# Injektive, surjektive und bijektive Funktionen > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionskomposition-und-umkehrfunktion/injektive-surjektive-und-bijektive-funktionen Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/injective-surjective-bijective-function/de.mdx Unterscheide injektive, surjektive und bijektive Funktionen anhand formaler Bedingungen und anschaulicher Zuordnungen. --- ## Funktionszuordnungseigenschaften verstehen Eine Funktion ordnet jedem Element ihrer Definitionsmenge genau ein Element der Zielmenge zu. Je nachdem, wie diese Zuordnung die beiden Mengen verbindet, unterscheidet man injektive, surjektive und bijektive Funktionen. Nehmen wir an, wir haben eine Funktion $$f: X \to Y$$. Visible text: Nehmen wir an, wir haben eine Funktion . ## Injektive Funktion (Eins-zu-Eins) Eine Funktion heißt **injektiv**, wenn verschiedene Elemente der Definitionsmenge $$X$$ stets verschiedene Bilder in der Zielmenge $$Y$$ besitzen. Zwei verschiedene Eingaben dürfen also nicht dieselbe Ausgabe erzeugen. Visible text: Eine Funktion heißt **injektiv**, wenn verschiedene Elemente der Definitionsmenge stets verschiedene Bilder in der Zielmenge besitzen. Zwei verschiedene Eingaben dürfen also nicht dieselbe Ausgabe erzeugen. **Formale Definition:** Eine Funktion $$f: X \to Y$$ ist injektiv, wenn für jedes $$x_1, x_2 \in X$$ gilt: Visible text: Eine Funktion ist injektiv, wenn für jedes gilt: ```math f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 ``` Oder äquivalent (unter Verwendung des Kontrapositivs): ```math x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2) ``` Stell dir vor, jeder Schüler einer Schule erhält eine eigene Kennnummer. Keine zwei Schüler dürfen dieselbe Nummer besitzen. Die Zuordnung von Schülern zu Kennnummern ist dann injektiv. **Beispiele:** - Die Funktion $$f(x) = 2x$$ für $$x \in \mathbb{R}$$ ist injektiv, da jeder eindeutige Wert von $$x$$ ein eindeutiges $$2x$$ erzeugt. - Die Funktion $$g(x) = x^2$$ für $$x \in \mathbb{R}$$ ist **nicht** injektiv, da $$g(2) = 4$$ und $$g(-2) = 4$$. Es gibt zwei verschiedene Eingaben ($$2$$ und $$-2$$), die dieselbe Ausgabe erzeugen ($$4$$). Visible text: - Die Funktion für ist injektiv, da jeder eindeutige Wert von ein eindeutiges erzeugt. - Die Funktion für ist **nicht** injektiv, da und . Es gibt zwei verschiedene Eingaben ( und ), die dieselbe Ausgabe erzeugen (). ## Surjektive Funktion Eine Funktion heißt **surjektiv**, wenn jedes Element der Zielmenge $$Y$$ Bild von **mindestens einem** Element der Definitionsmenge $$X$$ ist. Es bleibt also kein Zielwert unerreicht. Bei einer surjektiven Funktion stimmen Bildmenge und Zielmenge überein. Visible text: Eine Funktion heißt **surjektiv**, wenn jedes Element der Zielmenge Bild von **mindestens einem** Element der Definitionsmenge ist. Es bleibt also kein Zielwert unerreicht. Bei einer surjektiven Funktion stimmen Bildmenge und Zielmenge überein. **Formale Definition:** Eine Funktion $$f: X \to Y$$ ist surjektiv, wenn für jedes $$y \in Y$$ **mindestens ein** $$x \in X$$ existiert, sodass: Visible text: Eine Funktion ist surjektiv, wenn für jedes **mindestens ein** existiert, sodass: ```math f(x) = y ``` Stell dir die Zielmenge als Sitzplätze in einem Kino und die Definitionsmenge als Zuschauer vor. Die Zuordnung ist surjektiv, wenn jeder Sitzplatz von mindestens einem Zuschauer erreicht wird. **Beispiele:** - Die Funktion $$f(x) = x^3$$ von $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ ist surjektiv, denn zu jeder reellen Zahl $$y$$ in der Zielmenge gehört eine reelle Eingabe $$x$$, nämlich $$x = \sqrt[3]{y}$$. - Die Funktion $$g(x) = x^2$$ von $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ ist **nicht** surjektiv. Es gibt keine reelle Zahl $$x$$ mit $$g(x) = -1$$. Die negativen Werte der Zielmenge werden also nicht erreicht. - Beschränkt man die Zielmenge der Funktion $$g(x) = x^2$$ dagegen auf $$\mathbb{R} \to [0, \infty)$$, wird sie surjektiv. Visible text: - Die Funktion von ist surjektiv, denn zu jeder reellen Zahl in der Zielmenge gehört eine reelle Eingabe , nämlich . - Die Funktion von ist **nicht** surjektiv. Es gibt keine reelle Zahl mit . Die negativen Werte der Zielmenge werden also nicht erreicht. - Beschränkt man die Zielmenge der Funktion dagegen auf , wird sie surjektiv. ## Bijektive Funktion (Eins-zu-Eins-Korrespondenz) Eine Funktion heißt **bijektiv**, wenn sie sowohl **injektiv als auch surjektiv** ist. Jedes Element der Zielmenge wird dann von genau einem Element der Definitionsmenge erreicht. Eine bijektive Funktion stellt damit eine **Eins-zu-eins-Entsprechung** zwischen Definitionsmenge und Zielmenge her. **Formale Definition:** Eine Funktion $$f: X \to Y$$ ist bijektiv, wenn für jedes $$y \in Y$$ **genau ein** $$x \in X$$ existiert, sodass: Visible text: Eine Funktion ist bijektiv, wenn für jedes **genau ein** existiert, sodass: ```math f(x) = y ``` Stell dir zwei Mengen mit gleich vielen Elementen vor. Jedes Element der ersten Menge wird genau einem Element der zweiten Menge zugeordnet, und jedes Element der zweiten Menge wird genau einmal erreicht. Eine solche Abbildung ist bijektiv. **Wichtig:** Eine Funktion $$f:X\to Y$$ besitzt genau dann eine beidseitige Umkehrfunktion $$f^{-1}:Y\to X$$, wenn sie **bijektiv** ist. Eine injektive Funktion lässt sich auf ihrer tatsächlichen Bildmenge umkehren, sobald diese Bildmenge als Zielmenge gewählt wird. Visible text: **Wichtig:** Eine Funktion besitzt genau dann eine beidseitige Umkehrfunktion , wenn sie **bijektiv** ist. Eine injektive Funktion lässt sich auf ihrer tatsächlichen Bildmenge umkehren, sobald diese Bildmenge als Zielmenge gewählt wird. **Beispiele:** - Die Funktion $$f(x) = 2x$$ von $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ ist bijektiv (injektiv und surjektiv). - Die Funktion $$f(x) = x^3$$ von $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ ist bijektiv (injektiv und surjektiv). - Die Funktion $$g(x) = x^2$$ von $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ ist nicht bijektiv (weder injektiv noch surjektiv). - Die Funktion $$h(x) = e^x$$ von $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ ist nicht bijektiv (injektiv, aber nicht surjektiv). - Die Funktion $$k(x) = x^3 - x$$ von $$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ ist nicht bijektiv (surjektiv, aber nicht injektiv). Visible text: - Die Funktion von ist bijektiv (injektiv und surjektiv). - Die Funktion von ist bijektiv (injektiv und surjektiv). - Die Funktion von ist nicht bijektiv (weder injektiv noch surjektiv). - Die Funktion von ist nicht bijektiv (injektiv, aber nicht surjektiv). - Die Funktion von ist nicht bijektiv (surjektiv, aber nicht injektiv). ## Verständnis prüfen In jeder der folgenden Abbildungen wird dieselbe Formel $$q(x)=x^2$$ verwendet. Ordne jede Funktion als injektiv, surjektiv, bijektiv oder weder injektiv noch surjektiv ein. Visible text: In jeder der folgenden Abbildungen wird dieselbe Formel verwendet. Ordne jede Funktion als injektiv, surjektiv, bijektiv oder weder injektiv noch surjektiv ein. 1. $$q:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ 2. $$q:\mathbb{R}\to[0,\infty)$$ 3. $$q:[0,\infty)\to[0,\infty)$$ Visible text: 1. 2. 3. ### Lösung 1. Die Funktion ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv, weil $$q(2)=q(-2)=4$$ gilt, und nicht surjektiv, weil keine negative reelle Zahl erreicht wird. 2. Die Funktion ist surjektiv, aber nicht injektiv. Jeder Wert $$y\ge0$$ wird mit $$x=\sqrt{y}$$ erreicht, doch Eingaben mit entgegengesetztem Vorzeichen haben weiterhin dasselbe Quadrat. 3. Die Funktion ist bijektiv. Die eingeschränkte Definitionsmenge entfernt die doppelte negative Eingabe, und jeder Wert aus $$[0,\infty)$$ wird genau einmal erreicht. Ihre Umkehrfunktion ist $$q^{-1}(x)=\sqrt{x}$$. Visible text: 1. Die Funktion ist weder injektiv noch surjektiv. Sie ist nicht injektiv, weil gilt, und nicht surjektiv, weil keine negative reelle Zahl erreicht wird. 2. Die Funktion ist surjektiv, aber nicht injektiv. Jeder Wert wird mit erreicht, doch Eingaben mit entgegengesetztem Vorzeichen haben weiterhin dasselbe Quadrat. 3. Die Funktion ist bijektiv. Die eingeschränkte Definitionsmenge entfernt die doppelte negative Eingabe, und jeder Wert aus wird genau einmal erreicht. Ihre Umkehrfunktion ist . Die Formel hat sich nicht geändert. Die Einordnung ändert sich durch Definitionsmenge und Zielmenge.