# Horizontale Spiegelung

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/funktionstransformationen/spiegelung-an-der-y-achse
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-transformation/horizontal-reflection/de.mdx

Verstehe anhand von Graphen und Beispielen, wie eine Spiegelung an der y-Achse die x-Koordinaten einer Funktion verändert.

---

## Grundidee der horizontalen Spiegelung

Bei einer horizontalen Spiegelung wird ein Funktionsgraph an der $$y$$-Achse gespiegelt. Ein Punkt rechts von der Achse erscheint danach im gleichen Abstand links von ihr, so wie ein Gegenstand in einem senkrechten Spiegel.

Visible text: Bei einer horizontalen Spiegelung wird ein Funktionsgraph an der -Achse gespiegelt. Ein Punkt rechts von der Achse erscheint danach im gleichen Abstand links von ihr, so wie ein Gegenstand in einem senkrechten Spiegel.

Für eine Funktion $$f(x)$$ entsteht dabei die neue Funktion $$g(x) = f(-x)$$. Das Minuszeichen im Argument bewirkt die Spiegelung an der $$y$$-Achse.

Visible text: Für eine Funktion entsteht dabei die neue Funktion . Das Minuszeichen im Argument bewirkt die Spiegelung an der -Achse.

### Spiegelungsregel

Für jede Funktion $$f(x)$$ gilt:

Visible text: Für jede Funktion gilt:

```math
g(x) = f(-x)
```

Jeder Punkt $$(x, y)$$ des ursprünglichen Graphen wird also zum Punkt $$(-x, y)$$. Die Höhe bleibt gleich, nur die horizontale Position wechselt die Seite.

Visible text: Jeder Punkt des ursprünglichen Graphen wird also zum Punkt . Die Höhe bleibt gleich, nur die horizontale Position wechselt die Seite.

## Die Spiegelung im Graphen

Betrachten wir zuerst die quadratische Funktion $$f(x) = (x - 2)^2$$.

Visible text: Betrachten wir zuerst die quadratische Funktion .

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelung der quadratischen Funktion $$f(x) = (x - 2)^2$$
  Visible text: Spiegelung der quadratischen Funktion
- description: Der zweite Graph ist das Spiegelbild des ersten an der $$y$$-Achse.
  Visible text: Der zweite Graph ist das Spiegelbild des ersten an der -Achse.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [12, 8, 12]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (x - 2) * (x - 2), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$f(x)=(x-2)^2$$, offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: ((-x) - 2) * ((-x) - 2), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: $$g(x)=(-x-2)^2$$, offset: [-1, -1, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: (x - 2) * (x - 2), z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: ((-x) - 2) * ((-x) - 2), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: , offset: [-1, -1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Am Graphen lässt sich direkt ablesen:

- Die ursprüngliche Funktion $$f(x) = (x - 2)^2$$ hat ihren Scheitelpunkt bei $$(2, 0)$$
- Die reflektierte Funktion $$g(x) = (-x - 2)^2$$ hat ihren Scheitelpunkt bei $$(-2, 0)$$
- Die beiden Graphen sind Spiegelbilder voneinander an der $$y$$-Achse

Visible text: - Die ursprüngliche Funktion hat ihren Scheitelpunkt bei 
- Die reflektierte Funktion hat ihren Scheitelpunkt bei 
- Die beiden Graphen sind Spiegelbilder voneinander an der -Achse

## Spiegelung einer linearen Funktion

Nun wenden wir dieselbe Regel auf die lineare Funktion $$f(x) = 2x + 3$$ an.

Visible text: Nun wenden wir dieselbe Regel auf die lineare Funktion an.

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelung der linearen Funktion $$f(x) = 2x + 3$$
  Visible text: Spiegelung der linearen Funktion
- description: Die gespiegelte Gerade hat die entgegengesetzte Steigung, aber denselben $$y$$-Achsenabschnitt.
  Visible text: Die gespiegelte Gerade hat die entgegengesetzte Steigung, aber denselben -Achsenabschnitt.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: $$f(x)=2x+3$$, offset: [2.5, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * (-x) + 3, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
labels: [{ text: $$g(x)=-2x+3$$, offset: [-2.5, -0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: , offset: [2.5, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * (-x) + 3, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
labels: [{ text: , offset: [-2.5, -0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Der Vergleich zeigt:

- Die ursprüngliche Funktion $$f(x) = 2x + 3$$ hat eine positive Steigung von $$2$$
- Die gespiegelte Funktion $$g(x) = -2x + 3$$ hat die Steigung $$-2$$
- Beide Geraden schneiden die $$y$$-Achse im selben Punkt $$(0, 3)$$

Visible text: - Die ursprüngliche Funktion hat eine positive Steigung von 
- Die gespiegelte Funktion hat die Steigung 
- Beide Geraden schneiden die -Achse im selben Punkt

## Wichtige Eigenschaften

### Vertikale Achse als Spiegellinie

Die $$y$$-Achse ist die Spiegellinie. Ein Punkt und sein Spiegelpunkt liegen gleich weit von der $$y$$-Achse entfernt.

Visible text: Die -Achse ist die Spiegellinie. Ein Punkt und sein Spiegelpunkt liegen gleich weit von der -Achse entfernt.

### Wirkung auf Koordinatenpunkte

Liegt $$(a, b)$$ auf dem Graphen von $$f(x)$$, dann liegt auf dem Graphen von $$f(-x)$$ der Punkt $$(-a, b)$$.

Visible text: Liegt auf dem Graphen von , dann liegt auf dem Graphen von der Punkt .

### Definitionsbereich und Wertebereich

- **Definitionsbereich**: Die Vorzeichen aller zulässigen Eingabewerte kehren sich um
- **Wertebereich**: Bleibt unverändert

Wenn der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion $$[c, d]$$ ist, dann wird der Definitionsbereich nach der horizontalen Spiegelung zu $$[-d, -c]$$.

Visible text: Wenn der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion ist, dann wird der Definitionsbereich nach der horizontalen Spiegelung zu .

## Weitere Beispiele

### Beispiel für eine Exponentialfunktion

Bei der Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$ wird aus Wachstum durch die Spiegelung ein Zerfall.

Visible text: Bei der Exponentialfunktion wird aus Wachstum durch die Spiegelung ein Zerfall.

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelung der Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$
  Visible text: Spiegelung der Exponentialfunktion
- description: Der gespiegelte Graph fällt, behält aber dieselbe horizontale Asymptote und denselben $$y$$-Achsenabschnitt.
  Visible text: Der gespiegelte Graph fällt, behält aber dieselbe horizontale Asymptote und denselben -Achsenabschnitt.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [8, 6, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$f(x)=2^x$$, offset: [3, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, -x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: $$g(x)=2^{-x}$$, offset: [-3, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , offset: [3, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, -x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: , offset: [-3, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Für Exponentialfunktionen:

- Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei $$y = 0$$
- Der $$y$$-Achsenabschnitt bleibt bei $$(0, 1)$$ gleich
- Die ursprünglich ansteigende Funktion wird nach der Spiegelung abnehmend

Visible text: - Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei 
- Der -Achsenabschnitt bleibt bei gleich
- Die ursprünglich ansteigende Funktion wird nach der Spiegelung abnehmend

## Spiegelung einer Quadratwurzelfunktion

Bei einer Quadratwurzelfunktion wechselt der gesamte Graph von der rechten auf die linke Seite der senkrechten Achse.

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelung der Quadratwurzelfunktion $$f(x) = \sqrt{x}$$
  Visible text: Spiegelung der Quadratwurzelfunktion
- description: Der gespiegelte Graph verläuft vom Ursprung aus nach links, während seine Höhen unverändert bleiben.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.25;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
labels: [{ text: $$f(x)=\sqrt{x}$$, offset: [1, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -i * 0.25;
if (x <= 0) {
return { x, y: Math.sqrt(-x), z: 0 };
}
return null;
}).filter(Boolean),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$g(x)=\sqrt{-x}$$, offset: [-1, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.25;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
labels: [{ text: , offset: [1, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = -i * 0.25;
if (x <= 0) {
return { x, y: Math.sqrt(-x), z: 0 };
}
return null;
}).filter(Boolean),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , offset: [-1, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Der Graph bestätigt:

- Der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion $$f(x) = \sqrt{x}$$ ist $$[0, \infty)$$
- Der Definitionsbereich der reflektierten Funktion $$g(x) = \sqrt{-x}$$ ist $$(-\infty, 0]$$
- Beide Kurven treffen sich im Ursprung $$(0, 0)$$

Visible text: - Der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion ist 
- Der Definitionsbereich der reflektierten Funktion ist 
- Beide Kurven treffen sich im Ursprung

## Übungen

1. Spiegle die Funktion $$f(x) = x^2 + 3x + 2$$ horizontal und bestimme die neue Funktionsgleichung.

2. Der Graph der Funktion $$g(x) = 3^x + 1$$ wird an der $$y$$-Achse gespiegelt. Bestimme:
   - Die Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion
   - Den Definitionsbereich nach der Spiegelung

3. Spiegle die Funktion $$h(x) = |x + 2|$$ horizontal und bestimme den Scheitelpunkt des neuen Graphen.

Visible text: 1. Spiegle die Funktion horizontal und bestimme die neue Funktionsgleichung.

2. Der Graph der Funktion wird an der -Achse gespiegelt. Bestimme:
 - Die Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion
 - Den Definitionsbereich nach der Spiegelung

3. Spiegle die Funktion horizontal und bestimme den Scheitelpunkt des neuen Graphen.

### Lösungen

1. Horizontale Reflexion: <InlineMath math="f'(x) = f(-x) = (-x)^2 + 3(-x) + 2 = x^2 - 3x + 2" />

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$f(x) = x^2 + 3x + 2$$ und ihr Spiegelbild</>}
     description={<>Die Spiegelung an der $$y$$-Achse vertauscht die Vorzeichen der x-Koordinaten und verschiebt den Scheitelpunkt auf die andere Seite.</>}
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[12, 8, 12]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x + 3 * x + 2, z: 0 };
         }),
         color: "#9333ea",
         labels: [{ text: $$f(x)=x^2+3x+2$$, offset: [1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x - 3 * x + 2, z: 0 };
         }),
         color: "#ea580c",
         labels: [{ text: <InlineMath math="f'(x)=x^2-3x+2" />, offset: [1, -1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

2. Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion:

   - Horizontale Reflexion: <InlineMath math="g'(x) = g(-x) = 3^{-x} + 1" />
   - Definitionsbereich nach der Spiegelung: Bleibt $$(-\infty, \infty)$$, weil Exponentialfunktionen für alle reellen Zahlen definiert sind

   Im Graphen:

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$g(x) = 3^x + 1$$ und ihr Spiegelbild</>}
     description="Der wachsende Exponentialgraph wird zu einem fallenden Graphen mit derselben horizontalen Asymptote."
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[8, 6, 8]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
           const x = (i - 15) * 0.2;
           return { x, y: Math.pow(3, x) + 1, z: 0 };
         }),
         color: "#7c3aed",
         labels: [{ text: $$g(x)=3^x+1$$, offset: [3, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
           const x = (i - 15) * 0.2;
           return { x, y: Math.pow(3, -x) + 1, z: 0 };
         }),
         color: "#0d9488",
         labels: [{ text: <InlineMath math="g'(x)=3^{-x}+1" />, offset: [-3, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

3. Die ursprüngliche Funktion $$h(x) = |x + 2|$$ hat ihren Scheitelpunkt bei $$(-2, 0)$$.
   Nach horizontaler Spiegelung: <InlineMath math="h'(x) = |-x + 2| = |-(x - 2)| = |x - 2|" />, der Scheitelpunkt wird $$(2, 0)$$.

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$h(x) = |x + 2|$$ und ihr Spiegelbild</>}
     description={<>Die Spiegelung an der $$y$$-Achse verschiebt den Scheitelpunkt auf die gegenüberliegende Seite.</>}
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[10, 6, 10]}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: Math.abs(x + 2), z: 0 };
         }),
         color: "#4f46e5",
         labels: [{ text: $$h(x)=|x+2|$$, offset: [-1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: Math.abs(-x + 2), z: 0 };
         }),
         color: "#059669",
         labels: [{ text: <InlineMath math="h'(x)=|-x+2|" />, offset: [1, -1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

Visible text: 1. Horizontale Reflexion: 

 <LineEquation
 title={<>Funktion und ihr Spiegelbild</>}
 description={<>Die Spiegelung an der -Achse vertauscht die Vorzeichen der x-Koordinaten und verschiebt den Scheitelpunkt auf die andere Seite.</>}
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[12, 8, 12]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x + 3 * x + 2, z: 0 };
 }),
 color: "#9333ea",
 labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x - 3 * x + 2, z: 0 };
 }),
 color: "#ea580c",
 labels: [{ text: , offset: [1, -1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

2. Gleichung der resultierenden reflektierten Funktion:

 - Horizontale Reflexion: 
 - Definitionsbereich nach der Spiegelung: Bleibt , weil Exponentialfunktionen für alle reellen Zahlen definiert sind

 Im Graphen:

 <LineEquation
 title={<>Funktion und ihr Spiegelbild</>}
 description="Der wachsende Exponentialgraph wird zu einem fallenden Graphen mit derselben horizontalen Asymptote."
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[8, 6, 8]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
 const x = (i - 15) * 0.2;
 return { x, y: Math.pow(3, x) + 1, z: 0 };
 }),
 color: "#7c3aed",
 labels: [{ text: , offset: [3, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
 const x = (i - 15) * 0.2;
 return { x, y: Math.pow(3, -x) + 1, z: 0 };
 }),
 color: "#0d9488",
 labels: [{ text: , offset: [-3, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

3. Die ursprüngliche Funktion hat ihren Scheitelpunkt bei .
 Nach horizontaler Spiegelung: , der Scheitelpunkt wird .

 <LineEquation
 title={<>Funktion und ihr Spiegelbild</>}
 description={<>Die Spiegelung an der -Achse verschiebt den Scheitelpunkt auf die gegenüberliegende Seite.</>}
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[10, 6, 10]}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: Math.abs(x + 2), z: 0 };
 }),
 color: "#4f46e5",
 labels: [{ text: , offset: [-1, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: Math.abs(-x + 2), z: 0 };
 }),
 color: "#059669",
 labels: [{ text: , offset: [1, -1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />