# Definitionsmenge, Zielmenge und Bildmenge > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionskomposition-und-umkehrfunktion/definitionsmenge-zielmenge-und-wertebereich Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/domain-codomain-range/de.mdx Unterscheide zulässige Eingaben, festgelegte Zielwerte und tatsächlich erreichte Funktionswerte anhand konkreter Beispiele. --- ## Definitionsmenge Die **Definitionsmenge** enthält alle Werte, die als Eingabe einer Funktion zulässig sind. Ein Wert außerhalb dieser Menge darf nicht eingesetzt werden. ### Beispiel zur Definitionsmenge Betrachten wir zunächst die Funktion ```math f(x) = \frac{1}{x} ``` Sie teilt $$1$$ durch die eingesetzte Zahl. Ob wirklich jede reelle Zahl zulässig ist, zeigt der Versuch mit $$0$$: Visible text: Sie teilt durch die eingesetzte Zahl. Ob wirklich jede reelle Zahl zulässig ist, zeigt der Versuch mit : ```math f(0) = \frac{1}{0} ``` Durch Null darf nicht dividiert werden. Deshalb gehört die Zahl $$0$$ nicht zur Definitionsmenge dieser Funktion. Alle anderen reellen Zahlen sind zulässig. Visible text: Durch Null darf nicht dividiert werden. Deshalb gehört die Zahl nicht zur Definitionsmenge dieser Funktion. Alle anderen reellen Zahlen sind zulässig. Die Definitionsmenge von $$f(x) = \frac{1}{x}$$ umfasst daher alle reellen Zahlen außer $$0$$. Visible text: Die Definitionsmenge von umfasst daher alle reellen Zahlen außer . Ein zweites Beispiel ist ```math g(x) = \sqrt{x} ``` Hier wird die Quadratwurzel der Eingabe gebildet. Für $$-4$$ ergäbe sich Visible text: Hier wird die Quadratwurzel der Eingabe gebildet. Für ergäbe sich ```math g(-4) = \sqrt{-4} ``` Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert. Zulässig sind deshalb nur $$0$$ und positive Zahlen. Visible text: Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert. Zulässig sind deshalb nur und positive Zahlen. Die Definitionsmenge von $$g(x) = \sqrt{x}$$ besteht also aus allen reellen Zahlen größer oder gleich $$0$$, das heißt mit $$x \ge 0$$. Visible text: Die Definitionsmenge von besteht also aus allen reellen Zahlen größer oder gleich , das heißt mit . ## Zielmenge Die **Zielmenge** wird bei der Definition einer Funktion festgelegt. Sie enthält die Werte, in denen die Ausgaben der Funktion liegen sollen. Als Beispiel definieren wir $$f(x) = 2x$$. Visible text: Als Beispiel definieren wir . Als **Definitionsmenge** wählen wir die natürlichen Zahlen: ```math \{1, 2, 3, ...\} ``` Dann legen wir als **Zielmenge** die ganzen Zahlen fest: ```math \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} ``` Mit den ganzen Zahlen als Zielmenge legen wir fest, in welcher Menge die Werte von $$f(x)=2x$$ liegen. Für natürliche Eingaben entstehen tatsächlich nur positive gerade Zahlen. Genau diese Werte bilden die Bildmenge: Visible text: Mit den ganzen Zahlen als Zielmenge legen wir fest, in welcher Menge die Werte von liegen. Für natürliche Eingaben entstehen tatsächlich nur positive gerade Zahlen. Genau diese Werte bilden die Bildmenge: ```math \{2, 4, 6, ...