# Funktionsbegriff

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionskomposition-und-umkehrfunktion/funktionsbegriff
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/function-concept/de.mdx

Verstehe Funktionen als Regeln, die jeder zulässigen Eingabe genau eine Ausgabe zuordnen, und lies anschließend Notation, Tabellen und geordnete Paare.

---

## Wann ist eine Relation eine Funktion?

Eine Funktion ordnet jeder Eingabe ihres Definitionsbereichs **genau eine Ausgabe** zu. Bildet $$f$$ eine Menge $$A$$ auf eine Menge $$B$$ ab, schreiben wir:

Visible text: Eine Funktion ordnet jeder Eingabe ihres Definitionsbereichs **genau eine Ausgabe** zu. Bildet eine Menge auf eine Menge ab, schreiben wir:

```math
f:A\to B
```

Zu jedem $$x\in A$$ muss genau ein Wert $$y\in B$$ mit $$y=f(x)$$ gehören. Zwei verschiedene Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe besitzen. Nicht erlaubt sind zwei verschiedene Ausgaben für dieselbe Eingabe.

Visible text: Zu jedem muss genau ein Wert mit gehören. Zwei verschiedene Eingaben dürfen dieselbe Ausgabe besitzen. Nicht erlaubt sind zwei verschiedene Ausgaben für dieselbe Eingabe.

Die Regel $$f(x)=x+2$$ ordnet zum Beispiel jeder reellen Eingabe genau einen Wert zu:

Visible text: Die Regel ordnet zum Beispiel jeder reellen Eingabe genau einen Wert zu:

| Eingabe $$x$$ | Ausgabe $$f(x)$$ |
| ------------------------------- | --------------------------------- |
| $$3$$ | $$5$$ |
| $$-1$$ | $$1$$ |
| $$0$$ | $$2$$ |

Visible text: | Eingabe | Ausgabe |
| ------------------------------- | --------------------------------- |
| | |
| | |
| | |

Dieselben Angaben lassen sich als geordnete Paare schreiben:

```math
\{(3,5),(-1,1),(0,2)\}
```

Jede erste Koordinate tritt nur mit einer zweiten Koordinate auf. Deshalb beschreiben die Paare auf den dargestellten Eingaben eine Funktion.

## Funktionsnotation lesen

In der Gleichung $$f(x)=y$$ gilt:

Visible text: In der Gleichung gilt:

- $$f$$ ist der Name der Funktion.
- $$x$$ ist eine Eingabe aus dem Definitionsbereich.
- $$f(x)$$ ist die Ausgabe, die durch Anwenden der Regel auf $$x$$ entsteht.
- $$y$$ ist eine andere Bezeichnung für diese Ausgabe.

Visible text: - ist der Name der Funktion.
- ist eine Eingabe aus dem Definitionsbereich.
- ist die Ausgabe, die durch Anwenden der Regel auf entsteht.
- ist eine andere Bezeichnung für diese Ausgabe.

Die Schreibweise $$f(3)$$ bedeutet nicht $$f\cdot3$$. Sie bedeutet: „Werte $$f$$ an der Stelle $$3$$ aus.“ Für $$f(x)=x+2$$ gilt:

Visible text: Die Schreibweise bedeutet nicht . Sie bedeutet: „Werte an der Stelle aus.“ Für gilt:

Component: MathContainer
Children:

```math
f(3)=3+2=5
```

```math
f(-1)=-1+2=1
```

```math
f(0)=0+2=2
```

## Eine Regel untersuchen

Die interaktive Funktionsmaschine verwendet $$f(x)=2x+1$$. Ändere die Eingabe, sage die Ausgabe voraus und vergleiche anschließend deine Vorhersage mit dem angezeigten Ergebnis.

Visible text: Die interaktive Funktionsmaschine verwendet . Ändere die Eingabe, sage die Ausgabe voraus und vergleiche anschließend deine Vorhersage mit dem angezeigten Ergebnis.

Component: FunctionMachine
Props:
- title: Funktionsmaschine
- description: Gib eine Zahl ein, um die feste Funktionsregel auszuwerten.
- inputLabel: Funktionseingabe

Die Regel führt stets dieselben beiden Schritte aus: Multipliziere die Eingabe mit $$2$$ und addiere anschließend $$1$$. Zum Beispiel:

Visible text: Die Regel führt stets dieselben beiden Schritte aus: Multipliziere die Eingabe mit und addiere anschließend . Zum Beispiel:

```math
f(-4)=2(-4)+1=-8+1=-7
```

## Funktion oder keine Funktion?

Vergleiche die beiden Relationen:

Component: MathContainer
Children:

```math
R=\{(1,4),(2,4),(3,7)\}
```

```math
S=\{(1,4),(1,6),(3,7)\}
```

Die Relation $$R$$ ist eine Funktion. Die Eingaben $$1$$ und $$2$$ teilen sich die Ausgabe $$4$$, was erlaubt ist. Die Relation $$S$$ ist keine Funktion, weil die Eingabe $$1$$ sowohl $$4$$ als auch $$6$$ zugeordnet wird.

Visible text: Die Relation ist eine Funktion. Die Eingaben und teilen sich die Ausgabe , was erlaubt ist. Die Relation ist keine Funktion, weil die Eingabe sowohl als auch zugeordnet wird.

## Überprüfe dein Verständnis

1. Es sei $$g(x)=3x-2$$. Bestimme $$g(0)$$, $$g(2)$$ und $$g(-3)$$.
2. Beschreibt $$T=\{(-2,5),(0,1),(4,5)\}$$ auf den dargestellten Eingaben eine Funktion? Begründe.
3. Beschreibt $$U=\{(-2,5),(0,1),(-2,7)\}$$ auf den dargestellten Eingaben eine Funktion? Begründe.

Visible text: 1. Es sei . Bestimme , und .
2. Beschreibt auf den dargestellten Eingaben eine Funktion? Begründe.
3. Beschreibt auf den dargestellten Eingaben eine Funktion? Begründe.

### Ausführliche Lösungen

1. Setze jede Eingabe in dieselbe Regel ein:

   <MathContainer>
     
   
   ```math
   g(0)=3(0)-2=-2
   ```

     
   
   ```math
   g(2)=3(2)-2=4
   ```

     
   
   ```math
   g(-3)=3(-3)-2=-11
   ```

   </MathContainer>

2. Ja. Jede erste Koordinate in $$T$$ besitzt genau eine zweite Koordinate. Die Ausgabe $$5$$ darf von mehreren Eingaben angenommen werden.
3. Nein. Die Eingabe $$-2$$ ist zwei verschiedenen Ausgaben zugeordnet, nämlich $$5$$ und $$7$$.

Visible text: 1. Setze jede Eingabe in dieselbe Regel ein:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

2. Ja. Jede erste Koordinate in besitzt genau eine zweite Koordinate. Die Ausgabe darf von mehreren Eingaben angenommen werden.
3. Nein. Die Eingabe ist zwei verschiedenen Ausgaben zugeordnet, nämlich und .