Bestimmen Sie $$(f-g)(x)$$ und seinen Definitionsbereich $$D_{f-g}$$.
3. Berechnen Sie den Wert von $$(f+g)(2)$$.
4. Berechnen Sie den Wert von $$(f-g)(-1)$$.
Visible text: 1. Bestimmen Sie und seinen Definitionsbereich .
2. Bestimmen Sie und seinen Definitionsbereich .
3. Berechnen Sie den Wert von .
4. Berechnen Sie den Wert von .
### Lösungen
1. **Bestimmung von $$(f+g)(x)$$:**
```math
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
```
```math
= (2x - 1) + (x^2 + 3)
```
```math
= x^2 + 2x + 2
```
**Definitionsbereich $$D_{f+g}$$:**
```math
D_{f+g} = D_f \cap D_g
```
```math
= \{x | x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
```math
= \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
Damit gilt $$(f+g)(x) = x^2 + 2x + 2$$ für alle reellen Zahlen.
2. **Bestimmung von $$(f-g)(x)$$:**
```math
(f-g)(x) = f(x) - g(x)
```
```math
= (2x - 1) - (x^2 + 3)
```
```math
= 2x - 1 - x^2 - 3
```
```math
= -x^2 + 2x - 4
```
**Definitionsbereich $$D_{f-g}$$:**
```math
D_{f-g} = D_f \cap D_g
```
```math
= \{x | x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
```math
= \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
Damit gilt $$(f-g)(x) = -x^2 + 2x - 4$$ für alle reellen Zahlen.
3. **Berechnung von $$(f+g)(2)$$:**
Wir verwenden das Ergebnis aus Aufgabe $$1$$: $$(f+g)(x) = x^2 + 2x + 2$$
```math
(f+g)(2) = (2)^2 + 2(2) + 2
```
```math
= 4 + 4 + 2
```
```math
= 10
```
4. **Berechnung von $$(f-g)(-1)$$:**
Wir verwenden das Ergebnis aus Aufgabe $$2$$: $$(f-g)(x) = -x^2 + 2x - 4$$
```math
(f-g)(-1) = -(-1)^2 + 2(-1) - 4
```
```math
= -(1) - 2 - 4
```
```math
= -7
```
Visible text: 1. **Bestimmung von :**
**Definitionsbereich :**
Damit gilt für alle reellen Zahlen.
2. **Bestimmung von :**
**Definitionsbereich :**
Damit gilt für alle reellen Zahlen.
3. **Berechnung von :**
Wir verwenden das Ergebnis aus Aufgabe :
4. **Berechnung von :**
Wir verwenden das Ergebnis aus Aufgabe :