# Funktion und Nichtfunktion > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionskomposition-und-umkehrfunktion/funktion-und-nichtfunktion Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/function-and-non-function/de.mdx Unterscheide Funktionen von anderen Relationen anhand ihrer Definition und überprüfe die eindeutige Zuordnung in Pfeildiagrammen. --- ## Beziehungen zwischen Mengen In der Mathematik ist eine **Beziehung** von einer Menge $$A$$ zu einer Menge $$B$$ eine Regel, die Elemente der Menge $$A$$ mit Elementen der Menge $$B$$ verbindet. Diese Paarung kann in beliebiger Form erfolgen. Visible text: In der Mathematik ist eine **Beziehung** von einer Menge zu einer Menge eine Regel, die Elemente der Menge mit Elementen der Menge verbindet. Diese Paarung kann in beliebiger Form erfolgen. **Beispiel:** Die „Kleiner-als“-Relation zwischen $$A = \{1, 2, 3\}$$ und $$B = \{1, 2, 3, 4\}$$ ergibt die Paare $$(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)$$. Visible text: Die „Kleiner-als“-Relation zwischen und ergibt die Paare . **Erklärung:** Wir suchen alle Paare $$(a, b)$$ mit $$a \in A$$ und $$b \in B$$ mit $$a < b$$. Visible text: Wir suchen alle Paare mit und mit . - Für $$a=1$$ erhalten wir $$1 < 2$$, $$1 < 3$$, $$1 < 4$$. Paare: $$(1, 2), (1, 3), (1, 4)$$. - Für $$a=2$$ erhalten wir $$2 < 3$$, $$2 < 4$$. Paare: $$(2, 3), (2, 4)$$. - Für $$a=3$$ erhalten wir $$3 < 4$$. Paar: $$(3, 4)$$. Visible text: - Für erhalten wir , , . Paare: . - Für erhalten wir , . Paare: . - Für erhalten wir . Paar: . Die Kombination aller dieser Paare ist $$\{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)\}$$. Visible text: Die Kombination aller dieser Paare ist . ## Funktionen als besondere Relationen Eine **Funktion** (oder Abbildung) $$f$$ von einer Menge $$A$$ auf eine Menge $$B$$, geschrieben $$f: A \to B$$, ist eine spezielle Beziehung, die zwei Bedingungen erfüllt: Visible text: Eine **Funktion** (oder Abbildung) von einer Menge auf eine Menge , geschrieben , ist eine spezielle Beziehung, die zwei Bedingungen erfüllt: 1. **Jedes** Element $$x \in A$$ muss ein Paar $$y \in B$$ haben. ```math \forall x \in A, \exists y \in B \text{ mit } (x, y) \in f ``` 2. Jedes Element $$x \in A$$ hat **genau ein** Paar $$y \in B$$. ```math \text{Wenn} (x, y_1) \in f \text{und} (x, y_2) \in f, \text{dann} y_1 = y_2 ``` Visible text: 1. **Jedes** Element muss ein Paar haben. 2. Jedes Element hat **genau ein** Paar . Damit muss jedes Element der Definitionsmenge genau ein Bild besitzen. ## Beispiele für Pfeildiagramme Hier sind visuelle Beispiele für Beziehungen, die Pfeildiagramme verwenden, um zwischen Funktionen und Nichtfunktionen zu unterscheiden. ### Beziehungen, die keine Funktionen sind Component: ContentStack Children: Component: FunctionAndNonFunctionDiagram Props: - title: Eins zu vielen - description: Das Element $$b$$ besitzt mehr als ein Bild. Visible text: Das Element besitzt mehr als ein Bild. Children: Component: FunctionAndNonFunctionRelationVisualizer Props: - accessibilityLabel: Pfeildiagramm einer Eins-zu-Viele-Beziehung - domainLabel: X - codomainLabel: Y - domain: [ { id: "a", label: "a" }, { id: "b", label: "b" }, { id: "c", label: "c" }, ] - codomain: [ { id: "m", label: "m" }, { id: "n", label: "n" }, ] - mappings: [ { from: "a", to: "m" }, { from: "b", to: "m" }, { from: "b", to: "n" }, { from: "c", to: "n" }, ] Component: FunctionAndNonFunctionDiagram Props: - title: Element der Definitionsmenge ohne Zuordnung - description: Das Element $$c$$ ist keinem Element der Zielmenge zugeordnet. Visible text: Das Element ist keinem Element der Zielmenge zugeordnet. Children: Component: FunctionAndNonFunctionRelationVisualizer Props: - accessibilityLabel: Pfeildiagramm mit einem ungepaarten Domänenelement - domainLabel: X - codomainLabel: Y - domain: [ { id: "a", label: "a" }, { id: "b", label: "b" }, { id: "c", label: "c" }, ] - codomain: [ { id: "m", label: "m" }, { id: "n", label: "n" }, { id: "o", label: "o" }, ] - mappings: [ { from: "a", to: "m" }, { from: "b", to: "o" }, // c besitzt kein Bild ] ### Beziehungen, die Funktionen sind Component: FunctionAndNonFunctionDiagram Props: - title: Genau ein Paar - description: Jedes Element der Definitionsmenge, $$p$$, $$q$$ und $$r$$, ist genau einem Element zugeordnet. Visible text: Jedes Element der Definitionsmenge, , und , ist genau einem Element zugeordnet. Children: Component: FunctionAndNonFunctionRelationVisualizer Props: - accessibilityLabel: Pfeildiagramm einer Funktionsbeziehung mit genau einem Paar - domainLabel: X - codomainLabel: Y - domain: [ { id: "p", label: "p" }, { id: "q", label: "q" }, { id: "r", label: "r" }, ] - codomain: [ { id: "x", label: "x" }, { id: "y", label: "y" }, { id: "z", label: "z" }, ] - mappings: [ { from: "p", to: "x" }, { from: "q", to: "y" }, { from: "r", to: "y" }, // Mehrere Elemente dürfen bei einer Funktion demselben Wert zugeordnet sein ] ## Andere Darstellungen prüfen - Bei geordneten Paaren wird die erste Koordinate geprüft. Tritt dieselbe erste Koordinate mit zwei verschiedenen zweiten Koordinaten auf, ist die Relation keine Funktion. - In einer Tabelle muss jede Eingabezeile genau eine Ausgabe besitzen. - Im Graphen von $$y$$ als Funktion von $$x$$ darf jede senkrechte Gerade den Graphen höchstens einmal schneiden. Dies ist der Senkrechtentest. Visible text: - Bei geordneten Paaren wird die erste Koordinate geprüft. Tritt dieselbe erste Koordinate mit zwei verschiedenen zweiten Koordinaten auf, ist die Relation keine Funktion. - In einer Tabelle muss jede Eingabezeile genau eine Ausgabe besitzen. - Im Graphen von als Funktion von darf jede senkrechte Gerade den Graphen höchstens einmal schneiden. Dies ist der Senkrechtentest. Der Kreis $$x^2+y^2=4$$ ist zum Beispiel auf dem gesamten Kreis kein Graph von $$y$$ als Funktion von $$x$$. Für $$x=0$$ enthält die Relation sowohl $$y=2$$ als auch $$y=-2$$. Visible text: Der Kreis ist zum Beispiel auf dem gesamten Kreis kein Graph von als Funktion von . Für enthält die Relation sowohl als auch . ## Überprüfe dein Verständnis 1. Ist $$R=\{(-1,3),(0,3),(2,5)\}$$ auf den dargestellten Eingaben eine Funktion? 2. Ist $$S=\{(-1,3),(0,3),(-1,5)\}$$ auf den dargestellten Eingaben eine Funktion? 3. Definiert $$y^2=x$$ die Variable $$y$$ als Funktion jedes $$x\geq0$$? Visible text: 1. Ist auf den dargestellten Eingaben eine Funktion? 2. Ist auf den dargestellten Eingaben eine Funktion? 3. Definiert die Variable als Funktion jedes ? ### Ausführliche Lösungen 1. Ja. Jede erste Koordinate besitzt genau eine zweite Koordinate. Zwei Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe $$3$$ besitzen. 2. Nein. Die Eingabe $$-1$$ besitzt zwei verschiedene Ausgaben. 3. Nein. Für jedes $$x>0$$ enthält die Relation $$y=\sqrt{x}$$ und $$y=-\sqrt{x}$$. Die Einschränkung auf $$y=\sqrt{x}$$ würde eine Funktion definieren. Visible text: 1. Ja. Jede erste Koordinate besitzt genau eine zweite Koordinate. Zwei Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe besitzen. 2. Nein. Die Eingabe besitzt zwei verschiedene Ausgaben. 3. Nein. Für jedes enthält die Relation und . Die Einschränkung auf würde eine Funktion definieren.