# Multiplikation und Division von Funktionen
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Untersuche Produkt- und Quotientenfunktionen, ihre Definitionsbereiche und den Ausschluss von Nennernullstellen.
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## Multiplikation zweier Funktionen
Die Produktfunktion multipliziert $$f(x)$$ und $$g(x)$$ an derselben Eingabe $$x$$. Dadurch entsteht die neue Funktion $$(f\cdot g)$$.
Visible text: Die Produktfunktion multipliziert und an derselben Eingabe . Dadurch entsteht die neue Funktion .
Component: ContentStack
Children:
Component: LineEquation
Props:
- title: Visualisierung der Funktionsmultiplikation
- description: Beobachte, wie die Funktionswerte von $$f(x)=x$$ und{" "}
$$g(x)=2$$ multipliziert werden und dadurch{" "}
$$(f \cdot g)(x)=2x$$.
Visible text: Beobachte, wie die Funktionswerte von und
multipliziert werden und dadurch
.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
x: i - 5,
y: i - 5,
z: 0,
})),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: $$f(x)=x$$, at: 6, offset: [1, -0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({ x: i - 5, y: 2, z: 0 })),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$g(x)=2$$, at: 8, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
x: i - 5,
y: 2 * (i - 5),
z: 0,
})),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$(f\cdot g)(x)=2x$$, at: 7, offset: [-1.5, 1, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
x: i - 5,
y: i - 5,
z: 0,
})),
color: "#ea580c",
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},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({ x: i - 5, y: 2, z: 0 })),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 8, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
x: i - 5,
y: 2 * (i - 5),
z: 0,
})),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , at: 7, offset: [-1.5, 1, 0] }],
},
]
```math
(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
```
Wie bei Summe und Differenz ist das Produkt nur dort definiert, wo beide Ausgangsfunktionen definiert sind. Sein Definitionsbereich ist die Schnittmenge beider Definitionsbereiche.
```math
D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g
```
### Beispiel einer Multiplikation
Verwenden wir dieses Mal etwas andere Funktionen:
1. $$f(x) = x^2$$, mit Definitionsbereich $$D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$ (alle
reelle Zahlen).
2. $$g(x) = x - 1$$, mit Definitionsbereich $$D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$ (alle
reelle Zahlen).
Visible text: 1. , mit Definitionsbereich (alle
reelle Zahlen).
2. , mit Definitionsbereich (alle
reelle Zahlen).
**Schritt** $$1$$: Bestimmen Sie die resultierende Funktion aus der Multiplikation
Visible text: **Schritt** : Bestimmen Sie die resultierende Funktion aus der Multiplikation
Component: MathContainer
Children:
```math
(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
```
```math
= (x^2) \cdot (x - 1)
```
```math
= x^3 - x^2
```
**Schritt** $$2$$: Bestimmen Sie den Definitionsbereich der resultierenden Funktion
Visible text: **Schritt** : Bestimmen Sie den Definitionsbereich der resultierenden Funktion
Wir finden den Schnittpunkt von $$D_f$$ und $$D_g$$:
Visible text: Wir finden den Schnittpunkt von und :
Component: MathContainer
Children:
```math
D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g
```
```math
= \{x | x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
```math
= \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
Die resultierende Funktion aus der Multiplikation ist also $$(f \cdot g)(x) = x^3 - x^2$$ mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen.
Visible text: Die resultierende Funktion aus der Multiplikation ist also mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen.
## Division zweier Funktionen
Auch die Division der Funktion $$f$$ durch die Funktion $$g$$ ist ähnlich: Wir dividieren das Ergebnis von $$f(x)$$ durch $$g(x)$$. Das Ergebnis ist eine neue Funktion $$(\frac{f}{g})$$.
Visible text: Auch die Division der Funktion durch die Funktion ist ähnlich: Wir dividieren das Ergebnis von durch . Das Ergebnis ist eine neue Funktion .
```math
\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}
```
Bei der Division gilt eine zusätzliche Bedingung. Neben der Zugehörigkeit zu den Definitionsbereichen von $$f$$ und $$g$$ muss die Eingabe $$x$$ auch $$g(x)\neq0$$ erfüllen, damit der Nenner nicht null ist.
Visible text: Bei der Division gilt eine zusätzliche Bedingung. Neben der Zugehörigkeit zu den Definitionsbereichen von und muss die Eingabe auch erfüllen, damit der Nenner nicht null ist.
Der Definitionsbereich der Quotientenfunktion $$(\frac{f}{g})$$ ist somit die Schnittmenge von $$D_f$$ und $$D_g$$, aus der alle Werte von $$x$$ mit $$g(x) = 0$$ _ausgeschlossen_ werden.
Visible text: Der Definitionsbereich der Quotientenfunktion ist somit die Schnittmenge von und , aus der alle Werte von mit _ausgeschlossen_ werden.
```math
D_{\frac{f}{g}}=(D_f\cap D_g)\setminus\{x\mid g(x)=0\}
```
Das Symbol $$\setminus$$ bezeichnet die Mengendifferenz: Die aufgeführten Eingaben werden aus der Schnittmenge der Definitionsbereiche entfernt.
Visible text: Das Symbol bezeichnet die Mengendifferenz: Die aufgeführten Eingaben werden aus der Schnittmenge der Definitionsbereiche entfernt.
### Beispiel für eine Division
Wir verwenden die gleichen Funktionen wie im Multiplikationsbeispiel:
1. $$f(x) = x^2$$, $$D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$
2. $$g(x) = x - 1$$, $$D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$
Visible text: 1. ,
2. ,
**Schritt** $$1$$: Bestimmen Sie die resultierende Funktion aus der Division
Visible text: **Schritt** : Bestimmen Sie die resultierende Funktion aus der Division
```math
\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{x-1}
```
**Schritt** $$2$$: Bestimmen Sie den Definitionsbereich der resultierenden Funktion
Visible text: **Schritt** : Bestimmen Sie den Definitionsbereich der resultierenden Funktion
Finden Sie zunächst den Schnittpunkt von $$D_f$$ und $$D_g$$:
Visible text: Finden Sie zunächst den Schnittpunkt von und :
```math
D_f \cap D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
Zweitens ermitteln Sie den Wert von $$x$$, der $$g(x) = 0$$ ergibt:
Visible text: Zweitens ermitteln Sie den Wert von , der ergibt:
Component: MathContainer
Children:
```math
g(x) = 0
```
```math
x - 1 = 0
```
```math
x = 1
```
Drittens schließen Sie $$x=1$$ aus der Schnittmenge der Definitionsbereiche aus:
Visible text: Drittens schließen Sie aus der Schnittmenge der Definitionsbereiche aus:
```math
D_{\frac{f}{g}}=\{x\mid x\in\mathbb{R}\}\setminus\{1\}
```
Oder es kann auch geschrieben werden als:
```math
D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \in \mathbb{R}, x \neq 1\}
```
Die resultierende Funktion aus der Division ist also $$(\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1}$$ mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen außer $$x=1$$.
Visible text: Die resultierende Funktion aus der Division ist also mit dem Definitionsbereich aller reellen Zahlen außer .
## Übungsaufgaben
Gegeben sei die Funktion $$f(x) = \sqrt{x+4}$$ mit $$D_f = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$$ und die Funktion $$g(x) = x^2 - 9$$ mit $$D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}$$.
Visible text: Gegeben sei die Funktion mit und die Funktion mit .
1. Bestimmen Sie $$(f \cdot g)(x)$$ und seinen Definitionsbereich $$D_{f \cdot g}$$.
2. Bestimmen Sie $$(\frac{f}{g})(x)$$ und seinen Definitionsbereich $$D_{\frac{f}{g}}$$.
3. Berechnen Sie den Wert von $$(f \cdot g)(5)$$.
4. Ist $$(\frac{f}{g})(3)$$ definiert? Erklären.
Visible text: 1. Bestimmen Sie und seinen Definitionsbereich .
2. Bestimmen Sie und seinen Definitionsbereich .
3. Berechnen Sie den Wert von .
4. Ist definiert? Erklären.
### Lösungen
1. **Bestimmung von $$(f \cdot g)(x)$$:**
```math
(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)
```
```math
= (\sqrt{x+4}) \cdot (x^2 - 9)
```
```math
= (x^2 - 9)\sqrt{x+4}
```
**Definitionsbereich $$D_{f \cdot g}$$:**
```math
D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g
```
```math
= \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \in \mathbb{R}\}
```
```math
= \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}
```
Damit gilt $$(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$$ mit dem Definitionsbereich $$\{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$$.
2. **Bestimmung von $$(\frac{f}{g})(x)$$:**
```math
\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}
```
**Definitionsbereich $$D_{\frac{f}{g}}$$:**
Zunächst ist die Schnittmenge $$D_f \cap D_g = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}$$.
Nun bestimmen wir alle Werte von $$x$$ mit $$g(x)=0$$:
```math
g(x) = 0
```
```math
x^2 - 9 = 0
```
```math
(x-3)(x+3) = 0
```
```math
x = 3 \text{oder} x = -3
```
Schließen Sie $$x=3$$ und $$x=-3$$ aus der Schnittmenge der Definitionsbereiche aus:
```math
D_{\frac{f}{g}}=\{x\mid x\geq-4,\ x\in\mathbb{R}\}\setminus\{-3,3\}
```
Oder es kann geschrieben werden als:
```math
D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}, x \neq -3, x \neq 3\}
```
Damit gilt $$(\frac{f}{g})(x) = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}$$ mit dem Definitionsbereich $$\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$$.
3. **Berechnung von $$(f \cdot g)(5)$$:**
Wir verwenden das Ergebnis aus Aufgabe $$1$$: $$(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}$$.
Wegen $$5 \ge -4$$ liegt $$x=5$$ im Definitionsbereich $$D_{f \cdot g}$$.
```math
(f \cdot g)(5) = (5^2 - 9)\sqrt{5+4}
```
```math
= (25 - 9)\sqrt{9}
```
```math
= (16)(3)
```
```math
= 48
```
4. **Ist $$(\frac{f}{g})(3)$$ definiert?**
Nein. Aus Teil $$2$$ kennen wir den Definitionsbereich von $$(\frac{f}{g})(x)$$ als $$\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}$$. Der Wert $$x=3$$ ist ausgeschlossen, weil der Nenner $$g(x) = x^2 - 9$$ dort Null wird ($$3^2 - 9 = 0$$). Eine Division durch Null ist nicht definiert.
Visible text: 1. **Bestimmung von :**
**Definitionsbereich :**
Damit gilt mit dem Definitionsbereich .
2. **Bestimmung von :**
**Definitionsbereich :**
Zunächst ist die Schnittmenge .
Nun bestimmen wir alle Werte von mit :
Schließen Sie und aus der Schnittmenge der Definitionsbereiche aus:
Oder es kann geschrieben werden als:
Damit gilt mit dem Definitionsbereich .
3. **Berechnung von :**
Wir verwenden das Ergebnis aus Aufgabe : .
Wegen liegt im Definitionsbereich .
4. **Ist definiert?**
Nein. Aus Teil kennen wir den Definitionsbereich von als . Der Wert ist ausgeschlossen, weil der Nenner dort Null wird (). Eine Division durch Null ist nicht definiert.