# Vertikale Streckung und Stauchung
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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/function-transformation/vertical-dilation/de.mdx
Verstehe anhand von Graphen und Beispielen, wie ein Skalierungsfaktor die Funktionswerte vertikal streckt, staucht oder spiegelt.
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## Grundidee der vertikalen Skalierung
Eine vertikale Skalierung verändert die Höhe eines Funktionsgraphen. Man kann sich den Graphen wie ein Gummiband vorstellen, das nach oben und unten auseinandergezogen oder zur $$x$$-Achse hin zusammengedrückt wird. Seine Breite bleibt dabei unverändert.
Visible text: Eine vertikale Skalierung verändert die Höhe eines Funktionsgraphen. Man kann sich den Graphen wie ein Gummiband vorstellen, das nach oben und unten auseinandergezogen oder zur -Achse hin zusammengedrückt wird. Seine Breite bleibt dabei unverändert.
Aus einer Funktion $$f(x)$$ entsteht die neue Funktion $$g(x) = k \cdot f(x)$$. Der Skalierungsfaktor $$k \ne 0$$ multipliziert jeden Funktionswert und verändert dadurch die vertikalen Abstände.
Visible text: Aus einer Funktion entsteht die neue Funktion . Der Skalierungsfaktor multipliziert jeden Funktionswert und verändert dadurch die vertikalen Abstände.
### Skalierungsregel
Für jede Funktion $$f(x)$$ und jeden von null verschiedenen Skalierungsfaktor $$k$$ gilt:
Visible text: Für jede Funktion und jeden von null verschiedenen Skalierungsfaktor gilt:
```math
g(x) = k \cdot f(x)
```
Der Faktor $$k$$ bestimmt die Wirkung:
Visible text: Der Faktor bestimmt die Wirkung:
- Bei $$k > 1$$ wird der Graph vertikal gestreckt
- Bei $$0 < k < 1$$ wird der Graph vertikal gestaucht
- Bei $$k = 1$$ bleibt der Graph unverändert
- Bei $$k < 0$$ kommt zur Streckung oder Stauchung eine Spiegelung hinzu
Visible text: - Bei wird der Graph vertikal gestreckt
- Bei wird der Graph vertikal gestaucht
- Bei bleibt der Graph unverändert
- Bei kommt zur Streckung oder Stauchung eine Spiegelung hinzu
Der Wert $$k = 0$$ ist ausgeschlossen, weil dann alle Funktionswerte zu $$0$$ zusammenfallen. Das wäre keine Skalierung des Graphen.
Visible text: Der Wert ist ausgeschlossen, weil dann alle Funktionswerte zu zusammenfallen. Das wäre keine Skalierung des Graphen.
## Vergleich am Graphen
Die quadratische Funktion $$f(x) = x^2$$ zeigt besonders deutlich, wie verschiedene Faktoren den Abstand zur $$x$$-Achse verändern.
Visible text: Die quadratische Funktion zeigt besonders deutlich, wie verschiedene Faktoren den Abstand zur -Achse verändern.
Component: LineEquation
Props:
- title: Vertikale Skalierung der quadratischen Funktion $$f(x) = x^2$$
Visible text: Vertikale Skalierung der quadratischen Funktion
- description: Achte darauf, wie die unterschiedlichen Skalierungsfaktoren den Graphen vertikal strecken oder stauchen.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [12, 8, 12]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$f(x)=x^2$$, offset: [3.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: 2 * x * x, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: $$g(x)=2x^2$$, offset: [3.5, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: 0.5 * x * x, z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$h(x)=0{,}5x^2$$, offset: [3.5, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , offset: [3.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: 2 * x * x, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: , offset: [3.5, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: 0.5 * x * x, z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , offset: [3.5, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Der Graph zeigt:
- Die ursprüngliche Funktion $$f(x) = x^2$$ dient als Vergleich
- Die Funktion $$g(x) = 2x^2$$ wird durch den Faktor $$2$$ vertikal gestreckt
- Die Funktion $$h(x) = 0{,}5x^2$$ wird durch den Faktor $$0{,}5$$ vertikal gestaucht
- Alle Graphen haben den gleichen Scheitelpunkt bei $$(0, 0)$$
Visible text: - Die ursprüngliche Funktion dient als Vergleich
- Die Funktion wird durch den Faktor vertikal gestreckt
- Die Funktion wird durch den Faktor vertikal gestaucht
- Alle Graphen haben den gleichen Scheitelpunkt bei
## Skalierung einer linearen Funktion
Nun wenden wir dieselbe Regel auf die lineare Funktion $$f(x) = x + 1$$ an.
Visible text: Nun wenden wir dieselbe Regel auf die lineare Funktion an.
Component: LineEquation
Props:
- title: Vertikale Skalierung der linearen Funktion $$f(x) = x + 1$$
Visible text: Vertikale Skalierung der linearen Funktion
- description: Die Skalierung verändert sowohl die Steigung als auch den $$y$$-Achsenabschnitt.
Visible text: Die Skalierung verändert sowohl die Steigung als auch den -Achsenabschnitt.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: x + 1, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
labels: [{ text: $$f(x)=x+1$$, offset: [2, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 3 * (x + 1), z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [{ text: $$g(x)=3(x+1)$$, offset: [1, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 0.5 * (x + 1), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$h(x)=0{,}5(x+1)$$, offset: [2, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: x + 1, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
labels: [{ text: , offset: [2, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 3 * (x + 1), z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [{ text: , offset: [1, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 0.5 * (x + 1), z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , offset: [2, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Der Vergleich zeigt:
- Die ursprüngliche Funktion $$f(x) = x + 1$$ hat die Steigung $$1$$
- Funktion $$g(x) = 3(x + 1)$$ hat Steigung $$3$$ (gestreckt)
- Funktion $$h(x) = 0{,}5(x + 1)$$ hat Steigung $$0{,}5$$ (gestaucht)
- Alle Geraden schneiden immer noch die $$y$$-Achse, allerdings an unterschiedlichen Punkten
Visible text: - Die ursprüngliche Funktion hat die Steigung
- Funktion hat Steigung (gestreckt)
- Funktion hat Steigung (gestaucht)
- Alle Geraden schneiden immer noch die -Achse, allerdings an unterschiedlichen Punkten
## Wichtige Eigenschaften
### Wirkung auf Koordinatenpunkte
Liegt $$(a, b)$$ auf dem Graphen von $$f(x)$$, dann liegt auf dem Graphen von $$k \cdot f(x)$$ der Punkt $$(a, k \cdot b)$$.
Visible text: Liegt auf dem Graphen von , dann liegt auf dem Graphen von der Punkt .
### Definitionsbereich und Wertebereich
- **Definitionsbereich**: Bleibt unverändert
- **Wertebereich**: Wird entsprechend dem Skalierungsfaktor $$k$$ vertikal skaliert
Visible text: - **Definitionsbereich**: Bleibt unverändert
- **Wertebereich**: Wird entsprechend dem Skalierungsfaktor vertikal skaliert
Ist der ursprüngliche Wertebereich $$[c, d]$$, dann wird er bei einer vertikalen Skalierung mit $$k > 0$$ zu $$[k \cdot c, k \cdot d]$$.
Visible text: Ist der ursprüngliche Wertebereich , dann wird er bei einer vertikalen Skalierung mit zu .
### Achsenabschnitte
- **$$x$$-Achsenabschnitt**: Bleibt unverändert
- **$$y$$-Achsenabschnitt**: Wird mit dem Skalierungsfaktor multipliziert
Visible text: - **-Achsenabschnitt**: Bleibt unverändert
- **-Achsenabschnitt**: Wird mit dem Skalierungsfaktor multipliziert
## Weitere Beispiele
### Exponentialfunktion
Bei der Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$ verdoppelt der vertikale Faktor alle Funktionswerte.
Visible text: Bei der Exponentialfunktion verdoppelt der vertikale Faktor alle Funktionswerte.
Component: LineEquation
Props:
- title: Vertikale Skalierung der Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$
Visible text: Vertikale Skalierung der Exponentialfunktion
- description: Der Skalierungsfaktor verändert die Höhe des Exponentialgraphen.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [8, 6, 8]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$f(x)=2^x$$, offset: [2, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: 2 * Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: $$g(x)=2 \cdot 2^x$$, offset: [1, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , offset: [2, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.3;
return { x, y: 2 * Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: , offset: [1, 2, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Für Exponentialfunktionen:
- Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei $$y = 0$$
- Der $$y$$-Achsenabschnitt ändert sich von $$(0, 1)$$ auf $$(0, 2)$$
- Jeder Funktionswert verdoppelt sich, während Basis und relative Wachstumsrate gleich bleiben
Visible text: - Die horizontale Asymptote bleibt für beide Funktionen bei
- Der -Achsenabschnitt ändert sich von auf
- Jeder Funktionswert verdoppelt sich, während Basis und relative Wachstumsrate gleich bleiben
## Negativer Skalierungsfaktor
Ein negatives Vorzeichen vor der Funktion spiegelt den Graphen zusätzlich an der $$x$$-Achse.
Visible text: Ein negatives Vorzeichen vor der Funktion spiegelt den Graphen zusätzlich an der -Achse.
Component: LineEquation
Props:
- title: Vertikale Skalierung mit negativem Faktor bei $$f(x) = x^2$$
Visible text: Vertikale Skalierung mit negativem Faktor bei
- description: Der Betrag des Faktors bestimmt die Skalierung, sein Minuszeichen die Spiegelung.
- showZAxis: false
- cameraPosition: [10, 6, 10]
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
labels: [{ text: $$f(x)=x^2$$, offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: -2 * x * x, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
labels: [{ text: $$g(x)=-2x^2$$, offset: [1, -2, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: -2 * x * x, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
labels: [{ text: , offset: [1, -2, 0] }],
showPoints: false,
},
]
Für einen negativen Skalierungsfaktor gilt:
- Der Graph erfährt eine Spiegelung an der $$x$$-Achse
- Gleichzeitig wird der Graph entsprechend dem Betrag des Skalierungsfaktors gestreckt oder gestaucht
- Eine Parabel, die sich nach oben öffnet, wird zu einer, die sich nach unten öffnet
Visible text: - Der Graph erfährt eine Spiegelung an der -Achse
- Gleichzeitig wird der Graph entsprechend dem Betrag des Skalierungsfaktors gestreckt oder gestaucht
- Eine Parabel, die sich nach oben öffnet, wird zu einer, die sich nach unten öffnet
## Übungen
1. Skaliere die Funktion $$f(x) = x^2 - 4x + 3$$ vertikal mit dem Faktor $$3$$ und bestimme die neue Funktionsgleichung.
2. Der Graph der Funktion $$g(x) = \sqrt{x}$$ wird vertikal mit dem Faktor $$\frac{1}{2}$$ skaliert. Bestimme:
- Die Gleichung der skalierten Funktion
- Den Wertebereich nach der Skalierung
3. Skaliere die Funktion $$h(x) = |x - 1| + 2$$ vertikal mit dem Faktor $$-1$$ und bestimme den neuen Scheitelpunkt.
Visible text: 1. Skaliere die Funktion vertikal mit dem Faktor und bestimme die neue Funktionsgleichung.
2. Der Graph der Funktion wird vertikal mit dem Faktor skaliert. Bestimme:
- Die Gleichung der skalierten Funktion
- Den Wertebereich nach der Skalierung
3. Skaliere die Funktion vertikal mit dem Faktor und bestimme den neuen Scheitelpunkt.
### Lösungen
1. Vertikale Skalierung mit Faktor $$3$$:
Funktion $$f(x) = x^2 - 4x + 3$$ und ihr Skalierungsergebnis}
description={
<>
Der Faktor{" "}
$$3$$ streckt die ursprüngliche Parabel vertikal und macht sie steiler.
}
showZAxis={false}
cameraPosition={[12, 8, 12]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x - 4 * x + 3, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$f(x)=x^2-4x+3$$, offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: 3 * (x * x - 4 * x + 3), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: , offset: [1, -3, 0] }],
showPoints: false,
},
]}
/>
2. Gleichung der skalierten Funktion:
- Vertikale Skalierung:
- Wertebereich nach der Skalierung: $$[0, \infty)$$ bleibt $$[0, \infty)$$; für jede Eingabe wird der positive Funktionswert halbiert
Im Graphen:
Funktion $$g(x) = \sqrt{x}$$ und ihr Skalierungsergebnis}
description={
<>
Der Faktor{" "}
$$0{,}5$$ staucht den Quadratwurzelgraphen vertikal und halbiert seine Funktionswerte.
}
showZAxis={false}
cameraPosition={[8, 6, 8]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.25;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: $$g(x)=\sqrt{x}$$, offset: [2, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.25;
return { x, y: 0.5 * Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [{ text: , offset: [2, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]}
/>
3. Die ursprüngliche Funktion $$h(x) = |x - 1| + 2$$ hat ihren Scheitelpunkt bei $$(1, 2)$$.
Nach vertikaler Skalierung mit dem Faktor $$-1$$: wird der Scheitelpunkt zu $$(1, -2)$$.
Funktion $$h(x) = |x - 1| + 2$$ und ihr Skalierungsergebnis}
description={<>Der Faktor $$-1$$ spiegelt den Betragsgraphen an der $$x$$-Achse, ohne seine vertikale Größe zu ändern.}
showZAxis={false}
cameraPosition={[10, 6, 10]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: Math.abs(x - 1) + 2, z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$h(x)=|x-1|+2$$, offset: [1, -1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: -(Math.abs(x - 1) + 2), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: , offset: [1, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]}
/>
Visible text: 1. Vertikale Skalierung mit Faktor :
Funktion und ihr Skalierungsergebnis}
description={
<>
Der Faktor
streckt die ursprüngliche Parabel vertikal und macht sie steiler.
}
showZAxis={false}
cameraPosition={[12, 8, 12]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x - 4 * x + 3, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: 3 * (x * x - 4 * x + 3), z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: , offset: [1, -3, 0] }],
showPoints: false,
},
]}
/>
2. Gleichung der skalierten Funktion:
- Vertikale Skalierung:
- Wertebereich nach der Skalierung: bleibt ; für jede Eingabe wird der positive Funktionswert halbiert
Im Graphen:
Funktion und ihr Skalierungsergebnis}
description={
<>
Der Faktor
staucht den Quadratwurzelgraphen vertikal und halbiert seine Funktionswerte.
}
showZAxis={false}
cameraPosition={[8, 6, 8]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.25;
return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: , offset: [2, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = i * 0.25;
return { x, y: 0.5 * Math.sqrt(x), z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [{ text: , offset: [2, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]}
/>
3. Die ursprüngliche Funktion hat ihren Scheitelpunkt bei .
Nach vertikaler Skalierung mit dem Faktor : wird der Scheitelpunkt zu .
Funktion und ihr Skalierungsergebnis}
description={<>Der Faktor spiegelt den Betragsgraphen an der -Achse, ohne seine vertikale Größe zu ändern.}
showZAxis={false}
cameraPosition={[10, 6, 10]}
data={[
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: Math.abs(x - 1) + 2, z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , offset: [1, -1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: -(Math.abs(x - 1) + 2), z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: , offset: [1, 1.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]}
/>