# Drehung
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionstransformationen/rotation
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-transformation/rotation/de.mdx
Verstehe mit Formeln, Graphen und vollständig gelösten Beispielen, wie Punkte und Funktionskurven um einen Mittelpunkt gedreht werden.
---
## Was bei einer Drehung geschieht
Eine Drehung bewegt jeden Punkt einer Figur um einen festen Mittelpunkt und durch denselben Winkel. Bei einem Funktionsgraphen wird deshalb nicht nur ein einzelner Punkt, sondern die gesamte Punktmenge gedreht.
Das lässt sich mit einem Rad vergleichen: Jeder Punkt bewegt sich auf einem Kreis um die Radmitte. Der Abstand zum Drehzentrum bleibt dabei unverändert.
## Drehformel für einen beliebigen Mittelpunkt
Für eine Drehung um $$(a, b)$$ durch den Winkel $$\theta$$ gilt:
Visible text: Für eine Drehung um durch den Winkel gilt:
Component: MathContainer
Children:
```math
x' = (x - a) \cos \theta - (y - b) \sin \theta + a
```
```math
y' = (x - a) \sin \theta + (y - b) \cos \theta + b
```
Dabei bezeichnet:
- $$(x, y)$$ die ursprünglichen Punktkoordinaten
- die Koordinaten nach der Drehung
- $$(a, b)$$ den Drehmittelpunkt
- $$\theta$$ den Drehwinkel, wobei positive Winkel gegen den Uhrzeigersinn verlaufen
Visible text: - die ursprünglichen Punktkoordinaten
- die Koordinaten nach der Drehung
- den Drehmittelpunkt
- den Drehwinkel, wobei positive Winkel gegen den Uhrzeigersinn verlaufen
## Drehungen um den Ursprung
Für den Ursprung $$(0, 0)$$ vereinfachen sich die Formeln:
Visible text: Für den Ursprung vereinfachen sich die Formeln:
1. Drehung um $$90^\circ$$
```math
(x, y) \rightarrow (-y, x)
```
2. Drehung um $$180^\circ$$
```math
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
```
3. Drehung um $$270^\circ$$
```math
(x, y) \rightarrow (y, -x)
```
Visible text: 1. Drehung um
2. Drehung um
3. Drehung um
## Eine gedrehte Parabel
Die quadratische Funktion $$y = x^2$$ wird nun um den Ursprung gedreht:
Visible text: Die quadratische Funktion wird nun um den Ursprung gedreht:
Component: LineEquation
Props:
- title: Drehung von $$y = x^2$$ um den Ursprung
Visible text: Drehung von um den Ursprung
- description: Vergleich der ursprünglichen Parabel mit dem Ergebnis einer Drehung um $$90^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn.
Visible text: Vergleich der ursprünglichen Parabel mit dem Ergebnis einer Drehung um gegen den Uhrzeigersinn.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.25;
const y = x * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$y=x^2$$,
at: 15,
offset: [0.5, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.25;
const y = x * x;
// 90° rotation around origin: (x,y) → (-y,x)
const xRotated = -y;
const yRotated = x;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [
{
text: <>nach $$90^\circ$$ Drehung,
at: 5,
offset: [-1, 0.5, 0],
},
],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.25;
const y = x * x;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 15,
offset: [0.5, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.25;
const y = x * x;
// 90° rotation around origin: (x,y) → (-y,x)
const xRotated = -y;
const yRotated = x;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [
{
text: <>nach Drehung,
at: 5,
offset: [-1, 0.5, 0],
},
],
},
]
## Eigenschaften einer Drehung
Bei jeder Drehung gelten drei wichtige Eigenschaften:
- **Die Form bleibt erhalten**: Nur die Lage und Ausrichtung der Kurve ändern sich
- **Abstände bleiben erhalten**: Zwei Punkte liegen nach der Drehung genauso weit auseinander wie zuvor
- **Drehungen lassen sich zusammensetzen**: Bei gleichem Mittelpunkt werden aufeinanderfolgende Drehwinkel addiert
## Drehungen verschiedener Kurven
### Eine gedrehte Gerade
Bei einer Geraden $$y = mx + c$$ verändert die Drehung sowohl ihre Steigung als auch ihre Lage.
Visible text: Bei einer Geraden verändert die Drehung sowohl ihre Steigung als auch ihre Lage.
Component: LineEquation
Props:
- title: Drehung der Geraden $$y = 2x + 1$$
Visible text: Drehung der Geraden
- description: Drehung um $$45^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
Visible text: Drehung um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
- data: [
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5);
const y = 2 * x + 1;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$y=2x + 1$$,
at: 6,
offset: [1, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5);
const y = 2 * x + 1;
// 45° rotation around origin
const cos45 = Math.cos(Math.PI / 4);
const sin45 = Math.sin(Math.PI / 4);
const xRotated = x * cos45 - y * sin45;
const yRotated = x * sin45 + y * cos45;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
labels: [
{
text: <>nach $$45^\circ$$ Drehung,
at: 6,
offset: [-0.5, 0.5, 0],
},
],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5);
const y = 2 * x + 1;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 6,
offset: [1, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5);
const y = 2 * x + 1;
// 45° rotation around origin
const cos45 = Math.cos(Math.PI / 4);
const sin45 = Math.sin(Math.PI / 4);
const xRotated = x * cos45 - y * sin45;
const yRotated = x * sin45 + y * cos45;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
labels: [
{
text: <>nach Drehung,
at: 6,
offset: [-0.5, 0.5, 0],
},
],
},
]
### Eine gedrehte Exponentialkurve
Auch eine Exponentialkurve lässt sich punktweise drehen. Das Ergebnis muss allerdings nicht mehr der Graph einer Funktion der horizontalen Koordinate sein.
Component: LineEquation
Props:
- title: Drehung der Kurve $$y = 2^x$$
Visible text: Drehung der Kurve
- description: Drehung um $$90^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn.
Visible text: Drehung um gegen den Uhrzeigersinn.
- cameraPosition: [8, 6, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 15 }, (_, i) => {
const x = (i - 7) * 0.5;
const y = Math.pow(2, x);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#059669",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$y=2^x$$,
at: 12,
offset: [0.5, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 15 }, (_, i) => {
const x = (i - 7) * 0.5;
const y = Math.pow(2, x);
// 90° rotation around origin: (x,y) → (-y,x)
const xRotated = -y;
const yRotated = x;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [
{
text: <>nach $$90^\circ$$ Drehung,
at: 3,
offset: [-0.5, 0.5, 0],
},
],
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 15 }, (_, i) => {
const x = (i - 7) * 0.5;
const y = Math.pow(2, x);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#059669",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 12,
offset: [0.5, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 15 }, (_, i) => {
const x = (i - 7) * 0.5;
const y = Math.pow(2, x);
// 90° rotation around origin: (x,y) → (-y,x)
const xRotated = -y;
const yRotated = x;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [
{
text: <>nach Drehung,
at: 3,
offset: [-0.5, 0.5, 0],
},
],
},
]
## So konstruierst du eine gedrehte Kurve
Gehe für eine punktweise Konstruktion so vor:
- Bestimme den Drehmittelpunkt und den Drehwinkel
- Wähle mehrere repräsentative Punkte auf dem ursprünglichen Graphen
- Wende die Drehformel auf jeden ausgewählten Punkt an
- Verbinde die gedrehten Punkte zu einer Kurve, die nicht mehr unbedingt eine Funktion von x ist
- Prüfe den Verlauf mit einigen zusätzlichen Punkten
## Übungen
1. Drehe den Punkt $$(3, 4)$$ um den Ursprung und um $$90^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn.
2. Die Funktion $$f(x) = x^2 - 2x + 1$$ wird um $$180^\circ$$ um den Ursprung gedreht. Bestimme die Koordinaten des neuen Scheitelpunkts, wenn der ursprüngliche Scheitelpunkt bei $$(1, 0)$$ liegt.
3. Die Gerade $$y = 3x - 2$$ wird um $$270^\circ$$ um den Ursprung gedreht. Bestimme die Gleichung der neuen Geraden.
4. Der Punkt $$(2, 5)$$ wird um $$60^\circ$$ um den Punkt $$(1, 1)$$ gedreht. Bestimme seine neuen Koordinaten.
5. Die Funktion $$y = \sqrt{x}$$ für $$x \geq 0$$ wird um $$90^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung gedreht. Beschreibe die Form der neuen Kurve.
Visible text: 1. Drehe den Punkt um den Ursprung und um gegen den Uhrzeigersinn.
2. Die Funktion wird um um den Ursprung gedreht. Bestimme die Koordinaten des neuen Scheitelpunkts, wenn der ursprüngliche Scheitelpunkt bei liegt.
3. Die Gerade wird um um den Ursprung gedreht. Bestimme die Gleichung der neuen Geraden.
4. Der Punkt wird um um den Punkt gedreht. Bestimme seine neuen Koordinaten.
5. Die Funktion für wird um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung gedreht. Beschreibe die Form der neuen Kurve.
### Lösungen
1. Mit der $$90^\circ$$-Rotationsformel:
```math
(x, y) \rightarrow (-y, x)
```
```math
(3, 4) \rightarrow (-4, 3)
```
Der gedrehte Punkt lautet damit $$(-4, 3)$$.
Drehung des Punktes $$(3, 4)$$}
description={<>Drehung um $$90^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.}
cameraPosition={[8, 6, 8]}
data={[
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 4, z: 0 }
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$(3, 4)$$,
at: 1,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
],
cone: { position: "end", size: 0.3 }
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -4, y: 3, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$(-4, 3)$$,
at: 1,
offset: [-0.5, 0.3, 0],
},
],
cone: { position: "end", size: 0.3 }
},
]}
/>
2. Der ursprüngliche Scheitelpunkt wird um $$180^\circ$$ gedreht:
```math
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
```
```math
(1, 0) \rightarrow (-1, 0)
```
Der neue Scheitelpunkt liegt bei $$(-1, 0)$$.
Drehung der Funktion $$f(x) = x^2 - 2x + 1$$}
description={<>Drehung um $$180^\circ$$ um den Ursprung.}
cameraPosition={[10, 6, 10]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.3;
const y = x * x - 2 * x + 1;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$f(x)=x^2 - 2x + 1$$,
at: 18,
offset: [1, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.3;
const y = x * x - 2 * x + 1;
// 180° rotation: (x,y) → (-x,-y)
const xRotated = -x;
const yRotated = -y;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
labels: [
{
text: <>nach $$180^\circ$$ Drehung,
at: 8,
offset: [-0.5, -0.5, 0],
},
],
},
]}
/>
3. Wir wählen zwei Punkte auf der Geraden und drehen sie um $$270^\circ$$:
```math
(x, y) \rightarrow (y, -x)
```
```math
(0, -2) \rightarrow (-2, 0)
```
```math
(1, 1) \rightarrow (1, -1)
```
```math
m = \frac{-1 - 0}{1 - (-2)} = \frac{-1}{3}
```
```math
y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}
```
Die gedrehte Gerade hat damit die Gleichung $$y = -\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$$.
Drehung der Geraden $$y = 3x - 2$$}
description={<>Drehung um $$270^\circ$$ um den Ursprung.}
cameraPosition={[8, 6, 8]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5) * 0.8;
const y = 3 * x - 2;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#059669",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$y=3x - 2$$,
at: 6,
offset: [2, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5) * 0.8;
const y = 3 * x - 2;
// 270° rotation: (x,y) → (y,-x)
const xRotated = y;
const yRotated = -x;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$y=-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}$$,
at: 5,
offset: [-0.5, 1.5, 0],
},
],
},
]}
/>
4. Wir setzen den Winkel $$60^\circ$$ in die Drehformel für einen beliebigen Mittelpunkt ein:
Die neuen Koordinaten lauten $$(\frac{3}{2} - 2\sqrt{3}, 3 + \frac{\sqrt{3}}{2})$$.
Drehung von $$(2, 5)$$ um $$(1, 1)$$}
description={<>Drehung um $$60^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn.}
cameraPosition={[8, 6, 8]}
data={[
{
points: [
{ x: 1, y: 1, z: 0 },
{ x: 2, y: 5, z: 0 }
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$(2, 5)$$,
at: 1,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: <>Drehzentrum $$(1,1)$$,
at: 0,
offset: [0.3, -0.3, 0],
},
],
cone: { position: "end", size: 0.3 }
},
{
points: [
{ x: 1, y: 1, z: 0 },
{ x: 1.5 - 2 * Math.sqrt(3), y: 3 + Math.sqrt(3) / 2, z: 0 }
],
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [
{
text: "gedrehter Punkt",
at: 1,
offset: [-0.5, 0.3, 0],
},
],
cone: { position: "end", size: 0.3 }
},
]}
/>
5. Nach der Drehung der Funktion $$y = \sqrt{x}$$ um $$90^\circ$$ gilt:
```math
x = -\sqrt{y}
```
```math
y = x^2 \text{für} x \leq 0
```
Die gedrehte Kurve ist die linke Hälfte einer nach oben geöffneten Parabel. Ihr Definitionsbereich ist $$x \leq 0$$, ihr Wertebereich $$y \geq 0$$. Sie entspricht der Spiegelung der rechten Hälfte von $$y = x^2$$ an der $$y$$-Achse.
Drehung der Funktion $$y = \sqrt{x}$$}
description={<>Drehung um $$90^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.}
cameraPosition={[8, 6, 8]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.25;
const y = Math.sqrt(x);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#65a30d",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$y=\sqrt{x}$$,
at: 15,
offset: [0.5, 0.3, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.25;
const y = Math.sqrt(x);
// 90° rotation: (x,y) → (-y,x)
const xRotated = -y;
const yRotated = x;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
labels: [
{
text: $$y=x^2 (x \le 0)$$,
at: 15,
offset: [-0.8, 0.3, 0],
},
],
},
]}
/>
Visible text: 1. Mit der -Rotationsformel:
Der gedrehte Punkt lautet damit .
Drehung des Punktes }
description={<>Drehung um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.}
cameraPosition={[8, 6, 8]}
data={[
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 3, y: 4, z: 0 }
],
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 1,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
],
cone: { position: "end", size: 0.3 }
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -4, y: 3, z: 0 }
],
color: "#ea580c",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 1,
offset: [-0.5, 0.3, 0],
},
],
cone: { position: "end", size: 0.3 }
},
]}
/>
2. Der ursprüngliche Scheitelpunkt wird um gedreht:
Der neue Scheitelpunkt liegt bei .
Drehung der Funktion }
description={<>Drehung um um den Ursprung.}
cameraPosition={[10, 6, 10]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.3;
const y = x * x - 2 * x + 1;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 18,
offset: [1, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.3;
const y = x * x - 2 * x + 1;
// 180° rotation: (x,y) → (-x,-y)
const xRotated = -x;
const yRotated = -y;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
showPoints: false,
labels: [
{
text: <>nach Drehung,
at: 8,
offset: [-0.5, -0.5, 0],
},
],
},
]}
/>
3. Wir wählen zwei Punkte auf der Geraden und drehen sie um :
Die gedrehte Gerade hat damit die Gleichung .
Drehung der Geraden }
description={<>Drehung um um den Ursprung.}
cameraPosition={[8, 6, 8]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5) * 0.8;
const y = 3 * x - 2;
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#059669",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 6,
offset: [2, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5) * 0.8;
const y = 3 * x - 2;
// 270° rotation: (x,y) → (y,-x)
const xRotated = y;
const yRotated = -x;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 5,
offset: [-0.5, 1.5, 0],
},
],
},
]}
/>
4. Wir setzen den Winkel in die Drehformel für einen beliebigen Mittelpunkt ein:
Die neuen Koordinaten lauten .
Drehung von um }
description={<>Drehung um gegen den Uhrzeigersinn.}
cameraPosition={[8, 6, 8]}
data={[
{
points: [
{ x: 1, y: 1, z: 0 },
{ x: 2, y: 5, z: 0 }
],
color: "#0891b2",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 1,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{
text: <>Drehzentrum ,
at: 0,
offset: [0.3, -0.3, 0],
},
],
cone: { position: "end", size: 0.3 }
},
{
points: [
{ x: 1, y: 1, z: 0 },
{ x: 1.5 - 2 * Math.sqrt(3), y: 3 + Math.sqrt(3) / 2, z: 0 }
],
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [
{
text: "gedrehter Punkt",
at: 1,
offset: [-0.5, 0.3, 0],
},
],
cone: { position: "end", size: 0.3 }
},
]}
/>
5. Nach der Drehung der Funktion um gilt:
Die gedrehte Kurve ist die linke Hälfte einer nach oben geöffneten Parabel. Ihr Definitionsbereich ist , ihr Wertebereich . Sie entspricht der Spiegelung der rechten Hälfte von an der -Achse.
Drehung der Funktion }
description={<>Drehung um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.}
cameraPosition={[8, 6, 8]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.25;
const y = Math.sqrt(x);
return { x, y, z: 0 };
}),
color: "#65a30d",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 15,
offset: [0.5, 0.3, 0],
},
],
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.25;
const y = Math.sqrt(x);
// 90° rotation: (x,y) → (-y,x)
const xRotated = -y;
const yRotated = x;
return { x: xRotated, y: yRotated, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
showPoints: false,
labels: [
{
text: ,
at: 15,
offset: [-0.8, 0.3, 0],
},
],
},
]}
/>