# Horizontale Streckung und Stauchung

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Verstehe, wie der Multiplikator im Funktionsargument die horizontale Skalierung bestimmt, und wende die Regel auf Graphen, Definitionsbereiche und Beispiele an.

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## Grundidee der horizontalen Skalierung

Eine horizontale Skalierung verändert die Breite eines Funktionsgraphen. Man kann sich den Graphen wie ein Gummiband vorstellen, das von links und rechts auseinandergezogen oder zur Mitte hin zusammengedrückt wird. Seine Höhen ändern sich dabei nicht.

Aus einer Funktion $$f(x)$$ entsteht die neue Funktion $$g(x) = f(kx)$$. Dabei ist $$k \ne 0$$ der Multiplikator im Funktionsargument. Der tatsächliche Betrag der horizontalen Skalierung ist $$s = \frac{1}{|k|}$$.

Visible text: Aus einer Funktion entsteht die neue Funktion . Dabei ist der Multiplikator im Funktionsargument. Der tatsächliche Betrag der horizontalen Skalierung ist .

### Skalierungsregel

Für jede Funktion $$f(x)$$ und jeden von null verschiedenen Multiplikator $$k$$ gilt:

Visible text: Für jede Funktion und jeden von null verschiedenen Multiplikator gilt:

Component: MathContainer
Children:

```math
g(x) = f(kx)
```

```math
s = \frac{1}{|k|}
```

Der Multiplikator $$k$$ bestimmt die Wirkung:

Visible text: Der Multiplikator bestimmt die Wirkung:

- Bei $$k > 1$$ schrumpft die Breite des Graphen auf $$\frac{1}{k}$$ ihrer ursprünglichen Größe
- Bei $$0 < k < 1$$ wächst die Breite des Graphen auf das $$\frac{1}{k}$$-Fache
- Bei $$k = 1$$ bleibt der Graph unverändert
- Bei $$k < 0$$ wird der Graph zusätzlich an der $$y$$-Achse gespiegelt

Visible text: - Bei schrumpft die Breite des Graphen auf ihrer ursprünglichen Größe
- Bei wächst die Breite des Graphen auf das -Fache
- Bei bleibt der Graph unverändert
- Bei wird der Graph zusätzlich an der -Achse gespiegelt

Der Wert $$k = 0$$ ist ausgeschlossen: $$f(0x) = f(0)$$ wäre überall, wo der Wert definiert ist, konstant. Der Graph würde also zusammenfallen und nicht horizontal skaliert.

Visible text: Der Wert ist ausgeschlossen: wäre überall, wo der Wert definiert ist, konstant. Der Graph würde also zusammenfallen und nicht horizontal skaliert.

Der Kehrwert ist entscheidend: Ein größerer Multiplikator im Argument macht den Graphen schmaler, während die horizontale Skalierung selbst $$\frac{1}{|k|}$$ beträgt.

Visible text: Der Kehrwert ist entscheidend: Ein größerer Multiplikator im Argument macht den Graphen schmaler, während die horizontale Skalierung selbst beträgt.

## Vergleich am Graphen

Die quadratische Funktion $$f(x) = x^2$$ zeigt die Wirkung verschiedener Multiplikatoren besonders deutlich.

Visible text: Die quadratische Funktion zeigt die Wirkung verschiedener Multiplikatoren besonders deutlich.

Component: LineEquation
Props:
- title: Horizontale Skalierung der quadratischen Funktion $$f(x) = x^2$$
  Visible text: Horizontale Skalierung der quadratischen Funktion
- description: Vergleiche, wie verschiedene Multiplikatoren die Breite des Graphen verändern.
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$f(x)=x^2$$, offset: [4, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (2 * x) * (2 * x), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: $$g(x)=(2x)^2$$, offset: [4, 3, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (0.5 * x) * (0.5 * x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$h(x)=(0{,}5x)^2$$, offset: [4, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , offset: [4, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (2 * x) * (2 * x), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: , offset: [4, 3, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (0.5 * x) * (0.5 * x), z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , offset: [4, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Der Graph zeigt:

- Die ursprüngliche Funktion $$f(x) = x^2$$ dient als Vergleich
- Die Funktion $$g(x) = (2x)^2$$ verwendet den Multiplikator $$2$$, ihre horizontale Skalierung beträgt also $$\frac{1}{2}$$
- Die Funktion $$h(x) = (0{,}5x)^2$$ verwendet den Multiplikator $$0{,}5$$, ihre horizontale Skalierung beträgt also $$2$$
- Alle Graphen haben den gleichen Scheitelpunkt bei $$(0, 0)$$

Visible text: - Die ursprüngliche Funktion dient als Vergleich
- Die Funktion verwendet den Multiplikator , ihre horizontale Skalierung beträgt also 
- Die Funktion verwendet den Multiplikator , ihre horizontale Skalierung beträgt also 
- Alle Graphen haben den gleichen Scheitelpunkt bei

## Skalierung einer linearen Funktion

Nun wenden wir dieselbe Regel auf die lineare Funktion $$f(x) = x + 2$$ an.

Visible text: Nun wenden wir dieselbe Regel auf die lineare Funktion an.

Component: LineEquation
Props:
- title: Horizontale Skalierung der linearen Funktion $$f(x) = x + 2$$
  Visible text: Horizontale Skalierung der linearen Funktion
- description: Der Multiplikator verändert die Steigung, aber nicht den $$y$$-Achsenabschnitt.
  Visible text: Der Multiplikator verändert die Steigung, aber nicht den -Achsenabschnitt.
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: x + 2, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
labels: [{ text: $$f(x)=x+2$$, offset: [2, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: (2 * x) + 2, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [{ text: $$g(x)=2x+2$$, offset: [1, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: (0.5 * x) + 2, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$h(x)=0{,}5x+2$$, offset: [3, -0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: x + 2, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
labels: [{ text: , offset: [2, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: (2 * x) + 2, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [{ text: , offset: [1, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: (0.5 * x) + 2, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , offset: [3, -0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Der Vergleich zeigt:

- Die ursprüngliche Funktion $$f(x) = x + 2$$ hat die Steigung $$1$$
- Funktion $$g(x) = f(2x) = 2x + 2$$ hat Steigung $$2$$ (horizontal komprimiert)
- Funktion $$h(x) = f(0{,}5x) = 0{,}5x + 2$$ hat Steigung $$0{,}5$$ (horizontal gestreckt)
- Alle Geraden schneiden die $$y$$-Achse im gleichen Punkt $$(0, 2)$$

Visible text: - Die ursprüngliche Funktion hat die Steigung 
- Funktion hat Steigung (horizontal komprimiert)
- Funktion hat Steigung (horizontal gestreckt)
- Alle Geraden schneiden die -Achse im gleichen Punkt

## Wichtige Eigenschaften

### Wirkung auf Koordinatenpunkte

Liegt $$(a, b)$$ auf dem Graphen von $$f(x)$$, dann liegt auf dem Graphen von $$f(kx)$$ der Punkt $$(\frac{a}{k}, b)$$.

Visible text: Liegt auf dem Graphen von , dann liegt auf dem Graphen von der Punkt .

### Definitionsbereich und Wertebereich

- **Definitionsbereich**: Seine horizontalen Koordinaten werden durch den Multiplikator $$k$$ geteilt
- **Wertebereich**: Bleibt unverändert

Visible text: - **Definitionsbereich**: Seine horizontalen Koordinaten werden durch den Multiplikator geteilt
- **Wertebereich**: Bleibt unverändert

Ist der ursprüngliche Definitionsbereich $$[c, d]$$, dann wird er bei einer horizontalen Skalierung mit $$k > 0$$ zu $$[\frac{c}{k}, \frac{d}{k}]$$.

Visible text: Ist der ursprüngliche Definitionsbereich , dann wird er bei einer horizontalen Skalierung mit zu .

### Achsenabschnitte

- **$$x$$-Achsenabschnitt**: Seine Koordinate wird durch den Multiplikator geteilt
- **$$y$$-Achsenabschnitt**: Bleibt unverändert

Visible text: - **-Achsenabschnitt**: Seine Koordinate wird durch den Multiplikator geteilt
- **-Achsenabschnitt**: Bleibt unverändert

## Weitere Beispiele

### Exponentialfunktion

Bei der Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$ verändert die horizontale Skalierung, wie schnell der Graph steigt.

Visible text: Bei der Exponentialfunktion verändert die horizontale Skalierung, wie schnell der Graph steigt.

Component: LineEquation
Props:
- title: Horizontale Skalierung der Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$
  Visible text: Horizontale Skalierung der Exponentialfunktion
- description: Der Multiplikator verändert, wie schnell der Exponentialgraph ansteigt.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [8, 6, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$f(x)=2^x$$, offset: [2, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, 2 * x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: $$g(x)=2^{2x}$$, offset: [1, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , offset: [2, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, 2 * x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: , offset: [1, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Für Exponentialfunktionen:

- Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei $$y = 0$$
- Der $$y$$-Achsenabschnitt bleibt bei $$(0, 1)$$ gleich
- Die Wachstumsrate der Funktion ändert sich entsprechend dem Multiplikator

Visible text: - Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei 
- Der -Achsenabschnitt bleibt bei gleich
- Die Wachstumsrate der Funktion ändert sich entsprechend dem Multiplikator

## Negativer Multiplikator im Funktionsargument

Ein negatives Vorzeichen im Argument spiegelt den Graphen zusätzlich an der senkrechten Achse.

Component: LineEquation
Props:
- title: Horizontale Skalierung mit negativem Multiplikator bei $$f(x) = x^2 + 1$$
  Visible text: Horizontale Skalierung mit negativem Multiplikator bei
- description: Sein Betrag bestimmt die horizontale Skalierung, sein Vorzeichen die Spiegelung.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x + 1, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
labels: [{ text: $$f(x)=x^2+1$$, offset: [2, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (-2 * x) * (-2 * x) + 1, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
labels: [{ text: $$g(x)=(-2x)^2+1$$, offset: [3, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x + 1, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
labels: [{ text: , offset: [2, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (-2 * x) * (-2 * x) + 1, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
labels: [{ text: , offset: [3, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Für einen negativen Multiplikator gilt:

- Der Graph erfährt eine Spiegelung an der $$y$$-Achse
- Der Betrag der horizontalen Skalierung ist $$\frac{1}{|k|}$$
- Bei dieser quadratischen Funktion ist die Spiegelung nicht sichtbar, weil ihr Graph bereits symmetrisch ist

Visible text: - Der Graph erfährt eine Spiegelung an der -Achse
- Der Betrag der horizontalen Skalierung ist 
- Bei dieser quadratischen Funktion ist die Spiegelung nicht sichtbar, weil ihr Graph bereits symmetrisch ist

## Übungen

1. Wende den Multiplikator $$3$$ auf das Argument der Funktion $$f(x) = x^2 - 2x + 1$$ an und bestimme die neue Funktionsgleichung.

2. Der Graph der Funktion $$g(x) = \sqrt{x}$$ wird mit dem Multiplikator $$\frac{1}{2}$$ im Funktionsargument horizontal skaliert. Bestimme:
   - Die Gleichung der skalierten Funktion
   - Den Definitionsbereich nach der Skalierung

3. Skaliere die Funktion $$h(x) = |x - 2|$$ horizontal mit dem Multiplikator $$-1$$ und bestimme den neuen Scheitelpunkt.

Visible text: 1. Wende den Multiplikator auf das Argument der Funktion an und bestimme die neue Funktionsgleichung.

2. Der Graph der Funktion wird mit dem Multiplikator im Funktionsargument horizontal skaliert. Bestimme:
 - Die Gleichung der skalierten Funktion
 - Den Definitionsbereich nach der Skalierung

3. Skaliere die Funktion horizontal mit dem Multiplikator und bestimme den neuen Scheitelpunkt.

### Lösungen

1. Horizontale Skalierung mit dem Multiplikator $$3$$: <InlineMath math="f'(x) = f(3x) = (3x)^2 - 2(3x) + 1 = 9x^2 - 6x + 1" />

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$f(x) = x^2 - 2x + 1$$ und ihr Skalierungsergebnis</>}
     description={
       <>
         Der Multiplikator $$3$$ ergibt die horizontale Skalierung{" "}
         $$\frac{1}{3}$$ und macht die Parabel schmaler.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[12, 8, 12]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x - 2 * x + 1, z: 0 };
         }),
         color: "#9333ea",
         labels: [{ text: $$f(x)=x^2-2x+1$$, offset: [4, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: 9 * x * x - 6 * x + 1, z: 0 };
         }),
         color: "#ea580c",
         labels: [{ text: <InlineMath math="f'(x)=9x^2-6x+1" />, offset: [3, 2, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

2. Gleichung der skalierten Funktion:

   - Horizontale Skalierung: <InlineMath math="g'(x) = g(\frac{1}{2}x) = \sqrt{\frac{1}{2}x} = \sqrt{\frac{x}{2}}" />
   - Definitionsbereich nach der Skalierung: $$[0, \infty)$$ bleibt $$[0, \infty)$$, weil der Multiplikator positiv ist

   Im Graphen:

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$g(x) = \sqrt{x}$$ und ihr Skalierungsergebnis</>}
     description={
       <>
         Der Multiplikator $$0{,}5$$ ergibt die horizontale Skalierung{" "}
         $$2$$ und macht den Quadratwurzelgraphen doppelt so breit.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
         }),
         color: "#7c3aed",
         labels: [{ text: $$g(x)=\sqrt{x}$$, offset: [2, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(0.5 * x), z: 0 };
         }),
         color: "#0d9488",
         labels: [{ text: <InlineMath math="g'(x)=\sqrt{\frac{x}{2}}" />, offset: [3, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

3. Die ursprüngliche Funktion $$h(x) = |x - 2|$$ hat ihren Scheitelpunkt bei $$(2, 0)$$.
   Nach horizontaler Skalierung mit dem Multiplikator $$-1$$: <InlineMath math="h'(x) = |-x - 2| = |-(x + 2)| = |x + 2|" /> wird der Scheitelpunkt zu $$(-2, 0)$$.

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$h(x) = |x - 2|$$ und ihr Skalierungsergebnis</>}
     description={<>Der Multiplikator $$-1$$ spiegelt den Betragsgraphen an der $$y$$-Achse, ohne seine horizontale Größe zu ändern.</>}
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[10, 6, 10]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: Math.abs(x - 2), z: 0 };
         }),
         color: "#4f46e5",
         labels: [{ text: $$h(x)=|x-2|$$, offset: [2.5, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: Math.abs(-x - 2), z: 0 };
         }),
         color: "#059669",
         labels: [{ text: <InlineMath math="h'(x)=|-x-2|" />, offset: [2.5, 2, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

Visible text: 1. Horizontale Skalierung mit dem Multiplikator : 

 <LineEquation
 title={<>Funktion und ihr Skalierungsergebnis</>}
 description={
 <>
 Der Multiplikator ergibt die horizontale Skalierung 
 und macht die Parabel schmaler.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[12, 8, 12]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x - 2 * x + 1, z: 0 };
 }),
 color: "#9333ea",
 labels: [{ text: , offset: [4, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: 9 * x * x - 6 * x + 1, z: 0 };
 }),
 color: "#ea580c",
 labels: [{ text: , offset: [3, 2, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

2. Gleichung der skalierten Funktion:

 - Horizontale Skalierung: 
 - Definitionsbereich nach der Skalierung: bleibt , weil der Multiplikator positiv ist

 Im Graphen:

 <LineEquation
 title={<>Funktion und ihr Skalierungsergebnis</>}
 description={
 <>
 Der Multiplikator ergibt die horizontale Skalierung 
 und macht den Quadratwurzelgraphen doppelt so breit.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
 }),
 color: "#7c3aed",
 labels: [{ text: , offset: [2, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: Math.sqrt(0.5 * x), z: 0 };
 }),
 color: "#0d9488",
 labels: [{ text: , offset: [3, 0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

3. Die ursprüngliche Funktion hat ihren Scheitelpunkt bei .
 Nach horizontaler Skalierung mit dem Multiplikator : wird der Scheitelpunkt zu .

 <LineEquation
 title={<>Funktion und ihr Skalierungsergebnis</>}
 description={<>Der Multiplikator spiegelt den Betragsgraphen an der -Achse, ohne seine horizontale Größe zu ändern.</>}
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[10, 6, 10]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: Math.abs(x - 2), z: 0 };
 }),
 color: "#4f46e5",
 labels: [{ text: , offset: [2.5, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: Math.abs(-x - 2), z: 0 };
 }),
 color: "#059669",
 labels: [{ text: , offset: [2.5, 2, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />