# Horizontale Verschiebung

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Verschiebe Funktionsgraphen nach links oder rechts, leite die Vorzeichenregel her und verfolge Definitions- und Wertebereich.

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## Grundlegende Konzepte der horizontalen Verschiebung

Eine horizontale Verschiebung bewegt den Graphen einer Funktion entlang der $$x$$-Achse nach links oder rechts, ohne seine Form zu verändern. Wie bei einem Gegenstand, der über einen Tisch geschoben wird, ändert sich nur die Position.

Visible text: Eine horizontale Verschiebung bewegt den Graphen einer Funktion entlang der -Achse nach links oder rechts, ohne seine Form zu verändern. Wie bei einem Gegenstand, der über einen Tisch geschoben wird, ändert sich nur die Position.

Aus der Funktion $$f(x)$$ entsteht die verschobene Funktion $$g(x) = f(x - h)$$. Die Zahl $$h$$ gibt Richtung und Länge der Verschiebung an.

Visible text: Aus der Funktion entsteht die verschobene Funktion . Die Zahl gibt Richtung und Länge der Verschiebung an.

### Regeln der horizontalen Verschiebung

Für jede Funktion $$f(x)$$ gilt:

Visible text: Für jede Funktion gilt:

```math
g(x) = f(x - h)
```

Dabei gilt:

- Für $$h > 0$$ verschiebt sich der Graph nach **rechts**, und zwar um $$h \text{Einheiten}$$.
- Für $$h < 0$$ verschiebt sich der Graph nach **links**, und zwar um $$|h| \text{Einheiten}$$.
- Für $$h = 0$$ bleibt der Graph unverändert.

Visible text: - Für verschiebt sich der Graph nach **rechts**, und zwar um .
- Für verschiebt sich der Graph nach **links**, und zwar um .
- Für bleibt der Graph unverändert.

## Visualisierung der horizontalen Verschiebung

Die quadratische Funktion $$f(x) = x^2$$ zeigt die Vorzeichenregel besonders deutlich.

Visible text: Die quadratische Funktion zeigt die Vorzeichenregel besonders deutlich.

Component: LineEquation
Props:
- title: Horizontale Verschiebung der quadratischen Funktion $$f(x) = x^2$$
  Visible text: Horizontale Verschiebung der quadratischen Funktion
- description: Die Parabelform bleibt erhalten, während sich der Scheitelpunkt horizontal verschiebt.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [12, 8, 12]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$f(x)=x^2$$, offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (x - 3) * (x - 3), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: $$g(x)=(x-3)^2$$, offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (x + 2) * (x + 2), z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [{ text: $$h(x)=(x+2)^2$$, offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (x - 3) * (x - 3), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (x + 2) * (x + 2), z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Die Visualisierung zeigt:

- Die ursprüngliche Funktion $$f(x) = x^2$$ hat ihren Scheitelpunkt bei $$(0, 0)$$
- Die Funktion $$g(x) = (x - 3)^2$$ ist um $$3 \text{Einheiten}$$ nach rechts verschoben. Ihr Scheitelpunkt liegt bei $$(3, 0)$$.
- Die Funktion $$h(x) = (x + 2)^2$$ ist um $$2 \text{Einheiten}$$ nach links verschoben. Ihr Scheitelpunkt liegt bei $$(-2, 0)$$.

Visible text: - Die ursprüngliche Funktion hat ihren Scheitelpunkt bei 
- Die Funktion ist um nach rechts verschoben. Ihr Scheitelpunkt liegt bei .
- Die Funktion ist um nach links verschoben. Ihr Scheitelpunkt liegt bei .

## Horizontale Verschiebung linearer Funktionen

Wenden wir nun dasselbe Konzept auf die lineare Funktion $$f(x) = 2x + 1$$ an.

Visible text: Wenden wir nun dasselbe Konzept auf die lineare Funktion an.

Component: LineEquation
Props:
- title: Horizontale Verschiebung der linearen Funktion $$f(x) = 2x + 1$$
  Visible text: Horizontale Verschiebung der linearen Funktion
- description: Alle drei Geraden haben dieselbe Steigung, liegen aber an unterschiedlichen Positionen.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x + 1, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: $$f(x)=2x+1$$, offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * (x - 4) + 1, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
labels: [{ text: $$g(x)=2(x-4)+1$$, offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * (x + 3) + 1, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
labels: [{ text: $$h(x)=2(x+3)+1$$, offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x + 1, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * (x - 4) + 1, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * (x + 3) + 1, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Die drei Geraden lassen sich direkt vergleichen:

- Alle haben die Steigung $$2$$.
- Die Funktion $$g(x) = 2(x - 4) + 1$$ ist um $$4 \text{Einheiten}$$ nach rechts verschoben.
- Die Funktion $$h(x) = 2(x + 3) + 1$$ ist um $$3 \text{Einheiten}$$ nach links verschoben.

Visible text: - Alle haben die Steigung .
- Die Funktion ist um nach rechts verschoben.
- Die Funktion ist um nach links verschoben.

## Wichtige Eigenschaften der horizontalen Verschiebung

### Die Graphenform bleibt unverändert

Eine horizontale Verschiebung erhält die Form des Graphen. Jeder Punkt bewegt sich um dieselbe horizontale Strecke, seine Höhe bleibt unverändert.

### Wirkung auf Koordinatenpunkte

Liegt der Punkt $$(a, b)$$ auf dem Graphen von $$f(x)$$, liegt nach der Verschiebung um $$h$$ der Punkt $$(a + h, b)$$ auf dem Graphen von $$f(x - h)$$.

Visible text: Liegt der Punkt auf dem Graphen von , liegt nach der Verschiebung um der Punkt auf dem Graphen von .

### Definitions- und Wertebereich

- **Definitionsbereich**: Verschiebt sich um $$h \text{Einheiten}$$.
- **Wertebereich**: Bleibt bei einer horizontalen Verschiebung unverändert.

Visible text: - **Definitionsbereich**: Verschiebt sich um .
- **Wertebereich**: Bleibt bei einer horizontalen Verschiebung unverändert.

Ist der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion $$[c, d]$$, wird er nach der Verschiebung um $$h$$ zu $$[c + h, d + h]$$.

Visible text: Ist der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion , wird er nach der Verschiebung um zu .

## Anwendungsbeispiele

### Beispiel mit einer Exponentialfunktion

Nun wird die Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$ horizontal verschoben.

Visible text: Nun wird die Exponentialfunktion horizontal verschoben.

Component: LineEquation
Props:
- title: Horizontale Verschiebung der Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$
  Visible text: Horizontale Verschiebung der Exponentialfunktion
- description: Die Exponentialkurve behält ihre Eigenschaften nach der horizontalen Verschiebung bei.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [8, 5, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$f(x)=2^x$$, offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x - 2), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: $$g(x)=2^{x-2}$$, offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x + 1), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$h(x)=2^{x+1}$$, offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x - 2), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x + 1), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Für Exponentialfunktionen:

- Die horizontale Asymptote bleibt für alle Funktionen bei $$y = 0$$
- Der $$y$$-Achsenabschnitt ändert sich aufgrund der horizontalen Verschiebung
- Funktion $$g(x) = 2^{x-2}$$ verschiebt sich um $$2 \text{Einheiten}$$ nach rechts
- Funktion $$h(x) = 2^{x+1}$$ verschiebt sich um $$1 \text{Einheit}$$ nach links

Visible text: - Die horizontale Asymptote bleibt für alle Funktionen bei 
- Der -Achsenabschnitt ändert sich aufgrund der horizontalen Verschiebung
- Funktion verschiebt sich um nach rechts
- Funktion verschiebt sich um nach links

## Unterschied zwischen horizontaler und vertikaler Verschiebung

Beide Verschiebungen greifen an unterschiedlichen Stellen der Funktionsvorschrift an:

### Horizontale Verschiebung

- Ändert die Funktionseingabe: $$f(x - h)$$
- Verändert die Abszisse jedes Punkts
- Der Definitionsbereich verschiebt sich, der Wertebereich bleibt bestehen

Visible text: - Ändert die Funktionseingabe: 
- Verändert die Abszisse jedes Punkts
- Der Definitionsbereich verschiebt sich, der Wertebereich bleibt bestehen

### Vertikale Verschiebung

- Ändert die Funktionsausgabe: $$f(x) + k$$
- Verändert die Ordinate jedes Punkts
- Der Definitionsbereich bleibt bestehen, der Wertebereich verschiebt sich

Visible text: - Ändert die Funktionsausgabe: 
- Verändert die Ordinate jedes Punkts
- Der Definitionsbereich bleibt bestehen, der Wertebereich verschiebt sich

## Übungen

1. Gegeben ist die Funktion $$f(x) = x^2 + 2x + 1$$. Bestimme die Gleichung nach einer horizontalen Verschiebung um $$3 \text{Einheiten}$$ nach rechts.

2. Der Graph der Funktion $$g(x) = \sqrt{x}$$ wird horizontal um $$4 \text{Einheiten}$$ nach links verschoben. Bestimme:
   - die Gleichung der verschobenen Funktion
   - den Definitionsbereich nach der Verschiebung

3. Die Funktion $$h(x) = 3^x$$ wird so verschoben, dass der Punkt $$(0, 1)$$ auf $$(2, 1)$$ abgebildet wird. Bestimme die Verschiebungskonstante und die Gleichung der verschobenen Funktion.

Visible text: 1. Gegeben ist die Funktion . Bestimme die Gleichung nach einer horizontalen Verschiebung um nach rechts.

2. Der Graph der Funktion wird horizontal um nach links verschoben. Bestimme:
 - die Gleichung der verschobenen Funktion
 - den Definitionsbereich nach der Verschiebung

3. Die Funktion wird so verschoben, dass der Punkt auf abgebildet wird. Bestimme die Verschiebungskonstante und die Gleichung der verschobenen Funktion.

### Lösungen

1. Horizontale Verschiebung nach rechts um $$3 \text{Einheiten}$$: <InlineMath math="f'(x) = f(x - 3) = (x - 3)^2 + 2(x - 3) + 1 = x^2 - 4x + 4" />

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$f(x) = x^2 + 2x + 1$$ und verschobener Graph</>}
     description={
       <>
         Ursprüngliche quadratische Funktion und Verschiebung um
         $$3 \text{Einheiten}$$ nach rechts.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[12, 8, 12]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x + 2 * x + 1, z: 0 };
         }),
         color: "#9333ea",
         labels: [{ text: $$f(x)=x^2+2x+1$$, offset: [1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x - 4 * x + 4, z: 0 };
         }),
         color: "#ea580c",
         labels: [{ text: <InlineMath math="f'(x)=x^2-4x+4" />, offset: [1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

2. Gleichung der verschobenen Funktion:

   - Verschiebung nach links um $$4 \text{Einheiten}$$: <InlineMath math="g'(x) = g(x + 4) = \sqrt{x + 4}" />
   - Definitionsbereich nach der Verschiebung: $$x + 4 \geq 0$$, also $$x \geq -4$$ oder $$[-4, \infty)$$

   Visualisierung:

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$g(x) = \sqrt{x}$$ und verschobener Graph</>}
     description={
       <>
         Ursprüngliche Quadratwurzelfunktion und Verschiebung um
         $$4 \text{Einheiten}$$ nach links.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[8, 6, 8]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
         }),
         color: "#7c3aed",
         labels: [{ text: $$g(x)=\sqrt{x}$$, offset: [1, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25 - 4;
           if (x + 4 >= 0) {
             return { x, y: Math.sqrt(x + 4), z: 0 };
           }
           return null;
         }).filter(Boolean),
         color: "#0d9488",
         labels: [{ text: <InlineMath math="g'(x)=\sqrt{x+4}" />, offset: [1, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

3. Punkt $$(0, 1)$$ auf $$h(x) = 3^x$$ wird zu $$(2, 1)$$, was eine horizontale Verschiebung um $$h = 2 \text{Einheiten}$$ nach rechts bedeutet.
   Die verschobene Funktion lautet <InlineMath math="h'(x) = 3^{x-2}" />.

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$h(x) = 3^x$$ und verschobener Graph</>}
     description={
       <>
         Ursprüngliche Exponentialfunktion und Verschiebung um
         $$2 \text{Einheiten}$$ nach rechts.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[10, 6, 10]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
           const x = (i - 15) * 0.2;
           return { x, y: Math.pow(3, x), z: 0 };
         }),
         color: "#4f46e5",
         labels: [{ text: $$h(x)=3^x$$, offset: [0.5, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
           const x = (i - 15) * 0.2;
           return { x, y: Math.pow(3, x - 2), z: 0 };
         }),
         color: "#059669",
         labels: [{ text: <InlineMath math="h'(x)=3^{x-2}" />, offset: [0.5, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

Visible text: 1. Horizontale Verschiebung nach rechts um : 

 <LineEquation
 title={<>Funktion und verschobener Graph</>}
 description={
 <>
 Ursprüngliche quadratische Funktion und Verschiebung um
 nach rechts.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[12, 8, 12]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x + 2 * x + 1, z: 0 };
 }),
 color: "#9333ea",
 labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x - 4 * x + 4, z: 0 };
 }),
 color: "#ea580c",
 labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

2. Gleichung der verschobenen Funktion:

 - Verschiebung nach links um : 
 - Definitionsbereich nach der Verschiebung: , also oder 

 Visualisierung:

 <LineEquation
 title={<>Funktion und verschobener Graph</>}
 description={
 <>
 Ursprüngliche Quadratwurzelfunktion und Verschiebung um
 nach links.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[8, 6, 8]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
 }),
 color: "#7c3aed",
 labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25 - 4;
 if (x + 4 >= 0) {
 return { x, y: Math.sqrt(x + 4), z: 0 };
 }
 return null;
 }).filter(Boolean),
 color: "#0d9488",
 labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

3. Punkt auf wird zu , was eine horizontale Verschiebung um nach rechts bedeutet.
 Die verschobene Funktion lautet .

 <LineEquation
 title={<>Funktion und verschobener Graph</>}
 description={
 <>
 Ursprüngliche Exponentialfunktion und Verschiebung um
 nach rechts.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[10, 6, 10]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
 const x = (i - 15) * 0.2;
 return { x, y: Math.pow(3, x), z: 0 };
 }),
 color: "#4f46e5",
 labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
 const x = (i - 15) * 0.2;
 return { x, y: Math.pow(3, x - 2), z: 0 };
 }),
 color: "#059669",
 labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />