# Funktionskomposition > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionskomposition-und-umkehrfunktion/funktionskomposition Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/function-composition/de.mdx Verstehe Funktionskomposition anhand eines Einkaufsbeispiels und erkenne, warum die Reihenfolge der Funktionen wichtig ist. --- ## Funktionskomposition verstehen Stellen Sie sich vor, Sie kaufen in einem Geschäft ein, das zwei attraktive Sonderangebote anbietet: 1. **Aktion A:** $$20\%$$ Rabatt, dann ein weiterer Abzug von $$\text{Rp}25{.}000{,}00$$. 2. **Aktion B:** Preisnachlass von $$\text{Rp}25{.}000{,}00$$, dann ein Rabatt von $$20\%$$. Visible text: 1. **Aktion A:** Rabatt, dann ein weiterer Abzug von . 2. **Aktion B:** Preisnachlass von , dann ein Rabatt von . Führen beide Aktionen zum gleichen Endpreis? Welche Aktion ist vorteilhafter? Um dies zu beantworten, müssen wir das Konzept der **Funktionskomposition** verstehen. ### Definition der Funktionszusammensetzung Unter Funktionskomposition versteht man die sequentielle Kombination von zwei oder mehr Funktionen, um eine neue Funktion zu erzeugen. Für Funktionen $$g: A \to B$$ und $$f: B \to C$$ ist ihre Zusammensetzung $$(f \circ g)(x)$$ eine neue Funktion von der Definitionsmenge $$A$$ in die Zielmenge $$C$$. Visible text: Für Funktionen und ist ihre Zusammensetzung eine neue Funktion von der Definitionsmenge in die Zielmenge . Das bedeutet, dass wir zuerst die Funktion $$g$$ anwenden und dann ihr Ergebnis in die Funktion $$f$$ eingeben. Visible text: Das bedeutet, dass wir zuerst die Funktion anwenden und dann ihr Ergebnis in die Funktion eingeben. Mathematisch wird dies wie folgt geschrieben: ```math (f \circ g)(x) = f(g(x)) ``` Die Zusammensetzung ist nur für Eingaben $$x$$ aus der Definitionsmenge von $$g$$ definiert, deren Funktionswert $$g(x)$$ in der Definitionsmenge von $$f$$ liegt: Visible text: Die Zusammensetzung ist nur für Eingaben aus der Definitionsmenge von definiert, deren Funktionswert in der Definitionsmenge von liegt: ```math D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\} ``` ### Promo-Berechnung Wir berechnen den Endpreis für einen Artikel im Wert von $$\text{Rp}200{.}000{,}00$$. Das vereinfachte Beispiel lässt Steuern, Mindestkaufbedingungen und Preisuntergrenzen unberücksichtigt, sodass nur die Reihenfolge der beiden Operationen variiert. Visible text: Wir berechnen den Endpreis für einen Artikel im Wert von . Das vereinfachte Beispiel lässt Steuern, Mindestkaufbedingungen und Preisuntergrenzen unberücksichtigt, sodass nur die Reihenfolge der beiden Operationen variiert. Sei $$x$$ der Anfangspreis des Artikels. Visible text: Sei der Anfangspreis des Artikels. - **$$20\%$$ Rabattfunktion:** $$d(x) = x - 0{,}20x = 0{,}80x$$ - **$$\text{Rp}25{.}000{,}00$$ Reduktionsfunktion:** $$p(x) = x - 25000$$ Visible text: - ** Rabattfunktion:** - ** Reduktionsfunktion:** Nun verknüpfen wir die beiden Funktionen in der jeweiligen Reihenfolge der Aktion: 1. **Aktion A (erst Rabatt, dann Preisnachlass):** Wir suchen $$(p \circ d)(x)$$ ```math (p \circ d)(x) = p(d(x)) = p(0{,}80x) = 0{,}80x - 25000 ``` Für $$x = 200000$$: ```math (p \circ d)(200000) = 0{,}80(200000) - 25000 = 160000 - 25000 = 135000 ``` Der Endpreis für Aktion A beträgt also $$\text{Rp}135{.}000{,}00$$. 2. **Aktion B (zuerst Preissenkung, dann Rabatt):** Wir suchen $$(d \circ p)(x)$$ ```math (d \circ p)(x) = d(p(x)) = d(x - 25000) = 0{,}80(x - 25000) = 0{,}80x - 20000 ``` Für $$x = 200000$$: ```math (d \circ p)(200000) = 0{,}80(200000) - 20000 = 160000 - 20000 = 140000 ``` Der Endpreis mit Aktion B beträgt also $$\text{Rp}140{.}000{,}00$$. Visible text: 1. **Aktion A (erst Rabatt, dann Preisnachlass):** Wir suchen Für : Der Endpreis für Aktion A beträgt also . 2. **Aktion B (zuerst Preissenkung, dann Rabatt):** Wir suchen Für : Der Endpreis mit Aktion B beträgt also . Es stellt sich heraus, dass die Reihenfolge der Anwendung der Funktionen (Rabatt und Preisnachlass) das Endergebnis beeinflusst. Aktion A ($$p \circ d$$) ist für den Käufer vorteilhafter als Aktion B ($$d \circ p$$) für einen Artikel mit einem Preis von $$\text{Rp}200{.}000{,}00$$. Dies zeigt, dass im Allgemeinen $$(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$$. Visible text: Es stellt sich heraus, dass die Reihenfolge der Anwendung der Funktionen (Rabatt und Preisnachlass) das Endergebnis beeinflusst. Aktion A () ist für den Käufer vorteilhafter als Aktion B () für einen Artikel mit einem Preis von . Dies zeigt, dass im Allgemeinen . ## Ein weiteres Beispiel Angenommen, wir haben zwei Funktionen: Component: MathContainer Children: ```math f(x) = 2x + 1 ``` ```math g(x) = x^2 - 3 ``` Bestimmen Sie $$(f \circ g)(x)$$ und $$(g \circ f)(x)$$. Visible text: Bestimmen Sie und . **Lösung:** 1. **Berechnung von $$(f \circ g)(x)$$:** ```math (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 3) ``` Ersetzen Sie $$x$$ in $$f(x)$$ durch $$g(x)$$: ```math f(x^2 - 3) = 2(x^2 - 3) + 1 = 2x^2 - 6 + 1 = 2x^2 - 5 ``` Also $$(f \circ g)(x) = 2x^2 - 5$$. 2. **Berechnung von $$(g \circ f)(x)$$:** ```math (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) ``` Ersetzen Sie $$x$$ in $$g(x)$$ durch $$f(x)$$: ```math g(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 3 = (4x^2 + 4x + 1) - 3 = 4x^2 + 4x - 2 ``` Also $$(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x - 2$$. Visible text: 1. **Berechnung von :** Ersetzen Sie in durch : Also . 2. **Berechnung von :** Ersetzen Sie in durch : Also . Beachten Sie, dass $$(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$$ die nichtkommutative Eigenschaft veranschaulicht. Visible text: Beachten Sie, dass die nichtkommutative Eigenschaft veranschaulicht. ## Die Definitionsmenge hängt von der Reihenfolge ab Eine Funktionszusammensetzung ist nicht dasselbe wie das Produkt zweier Funktionen. Ihre Definitionsmenge lässt sich außerdem nicht allein an der Endformel ablesen. Sei Component: MathContainer Children: ```math f(u)=\sqrt{u-1} ``` ```math g(x)=x^2 ``` Dann gilt ```math (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-1} ``` Die Eingabe muss sowohl $$x\in D_g=\mathbb{R}$$ als auch $$g(x)=x^2\in D_f=[1,\infty)$$ erfüllen. Daher gilt Visible text: Die Eingabe muss sowohl als auch erfüllen. Daher gilt Component: MathContainer Children: ```math x^2\ge 1 ``` ```math D_{f\circ g}=(-\infty,-1]\cup[1,\infty) ``` Diese Prüfung erklärt, warum Werte zwischen $$-1$$ und $$1$$ ausgeschlossen sind: Sie machen den Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ. Visible text: Diese Prüfung erklärt, warum Werte zwischen und ausgeschlossen sind: Sie machen den Ausdruck unter der Quadratwurzel negativ.