# Eigenschaften der Umkehrfunktion

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Untersuche Kompositionsidentität, doppelte Umkehrung und den Zusammenhang zwischen Definitions- und Bildmenge.

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## Zusammensetzung mit der Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion hebt die Wirkung der ursprünglichen Funktion auf. Setzt man eine Funktion und ihre Umkehrfunktion in der passenden Reihenfolge zusammen, erhält man die Identitätsfunktion $$I(x) = x$$.

Visible text: Die Umkehrfunktion hebt die Wirkung der ursprünglichen Funktion auf. Setzt man eine Funktion und ihre Umkehrfunktion in der passenden Reihenfolge zusammen, erhält man die Identitätsfunktion .

1.  **Zusammensetzung von $$f$$ mit $$f^{-1}$$:**

    
    
    ```math
    (f \circ f^{-1})(x) = f(f^{-1}(x)) = x
    ```

    Dies gilt für alle $$x$$ im Definitionsbereich von $$f^{-1}$$. Dieser entspricht der Bildmenge von $$f$$.

2.  **Zusammensetzung von $$f^{-1}$$ mit $$f$$:**

    
    
    ```math
    (f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = x
    ```

    Dies gilt für alle $$x$$ im Definitionsbereich von $$f$$.

Visible text: 1. **Zusammensetzung von mit :**

 
 

 Dies gilt für alle im Definitionsbereich von . Dieser entspricht der Bildmenge von .

2. **Zusammensetzung von mit :**

 
 

 Dies gilt für alle im Definitionsbereich von .

**Beispiel:**

Für $$f(x) = 2x + 3$$ lautet die Umkehrfunktion $$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$. Wir prüfen beide Zusammensetzungen:

Visible text: Für lautet die Umkehrfunktion . Wir prüfen beide Zusammensetzungen:

- $$f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = 2\left(\frac{x - 3}{2}\right) + 3 = (x - 3) + 3 = x$$
- $$f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x + 3) = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = \frac{2x}{2} = x$$

Visible text: - 
-

Beide Zusammensetzungen geben die ursprüngliche Eingabe $$x$$ zurück.

Visible text: Beide Zusammensetzungen geben die ursprüngliche Eingabe zurück.

## Umkehrung einer Umkehrfunktion

Kehrt man eine Umkehrfunktion erneut um, erhält man die ursprüngliche Funktion zurück.

```math
(f^{-1})^{-1}(x) = f(x)
```

Zweimaliges Umkehren stellt also die ursprüngliche Zuordnung wieder her.

## Umkehrfunktion einer Zusammensetzung

Sind beide Funktionen umkehrbar und passen ihre Definitions- und Zielmengen zueinander, entsteht die Umkehrfunktion ihrer Zusammensetzung aus den beiden Umkehrfunktionen in **umgekehrter Reihenfolge**.

Seien $$f$$ und $$g$$ zwei Funktionen mit den Umkehrfunktionen $$f^{-1}$$ und $$g^{-1}$$. Dann gilt für die Zusammensetzung $$f \circ g$$:

Visible text: Seien und zwei Funktionen mit den Umkehrfunktionen und . Dann gilt für die Zusammensetzung :

```math
(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)
```

Lesen Sie die Zusammensetzung von rechts nach links: Zuerst wird $$f^{-1}$$ und danach $$g^{-1}$$ angewendet.

Visible text: Lesen Sie die Zusammensetzung von rechts nach links: Zuerst wird und danach angewendet.

Das ist wie beim Anziehen: Erst kommen die Socken ($$g$$), dann die Schuhe ($$f$$). Beim Ausziehen muss man zuerst die Schuhe ($$f^{-1}$$) und danach die Socken ($$g^{-1}$$) ablegen.

Visible text: Das ist wie beim Anziehen: Erst kommen die Socken (), dann die Schuhe (). Beim Ausziehen muss man zuerst die Schuhe () und danach die Socken () ablegen.

**Beispiel:**

Sei $$f(x) = x + 1$$ mit $$f^{-1}(x) = x - 1$$ und $$g(x) = 3x$$ mit $$g^{-1}(x) = \frac{x}{3}$$.

Visible text: Sei mit und mit .

1.  **Finde $$(f \circ g)(x)$$:**

    
    
    ```math
    (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 3x + 1
    ```

2.  **Finden Sie die Umkehrung von $$(f \circ g)(x)$$:**

    Sei $$y = 3x + 1$$. Tausche $$x$$ und $$y$$: $$x = 3y + 1$$.

    Lösen Sie nach $$y$$ auf: $$x - 1 = 3y \implies y = \frac{x - 1}{3}$$.

    Also $$(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x - 1}{3}$$.

3.  **Finde $$(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$$:**

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    (g^{-1} \circ f^{-1})(x) = g^{-1}(f^{-1}(x)) = g^{-1}(x - 1)
    ```

      
    
    ```math
    g^{-1}(x - 1) = \frac{x - 1}{3}
    ```

    </MathContainer>

Visible text: 1. **Finde :**

 
 

2. **Finden Sie die Umkehrung von :**

 Sei . Tausche und : .

 Lösen Sie nach auf: .

 Also .

3. **Finde :**

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

Da die Ergebnisse aus den Schritten $$2$$ und $$3$$ gleich sind, ist bewiesen, dass $$(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$$.

Visible text: Da die Ergebnisse aus den Schritten und gleich sind, ist bewiesen, dass .

## Zusammenhang von Definitions- und Bildmenge

Die Definitionsmenge von $$f$$ wird zur Bildmenge von $$f^{-1}$$. Umgekehrt wird die Bildmenge von $$f$$ zur Definitionsmenge von $$f^{-1}$$.

Visible text: Die Definitionsmenge von wird zur Bildmenge von . Umgekehrt wird die Bildmenge von zur Definitionsmenge von .

Component: MathContainer
Children:

```math
\text{Definitionsmenge}(f) = \text{Bildmenge}(f^{-1})
```

```math
\text{Bildmenge}(f) = \text{Definitionsmenge}(f^{-1})
```