\} ``` Die gewählte Zielmenge ist gültig, weil alle tatsächlich entstehenden Werte der Bildmenge in den ganzen Zahlen enthalten sind. Die Zielmenge beschreibt also den vorgesehenen Ausgaberaum. Nicht jeder ihrer Werte muss von der Funktion tatsächlich erreicht werden. ## Bildmenge Die **Bildmenge** enthält alle Ausgabewerte, die bei den zulässigen Eingaben tatsächlich entstehen. Sie ist eine Teilmenge der Zielmenge und kann mit ihr übereinstimmen. **Beispiel:** Betrachten wir nun die Funktion $$f(x) = x^2$$. Visible text: Betrachten wir nun die Funktion . Ihre Definitionsmenge sei die Menge der ganzen Zahlen: ```math \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} ``` Auch als Zielmenge wählen wir die ganzen Zahlen. Setzen wir einige Werte aus der Definitionsmenge ein: - $$f(-2) = 4$$ - $$f(-1) = 1$$ - $$f(0) = 0$$ - $$f(1) = 1$$ - $$f(2) = 4$$ - und so weiter... Visible text: - - - - - - und so weiter... Tatsächlich entstehen $$0, 1, 4, 9, 16$$ und weitere nicht negative Quadratzahlen. Visible text: Tatsächlich entstehen und weitere nicht negative Quadratzahlen. Die **Bildmenge** dieser Funktion ist daher ```math \{0, 1, 4, 9, 16, ...\} ``` Die Bildmenge $$\{0, 1, 4, 9, ...\}$$ ist eine echte Teilmenge der gewählten Zielmenge der ganzen Zahlen: Visible text: Die Bildmenge ist eine echte Teilmenge der gewählten Zielmenge der ganzen Zahlen: ```math \{..., -1, 0, 1, 2, ...\} ``` Nicht jedes Element der Zielmenge gehört zur Bildmenge. ## Warum ist das wichtig? Definitionsmenge, Zielmenge und Bildmenge erfüllen verschiedene Aufgaben. Die Definitionsmenge verhindert unzulässige Eingaben wie eine Division durch Null. Die Zielmenge legt den Ausgaberaum fest, und die Bildmenge zeigt, welche Werte darin tatsächlich erreicht werden. ## Mathematische Beziehung Mathematisch ordnet eine Funktion $$f$$ jedem Element der Definitionsmenge $$D$$ genau ein Element der Zielmenge $$K$$ zu: Visible text: Mathematisch ordnet eine Funktion jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zu: ```math f: D \to K ``` Die Bildmenge $$R$$ enthält alle tatsächlich entstehenden Werte $$f(x)$$ für $$x$$ aus der Definitionsmenge: Visible text: Die Bildmenge enthält alle tatsächlich entstehenden Werte für aus der Definitionsmenge: ```math R = \{ f(x) \mid x \in D \} ``` Damit ist die Bildmenge stets eine Teilmenge der Zielmenge: ```math R \subseteq K ``` Jeder tatsächlich erreichte Funktionswert muss also in der Zielmenge liegen. Umgekehrt muss jedoch nicht jeder Wert der Zielmenge von der Funktion erreicht werden. ## Überprüfe dein Verständnis Es sei $$h:\mathbb{R}\setminus\{2\}\to\mathbb{R}$$ mit $$h(x)=\frac1{x-2}$$. Visible text: Es sei mit . 1. Warum ist $$2$$ aus der Definitionsmenge ausgeschlossen? 2. Kann $$0$$ zur Bildmenge gehören? 3. Gib die Bildmenge von $$h$$ an. Visible text: 1. Warum ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen? 2. Kann zur Bildmenge gehören? 3. Gib die Bildmenge von an. ### Ausführliche Lösungen 1. Für $$x=2$$ wird der Nenner null: ```math h(2)=\frac1{2-2}=\frac10 ``` Der Ausdruck ist nicht definiert. Daher kann $$2$$ nicht zur Definitionsmenge gehören. 2. Nein. Ein Bruch mit dem Zähler $$1$$ kann nicht den Wert $$0$$ annehmen. 3. Jeder von null verschiedene reelle Wert wird erreicht. Für $$y\neq0$$ wählen wir $$x=2+\frac1y$$ und erhalten $$h(x)=y$$. Somit gilt: ```math R_h=\mathbb{R}\setminus\{0\} ``` Visible text: 1. Für wird der Nenner null: Der Ausdruck ist nicht definiert. Daher kann nicht zur Definitionsmenge gehören. 2. Nein. Ein Bruch mit dem Zähler kann nicht den Wert annehmen. 3. Jeder von null verschiedene reelle Wert wird erreicht. Für wählen wir und erhalten . Somit gilt: