# Vertikale Spiegelung > For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`. URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionstransformationen/spiegelung-an-der-x-achse Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-transformation/vertical-reflection/de.mdx Verstehe anhand von Graphen und Beispielen, wie eine Spiegelung an der x-Achse die y-Koordinaten einer Funktion verändert. --- ## Grundidee der vertikalen Spiegelung Bei einer vertikalen Spiegelung wird ein Funktionsgraph an der $$x$$-Achse gespiegelt. Das ähnelt dem Spiegelbild eines Gegenstands auf einer ruhigen Wasseroberfläche: Die Form bleibt erhalten, aber oben und unten tauschen ihre Plätze. Visible text: Bei einer vertikalen Spiegelung wird ein Funktionsgraph an der -Achse gespiegelt. Das ähnelt dem Spiegelbild eines Gegenstands auf einer ruhigen Wasseroberfläche: Die Form bleibt erhalten, aber oben und unten tauschen ihre Plätze. Für eine Funktion $$f(x)$$ entsteht die neue Funktion $$g(x) = -f(x)$$. Das Minuszeichen vor der Funktion bewirkt die Spiegelung an der $$x$$-Achse. Visible text: Für eine Funktion entsteht die neue Funktion . Das Minuszeichen vor der Funktion bewirkt die Spiegelung an der -Achse. ### Spiegelungsregel Für jede Funktion $$f(x)$$ gilt: Visible text: Für jede Funktion gilt: ```math g(x) = -f(x) ``` Jeder Punkt $$(x, y)$$ des ursprünglichen Graphen wird also zum Punkt $$(x, -y)$$. Die horizontale Position bleibt gleich, nur die Höhe wechselt das Vorzeichen. Visible text: Jeder Punkt des ursprünglichen Graphen wird also zum Punkt . Die horizontale Position bleibt gleich, nur die Höhe wechselt das Vorzeichen. ## Die Spiegelung im Graphen Betrachten wir zuerst die quadratische Funktion $$f(x) = x^2$$. Visible text: Betrachten wir zuerst die quadratische Funktion . Component: LineEquation Props: - title: Spiegelung der quadratischen Funktion $$f(x) = x^2$$ Visible text: Spiegelung der quadratischen Funktion - description: Der zweite Graph ist das Spiegelbild des ersten an der $$x$$-Achse. Visible text: Der zweite Graph ist das Spiegelbild des ersten an der -Achse. - showZAxis: false - data: [ { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: x * x, z: 0 }; }), color: "#9333ea", labels: [{ text: $$f(x)=x^2$$, offset: [0.5, 1, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: -(x * x), z: 0 }; }), color: "#ea580c", labels: [{ text: $$g(x)=-x^2$$, offset: [0.5, -1, 0] }], showPoints: false, }, ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: x * x, z: 0 }; }), color: "#9333ea", labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: -(x * x), z: 0 }; }), color: "#ea580c", labels: [{ text: , offset: [0.5, -1, 0] }], showPoints: false, }, ] Am Graphen lässt sich direkt ablesen: - Die ursprüngliche Funktion $$f(x) = x^2$$ öffnet sich nach oben mit dem Scheitelpunkt bei $$(0, 0)$$ - Die reflektierte Funktion $$g(x) = -x^2$$ öffnet sich nach unten, wobei der Scheitelpunkt immer noch bei $$(0, 0)$$ liegt - Die beiden Graphen sind Spiegelbilder voneinander an der $$x$$-Achse Visible text: - Die ursprüngliche Funktion öffnet sich nach oben mit dem Scheitelpunkt bei - Die reflektierte Funktion öffnet sich nach unten, wobei der Scheitelpunkt immer noch bei liegt - Die beiden Graphen sind Spiegelbilder voneinander an der -Achse ## Spiegelung einer linearen Funktion Nun wenden wir dieselbe Regel auf die lineare Funktion $$f(x) = 2x + 3$$ an. Visible text: Nun wenden wir dieselbe Regel auf die lineare Funktion an. Component: LineEquation Props: - title: Spiegelung der linearen Funktion $$f(x) = 2x + 3$$ Visible text: Spiegelung der linearen Funktion - description: Die gespiegelte Gerade hat die entgegengesetzte Steigung und den entgegengesetzten $$y$$-Achsenabschnitt. Visible text: Die gespiegelte Gerade hat die entgegengesetzte Steigung und den entgegengesetzten -Achsenabschnitt. - showZAxis: false - cameraPosition: [12, 6, 12] - data: [ { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = (i - 10) * 0.5; return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 }; }), color: "#7c3aed", labels: [{ text: $$f(x)=2x+3$$, offset: [1, 0.5, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = (i - 10) * 0.5; return { x, y: -(2 * x + 3), z: 0 }; }), color: "#d97706", labels: [{ text: $$g(x)=-(2x+3)=-2x-3$$, offset: [1, -0.5, 0] }], showPoints: false, }, ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = (i - 10) * 0.5; return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 }; }), color: "#7c3aed", labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = (i - 10) * 0.5; return { x, y: -(2 * x + 3), z: 0 }; }), color: "#d97706", labels: [{ text: , offset: [1, -0.5, 0] }], showPoints: false, }, ] Der Vergleich zeigt: - Die ursprüngliche Funktion $$f(x) = 2x + 3$$ hat eine positive Steigung und schneidet die $$y$$-Achse bei $$(0, 3)$$ - Die reflektierte Funktion $$g(x) = -2x - 3$$ hat eine negative Steigung und schneidet die $$y$$-Achse bei $$(0, -3)$$ - Beide Geraden schneiden sich auf der $$x$$-Achse Visible text: - Die ursprüngliche Funktion hat eine positive Steigung und schneidet die -Achse bei - Die reflektierte Funktion hat eine negative Steigung und schneidet die -Achse bei - Beide Geraden schneiden sich auf der -Achse ## Wichtige Eigenschaften ### Horizontale Achse als Spiegellinie Die $$x$$-Achse ist die Spiegellinie. Ein Punkt und sein Spiegelpunkt liegen gleich weit von der $$x$$-Achse entfernt. Visible text: Die -Achse ist die Spiegellinie. Ein Punkt und sein Spiegelpunkt liegen gleich weit von der -Achse entfernt. ### Wirkung auf Koordinatenpunkte Liegt $$(a, b)$$ auf dem Graphen von $$f(x)$$, dann liegt auf dem Graphen von $$-f(x)$$ der Punkt $$(a, -b)$$. Visible text: Liegt auf dem Graphen von , dann liegt auf dem Graphen von der Punkt . ### Definitionsbereich und Wertebereich - **Definitionsbereich**: Bleibt unverändert - **Wertebereich**: Alle Vorzeichen der Funktionswerte kehren sich um Hat die ursprüngliche Funktion den Wertebereich $$[c, d]$$, so besitzt die vertikal gespiegelte Funktion den Wertebereich $$[-d, -c]$$. Visible text: Hat die ursprüngliche Funktion den Wertebereich , so besitzt die vertikal gespiegelte Funktion den Wertebereich . ## Weitere Beispiele ### Beispiel für eine Exponentialfunktion Bei der Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$ liegt der gespiegelte Graph vollständig unterhalb der horizontalen Achse. Visible text: Bei der Exponentialfunktion liegt der gespiegelte Graph vollständig unterhalb der horizontalen Achse. Component: LineEquation Props: - title: Spiegelung der Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$ Visible text: Spiegelung der Exponentialfunktion - description: Der gespiegelte Graph fällt und nähert sich derselben horizontalen Asymptote $$y = 0$$ von unten. Visible text: Der gespiegelte Graph fällt und nähert sich derselben horizontalen Asymptote von unten. - showZAxis: false - cameraPosition: [8, 6, 8] - data: [ { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = (i - 15) * 0.3; return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 }; }), color: "#4f46e5", labels: [{ text: $$f(x)=2^x$$, offset: [0.5, 1, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = (i - 15) * 0.3; return { x, y: -Math.pow(2, x), z: 0 }; }), color: "#059669", labels: [{ text: $$g(x)=-2^x$$, offset: [0.5, -1, 0] }], showPoints: false, }, ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = (i - 15) * 0.3; return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 }; }), color: "#4f46e5", labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = (i - 15) * 0.3; return { x, y: -Math.pow(2, x), z: 0 }; }), color: "#059669", labels: [{ text: , offset: [0.5, -1, 0] }], showPoints: false, }, ] Für Exponentialfunktionen: - Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei $$y = 0$$ (da die $$x$$-Achse sich selbst spiegelt) - Der $$y$$-Achsenabschnitt ändert sich von $$(0, 1)$$ auf $$(0, -1)$$ - Die ursprünglich steigende Funktion wird abnehmend Visible text: - Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei (da die -Achse sich selbst spiegelt) - Der -Achsenabschnitt ändert sich von auf - Die ursprünglich steigende Funktion wird abnehmend ## Spiegelung einer trigonometrischen Funktion Bei der $$\sin$$-Funktion vertauscht die Spiegelung Hochpunkte und Tiefpunkte. Visible text: Bei der -Funktion vertauscht die Spiegelung Hochpunkte und Tiefpunkte. Component: LineEquation Props: - title: Spiegelung der Sinusfunktion $$f(x) = \sin(x)$$ Visible text: Spiegelung der Sinusfunktion - description: Die gespiegelte $$\sin$$-Welle verläuft mit entgegengesetztem Vorzeichen. Visible text: Die gespiegelte -Welle verläuft mit entgegengesetztem Vorzeichen. - showZAxis: false - cameraPosition: [0, 0, 12] - data: [ { points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => { const x = (i - 30) * 0.2; return { x, y: Math.sin(x), z: 0 }; }), color: "#0891b2", labels: [{ text: $$f(x)=\sin(x)$$, offset: [1, 1.5, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => { const x = (i - 30) * 0.2; return { x, y: -Math.sin(x), z: 0 }; }), color: "#e11d48", labels: [{ text: $$g(x)=-\sin(x)$$, offset: [1, -1.5, 0] }], showPoints: false, }, ] Visible text: [ { points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => { const x = (i - 30) * 0.2; return { x, y: Math.sin(x), z: 0 }; }), color: "#0891b2", labels: [{ text: , offset: [1, 1.5, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => { const x = (i - 30) * 0.2; return { x, y: -Math.sin(x), z: 0 }; }), color: "#e11d48", labels: [{ text: , offset: [1, -1.5, 0] }], showPoints: false, }, ] Der Graph zeigt: - Die Amplitude bleibt gleich, aber die Wellenrichtung ist umgekehrt - Periode und Frequenz ändern sich nicht - Maximale Punkte werden zu minimalen Punkten und umgekehrt ## Übungen 1. Spiegle die Funktion $$f(x) = x^2 + 4x + 3$$ vertikal und bestimme die neue Funktionsgleichung. 2. Der Graph der Funktion $$g(x) = 3^x + 2$$ wird an der $$x$$-Achse gespiegelt. Bestimme: - Die Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion - Den Wertebereich nach der Spiegelung 3. Spiegle die Funktion $$h(x) = \sqrt{x + 1}$$ vertikal und bestimme den $$y$$-Achsenabschnitt des neuen Graphen. Visible text: 1. Spiegle die Funktion vertikal und bestimme die neue Funktionsgleichung. 2. Der Graph der Funktion wird an der -Achse gespiegelt. Bestimme: - Die Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion - Den Wertebereich nach der Spiegelung 3. Spiegle die Funktion vertikal und bestimme den -Achsenabschnitt des neuen Graphen. ### Lösungen 1. Vertikale Reflexion: Funktion $$f(x) = x^2 + 4x + 3$$ und ihr Spiegelbild} description={<>Die nach oben geöffnete Parabel wird an der $$x$$-Achse gespiegelt und öffnet sich danach nach unten.} showZAxis={false} data={[ { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: x * x + 4 * x + 3, z: 0 }; }), color: "#9333ea", labels: [{ text: $$f(x)=x^2+4x+3$$, offset: [1, 1, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: -(x * x + 4 * x + 3), z: 0 }; }), color: "#ea580c", labels: [{ text: , offset: [1, -1, 0] }], showPoints: false, }, ]} /> 2. Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion: - Vertikale Reflexion: - Wertebereich nach der Spiegelung: Aus dem ursprünglichen Wertebereich von $$g(x) = 3^x + 2$$, also $$(2, \infty)$$, wird $$(-\infty, -2)$$ Im Graphen: Funktion $$g(x) = 3^x + 2$$ und ihr Spiegelbild} description="Der wachsende Exponentialgraph wird zu einem fallenden Graphen mit der gespiegelten horizontalen Asymptote." showZAxis={false} cameraPosition={[8, 6, 8]} data={[ { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = (i - 15) * 0.2; return { x, y: Math.pow(3, x) + 2, z: 0 }; }), color: "#7c3aed", labels: [{ text: $$g(x)=3^x+2$$, offset: [0.5, 1, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = (i - 15) * 0.2; return { x, y: -(Math.pow(3, x) + 2), z: 0 }; }), color: "#0d9488", labels: [{ text: , offset: [0.5, -1, 0] }], showPoints: false, }, ]} /> 3. Die ursprüngliche Funktion $$h(x) = \sqrt{x + 1}$$ hat einen $$y$$-Achsenabschnitt bei $$(0, 1)$$, weil $$h(0) = \sqrt{0 + 1} = 1$$. Nach vertikaler Spiegelung: , der $$y$$-Achsenabschnitt wird zu $$(0, -1)$$. Funktion $$h(x) = \sqrt{x + 1}$$ und ihr Spiegelbild} description={<>Die Quadratwurzelkurve wird an der $$x$$-Achse gespiegelt und verläuft danach unterhalb der Achse.} showZAxis={false} data={[ { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = -1 + i * 0.25; return { x, y: Math.sqrt(x + 1), z: 0 }; }), color: "#4f46e5", labels: [{ text: $$h(x)=\sqrt{x+1}$$, offset: [1, 0.5, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = -1 + i * 0.25; return { x, y: -Math.sqrt(x + 1), z: 0 }; }), color: "#059669", labels: [{ text: , offset: [1, -0.5, 0] }], showPoints: false, }, ]} /> Visible text: 1. Vertikale Reflexion: Funktion und ihr Spiegelbild} description={<>Die nach oben geöffnete Parabel wird an der -Achse gespiegelt und öffnet sich danach nach unten.} showZAxis={false} data={[ { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: x * x + 4 * x + 3, z: 0 }; }), color: "#9333ea", labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => { const x = (i - 20) * 0.25; return { x, y: -(x * x + 4 * x + 3), z: 0 }; }), color: "#ea580c", labels: [{ text: , offset: [1, -1, 0] }], showPoints: false, }, ]} /> 2. Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion: - Vertikale Reflexion: - Wertebereich nach der Spiegelung: Aus dem ursprünglichen Wertebereich von , also , wird Im Graphen: Funktion und ihr Spiegelbild} description="Der wachsende Exponentialgraph wird zu einem fallenden Graphen mit der gespiegelten horizontalen Asymptote." showZAxis={false} cameraPosition={[8, 6, 8]} data={[ { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = (i - 15) * 0.2; return { x, y: Math.pow(3, x) + 2, z: 0 }; }), color: "#7c3aed", labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => { const x = (i - 15) * 0.2; return { x, y: -(Math.pow(3, x) + 2), z: 0 }; }), color: "#0d9488", labels: [{ text: , offset: [0.5, -1, 0] }], showPoints: false, }, ]} /> 3. Die ursprüngliche Funktion hat einen -Achsenabschnitt bei , weil . Nach vertikaler Spiegelung: , der -Achsenabschnitt wird zu . Funktion und ihr Spiegelbild} description={<>Die Quadratwurzelkurve wird an der -Achse gespiegelt und verläuft danach unterhalb der Achse.} showZAxis={false} data={[ { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = -1 + i * 0.25; return { x, y: Math.sqrt(x + 1), z: 0 }; }), color: "#4f46e5", labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }], showPoints: false, }, { points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => { const x = -1 + i * 0.25; return { x, y: -Math.sqrt(x + 1), z: 0 }; }), color: "#059669", labels: [{ text: , offset: [1, -0.5, 0] }], showPoints: false, }, ]} />