# Umkehrfunktion > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionskomposition-und-umkehrfunktion/umkehrfunktion Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-composition-inverse-function/inverse-function/de.mdx Verstehe Umkehrfunktionen Schritt für Schritt: Definition, Bijektivität, Formelbestimmung und Spiegelung des Graphen. --- ## Umkehrfunktionen verstehen Beim Übersetzen wird einem englischen Wort ein indonesisches Wort zugeordnet. Dieser Vorgang lässt sich als Funktion betrachten: Das englische Wort ist die Eingabe, das indonesische Wort die Ausgabe. Betrachten Sie die folgende Abbildung: Reale Übersetzungen können mehrdeutig sein. Hier verwenden wir bewusst ein kleines Wörterbuch, in dem jedes ausgewählte Wort genau einer Übersetzung zugeordnet ist. Component: InverseFunctionIllustration Props: - title: Übersetzungsmaschine - description: Die Übersetzungsmaschine wandelt Wörter oder Sätze vom Englischen ins Indonesische um. - machineLabel: Übersetzungsmaschine - content: { input: "Mathematics", output: "Matematika" } Die „Übersetzungsmaschine“ ordnet hier dem englischen Wort „Mathematics“ die indonesische Übersetzung „Matematika“ zu. Was geschieht, wenn wir die Richtung umkehren und von „Matematika“ zurück zu „Mathematics“ gehen? Dieser umgekehrte Prozess ist die Grundlage des Konzepts der **Umkehrfunktion**. ## Definition der Umkehrfunktion Eine Umkehrfunktion kehrt die Zuordnung der ursprünglichen Funktion um. Ordnet $$f$$ einem Element $$x$$ aus der Definitionsmenge $$A$$ das Element $$y$$ in der Zielmenge $$B$$ zu, dann ordnet $$f^{-1}$$ (gesprochen „f invers“) dem Wert $$y$$ aus $$B$$ wieder den Wert $$x$$ in $$A$$ zu. Visible text: Eine Umkehrfunktion kehrt die Zuordnung der ursprünglichen Funktion um. Ordnet einem Element aus der Definitionsmenge das Element in der Zielmenge zu, dann ordnet (gesprochen „f invers“) dem Wert aus wieder den Wert in zu. Mathematisch: ```math y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) ``` Kurz gesagt: Wenn $$f$$ aus $$x$$ den Wert $$y$$ erzeugt, führt $$f^{-1}$$ von $$y$$ wieder zu $$x$$ zurück. Visible text: Kurz gesagt: Wenn aus den Wert erzeugt, führt von wieder zu zurück. **Wichtig:** Die Notation $$f^{-1}(x)$$ bedeutet **nicht** $$\frac{1}{f(x)}$$ (multiplikativ invers oder reziprok). Es handelt sich um eine spezielle Notation für die Umkehrfunktion. Visible text: **Wichtig:** Die Notation bedeutet **nicht** (multiplikativ invers oder reziprok). Es handelt sich um eine spezielle Notation für die Umkehrfunktion. ## Voraussetzung für eine Umkehrfunktion Damit eine Funktion $$f:A\to B$$ eine beidseitige Umkehrfunktion $$f^{-1}:B\to A$$ besitzt, muss $$f$$ **bijektiv** sein. Eine bijektive Funktion ist sowohl **injektiv** (eins zu eins) als auch **surjektiv**. Visible text: Damit eine Funktion eine beidseitige Umkehrfunktion besitzt, muss **bijektiv** sein. Eine bijektive Funktion ist sowohl **injektiv** (eins zu eins) als auch **surjektiv**. - **Injektiv (eins zu eins):** Verschiedene Eingaben erzeugen verschiedene Ausgaben. - **Surjektiv:** Jedes Element der Zielmenge wird von mindestens einer Eingabe erreicht. Die festgelegte Definitionsmenge und Zielmenge sind dabei entscheidend. Ist $$f$$ injektiv, erreicht aber nicht ganz $$B$$, kann man die Zielmenge durch die tatsächliche Bildmenge ersetzen. Schreiben wir diese als $$\operatorname{Im}(f)$$, dann ist $$f:A\to \operatorname{Im}(f)$$ bijektiv und besitzt eine Umkehrfunktion $$f^{-1}:\operatorname{Im}(f)\to A$$. Ist $$f$$ nicht injektiv, ordnet die umgekehrte Relation einer Ausgabe mehrere Eingaben zu. Sie ist dann keine Funktion, sofern man die ursprüngliche Definitionsmenge nicht einschränkt. Visible text: Die festgelegte Definitionsmenge und Zielmenge sind dabei entscheidend. Ist injektiv, erreicht aber nicht ganz , kann man die Zielmenge durch die tatsächliche Bildmenge ersetzen. Schreiben wir diese als , dann ist bijektiv und besitzt eine Umkehrfunktion . Ist nicht injektiv, ordnet die umgekehrte Relation einer Ausgabe mehrere Eingaben zu. Sie ist dann keine Funktion, sofern man die ursprüngliche Definitionsmenge nicht einschränkt. Zum Beispiel ist $$q(x)=x^2$$ auf $$\mathbb{R}$$ nicht injektiv, denn $$q(2)=q(-2)=4$$. Durch die Einschränkung von Definitionsmenge und Zielmenge erhält man die bijektive Funktion Visible text: Zum Beispiel ist auf nicht injektiv, denn . Durch die Einschränkung von Definitionsmenge und Zielmenge erhält man die bijektive Funktion ```math q:[0,\infty)\to[0,\infty),\qquad q(x)=x^2 ``` mit der Umkehrfunktion $$q^{-1}(x)=\sqrt{x}$$. Visible text: mit der Umkehrfunktion . ## Bestimmen der Formel für eine Umkehrfunktion Um die Formel für die Umkehrfunktion $$f^{-1}(x)$$ aus einer Funktion $$f(x)$$ zu finden, können Sie die folgenden Schritte ausführen: Visible text: Um die Formel für die Umkehrfunktion aus einer Funktion zu finden, können Sie die folgenden Schritte ausführen: 1. Ersetzen Sie $$f(x)$$ durch $$y$$. 2. Vertauschen Sie die Positionen der Variablen $$x$$ und $$y$$ in der Gleichung. 3. Lösen Sie die Gleichung für $$y$$ anhand von $$x$$ auf. 4. Ersetzen Sie $$y$$ durch $$f^{-1}(x)$$, um die Umkehrfunktionsformel zu erhalten. Visible text: 1. Ersetzen Sie durch . 2. Vertauschen Sie die Positionen der Variablen und in der Gleichung. 3. Lösen Sie die Gleichung für anhand von auf. 4. Ersetzen Sie durch , um die Umkehrfunktionsformel zu erhalten. **Beispiel:** Sei $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ durch $$f(x) = 2x + 3$$ definiert. Bestimme die Umkehrfunktion. Visible text: Sei durch definiert. Bestimme die Umkehrfunktion. 1. Ersetzen Sie $$f(x)$$ durch $$y$$: ```math y = 2x + 3 ``` 2. $$x$$ und $$y$$ vertauschen: ```math x = 2y + 3 ``` 3. Nach $$y$$ auflösen: ```math x - 3 = 2y ``` ```math \frac{x - 3}{2} = y ``` 4. Ersetzen Sie $$y$$ durch $$f^{-1}(x)$$: ```math f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2} ``` Visible text: 1. Ersetzen Sie durch : 2. und vertauschen: 3. Nach auflösen: 4. Ersetzen Sie durch : Die Umkehrfunktion von $$f(x) = 2x + 3$$ ist also $$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$. Visible text: Die Umkehrfunktion von ist also . ## Graph einer Funktion und ihrer Umkehrung Der Graph der Umkehrfunktion $$f^{-1}(x)$$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $$f(x)$$ an der Geraden $$y = x$$. Visible text: Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung des Graphen von an der Geraden . Betrachten wir zum Beispiel den Graphen von $$f(x) = 2x + 3$$, seine Umkehrung $$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$ und die Identitätslinie $$y=x$$. Visible text: Betrachten wir zum Beispiel den Graphen von , seine Umkehrung und die Identitätslinie . Component: LineEquation Props: - title: Graphen von $$f(x)$$ und der Umkehrfunktion Visible text: Graphen von und der Umkehrfunktion - description: Die Grafik zeigt $$f(x)$$, die Umkehrfunktion{" "} $$f^{-1}(x)$$ und die Gerade $$y=x$$ als Spiegelachse. Visible text: Die Grafik zeigt , die Umkehrfunktion und die Gerade als Spiegelachse. - data: [ { // f(x) = 2x + 3 points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => { const x = i - 5; return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 }; }), color: "#ea580c", labels: [ { text: $$f(x)=2x + 3$$, at: 5, offset: [-2.5, 0, 0], }, ], }, { // f⁻¹(x) = (x - 3) / 2 points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => { const x = i - 5; return { x, y: (x - 3) / 2, z: 0 }; }), color: "#059669", labels: [ { text: $$f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$$, at: 10, offset: [0.5, 0.5, 0], }, ], }, { // y = x (Identitätsgerade) points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => { const x = i - 5; return { x, y: x, z: 0 }; }), color: "#db2777", labels: [ { text: $$y=x$$, at: 10, offset: [0.5, 0.5, 0], }, ], }, ] Visible text: [ { // f(x) = 2x + 3 points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => { const x = i - 5; return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 }; }), color: "#ea580c", labels: [ { text: , at: 5, offset: [-2.5, 0, 0], }, ], }, { // f⁻¹(x) = (x - 3) / 2 points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => { const x = i - 5; return { x, y: (x - 3) / 2, z: 0 }; }), color: "#059669", labels: [ { text: , at: 10, offset: [0.5, 0.5, 0], }, ], }, { // y = x (Identitätsgerade) points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => { const x = i - 5; return { x, y: x, z: 0 }; }), color: "#db2777", labels: [ { text: , at: 10, offset: [0.5, 0.5, 0], }, ], }, ] ## Verständnis prüfen Sei $$r:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ durch $$r(x)=3x-5$$ definiert. Visible text: Sei durch definiert. 1. Bestimme $$r^{-1}(x)$$. 2. Überprüfe beide Verkettungen $$r^{-1}(r(x))$$ und $$r(r^{-1}(x))$$. 3. Gib Definitionsmenge und Bildmenge beider Funktionen an. Visible text: 1. Bestimme . 2. Überprüfe beide Verkettungen und . 3. Gib Definitionsmenge und Bildmenge beider Funktionen an. ### Lösung Beginne mit $$y=3x-5$$, vertausche die Variablen und löse nach $$y$$ auf: Visible text: Beginne mit , vertausche die Variablen und löse nach auf: Component: MathContainer Children: ```math x=3y-5 ``` ```math x+5=3y ``` ```math r^{-1}(x)=\frac{x+5}{3} ``` Überprüfe nun beide Richtungen: Component: MathContainer Children: ```math r^{-1}(r(x))=\frac{(3x-5)+5}{3}=x ``` ```math r(r^{-1}(x))=3\left(\frac{x+5}{3}\right)-5=x ``` Sowohl $$r$$ als auch $$r^{-1}$$ haben die Definitionsmenge $$\mathbb{R}$$ und die Bildmenge $$\mathbb{R}$$. Die beiden Identitäten bestätigen, dass sich die Funktionen auf ihren vollständigen Definitionsmengen gegenseitig aufheben. Visible text: Sowohl als auch haben die Definitionsmenge und die Bildmenge . Die beiden Identitäten bestätigen, dass sich die Funktionen auf ihren vollständigen Definitionsmengen gegenseitig aufheben.