# Eigenschaften der Funktionszusammensetzung
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Erkunden Sie die Eigenschaften der Funktionszusammensetzung: nichtkommutative Ordnung, assoziative Gruppierung und Identitätselemente. Lernen Sie (f∘g)-Regeln mit Beweisen.
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## Eigenschaften der Funktionszusammensetzung
Die Funktionszusammensetzung, bei der Funktionen nacheinander kombiniert werden, weist mehrere wichtige Eigenschaften auf, die wir kennen müssen. Untersuchen wir diese Eigenschaften anhand der folgenden Beispielfunktionen:
Component: MathContainer
Children:
```math
f(x) = 2x + 1
```
```math
g(x) = x^2 + 4
```
```math
h(x) = \frac{1}{x+1}
```
Die Definitionsmengen sind:
```math
D_f=D_g=\mathbb{R}\qquad D_h=\mathbb{R}\setminus\{-1\}
```
### Nichtkommutative Eigenschaft
Die erste und häufigste Eigenschaft ist, dass die Reihenfolge, in der Funktionen zusammengesetzt sind, **wichtig** ist. Eine Änderung der Reihenfolge der Funktionen führt normalerweise zu einer anderen zusammengesetzten Funktion.
Im Allgemeinen ist $$(f \circ g)(x)$$ **ungleich** $$(g \circ f)(x)$$.
Visible text: Im Allgemeinen ist **ungleich** .
**Beispiel:**
Vergleichen wir $$(g \circ f)(x)$$ und $$(f \circ g)(x)$$.
Visible text: Vergleichen wir und .
1. **Berechnung von $$(g \circ f)(x)$$:**
```math
(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1)
```
```math
g(2x+1) = (2x+1)^2 + 4 = (4x^2 + 4x + 1) + 4 = 4x^2 + 4x + 5
```
2. **Berechnung von $$(f \circ g)(x)$$:**
```math
(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2+4)
```
```math
f(x^2+4) = 2(x^2+4) + 1 = (2x^2 + 8) + 1 = 2x^2 + 9
```
Visible text: 1. **Berechnung von :**
2. **Berechnung von :**
Die beiden Polynomterme haben unterschiedliche Koeffizienten und beschreiben daher nicht dieselbe Funktion. Eine einzige Eingabe liefert außerdem ein direktes Gegenbeispiel:
```math
(g\circ f)(0)=5\neq9=(f\circ g)(0)
```
Damit gilt $$g\circ f\neq f\circ g$$ als Aussage über die Funktionen. Andere Paare müssen auf dieselbe Weise geprüft werden; im Allgemeinen ist die Funktionskomposition nicht kommutativ.
Visible text: Damit gilt als Aussage über die Funktionen. Andere Paare müssen auf dieselbe Weise geprüft werden; im Allgemeinen ist die Funktionskomposition nicht kommutativ.
### Assoziative Eigenschaft
Wenn wir drei oder mehr Funktionen mit passenden Definitions- und Zielmengen komponieren, hat die **Klammerung** keinen Einfluss auf das Endergebnis. Die Reihenfolge der **Funktionen** bleibt dabei unverändert. Beide Seiten werden nur auf ihrem gemeinsamen Definitionsbereich verglichen.
Mathematisch gesehen gilt für die Funktionen $$f$$, $$g$$ und $$h$$ Folgendes:
Visible text: Mathematisch gesehen gilt für die Funktionen , und Folgendes:
```math
((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)
```
Das bedeutet, dass wir zuerst $$f$$ mit $$g$$ und dann das Ergebnis mit $$h$$ zusammensetzen können. Alternativ können wir zuerst $$g$$ mit $$h$$ und dann $$f$$ mit dem Ergebnis zusammensetzen. Das Ergebnis wird das gleiche sein.
Visible text: Das bedeutet, dass wir zuerst mit und dann das Ergebnis mit zusammensetzen können. Alternativ können wir zuerst mit und dann mit dem Ergebnis zusammensetzen. Das Ergebnis wird das gleiche sein.
**Beispiel:**
Wir wollen prüfen, ob $$((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$$.
Visible text: Wir wollen prüfen, ob .
1. **Berechnung von $$((f \circ g) \circ h)(x)$$:**
Wir kennen bereits $$(f \circ g)(x) = 2x^2 + 9$$.
```math
((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ g)(h(x)) = (f \circ g)(\frac{1}{x+1})
```
```math
(f \circ g)(\frac{1}{x+1}) = 2\left(\frac{1}{x+1}\right)^2 + 9 = \frac{2}{(x+1)^2} + 9
```
2. **Berechnung von $$(f \circ (g \circ h))(x)$$:**
Finden Sie zunächst $$(g \circ h)(x)$$:
```math
(g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\frac{1}{x+1})
```
```math
g(\frac{1}{x+1}) = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 + 4 = \frac{1}{(x+1)^2} + 4
```
Setzen Sie nun $$f$$ mit diesem Ergebnis zusammen:
```math
(f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) = f\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right)
```
```math
f\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right) = 2\left(\frac{1}{(x+1)^2} + 4\right) + 1 = \frac{2}{(x+1)^2} + 8 + 1 = \frac{2}{(x+1)^2} + 9
```
Visible text: 1. **Berechnung von :**
Wir kennen bereits .
2. **Berechnung von :**
Finden Sie zunächst :
Setzen Sie nun mit diesem Ergebnis zusammen:
Da beide Ergebnisse für $$x\neq-1$$ gleich $$\frac{2}{(x+1)^2} + 9$$ sind, gilt die assoziative Eigenschaft auf dem gemeinsamen Definitionsbereich: $$((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$$.
Visible text: Da beide Ergebnisse für gleich sind, gilt die assoziative Eigenschaft auf dem gemeinsamen Definitionsbereich: .
Diese assoziative Eigenschaft gilt auch für andere Kombinationen der Funktionsreihenfolge, wie z. B. $$((h \circ f) \circ g)(x) = (h \circ (f \circ g))(x)$$ und $$((g \circ f) \circ h)(x) = (g \circ (f \circ h))(x)$$.
Visible text: Diese assoziative Eigenschaft gilt auch für andere Kombinationen der Funktionsreihenfolge, wie z. B. und .
### Identitätselement
Eine **Identitätsfunktion** ordnet jedes Element einer Menge sich selbst zu. Für $$f:A\to B$$ sei $$I_A$$ die Identität auf $$A$$ und $$I_B$$ die Identität auf $$B$$.
Visible text: Eine **Identitätsfunktion** ordnet jedes Element einer Menge sich selbst zu. Für sei die Identität auf und die Identität auf .
Die Zusammensetzung mit der Identität der passenden Menge lässt $$f$$ unverändert:
Visible text: Die Zusammensetzung mit der Identität der passenden Menge lässt unverändert:
Component: MathContainer
Children:
```math
(f \circ I_A)(x)=f(I_A(x))=f(x)
```
```math
(I_B \circ f)(x)=I_B(f(x))=f(x)
```
**Beispiel:**
Mit $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ und $$f(x) = 2x + 1$$:
Visible text: Mit und :
- $$(f\circ I_{\mathbb{R}})(x)=f(I_{\mathbb{R}}(x))=2x+1$$
- $$(I_{\mathbb{R}}\circ f)(x)=I_{\mathbb{R}}(f(x))=2x+1$$
Visible text: -
-
Beides ergibt wieder die Funktion $$f(x)$$.
Visible text: Beides ergibt wieder die Funktion .