# Vertikale Verschiebung

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Verschiebe Funktionsgraphen nach oben oder unten und verfolge dabei Koordinaten, Asymptoten und Wertebereiche.

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## Grundlegende Konzepte der vertikalen Verschiebung

Eine vertikale Verschiebung bewegt den Graphen einer Funktion entlang der $$y$$-Achse nach oben oder unten, ohne seine Form zu verändern. Wie bei einem angehobenen Gegenstand ändert sich nur die Position.

Visible text: Eine vertikale Verschiebung bewegt den Graphen einer Funktion entlang der -Achse nach oben oder unten, ohne seine Form zu verändern. Wie bei einem angehobenen Gegenstand ändert sich nur die Position.

Aus der Funktion $$f(x)$$ entsteht die verschobene Funktion $$g(x) = f(x) + k$$. Die Zahl $$k$$ gibt Richtung und Länge der Verschiebung an.

Visible text: Aus der Funktion entsteht die verschobene Funktion . Die Zahl gibt Richtung und Länge der Verschiebung an.

### Regeln der vertikalen Verschiebung

Für jede Funktion $$f(x)$$ gilt:

Visible text: Für jede Funktion gilt:

```math
g(x) = f(x) + k
```

Dabei gilt:

- Für $$k > 0$$ verschiebt sich der Graph **nach oben**, und zwar um $$k \text{Einheiten}$$.
- Für $$k < 0$$ verschiebt sich der Graph **nach unten**, und zwar um $$|k| \text{Einheiten}$$.
- Für $$k = 0$$ bleibt der Graph unverändert.

Visible text: - Für verschiebt sich der Graph **nach oben**, und zwar um .
- Für verschiebt sich der Graph **nach unten**, und zwar um .
- Für bleibt der Graph unverändert.

## Visualisierung der vertikalen Verschiebung

Die lineare Funktion $$f(x) = 2x$$ zeigt, dass sich die Steigung bei einer vertikalen Verschiebung nicht ändert.

Visible text: Die lineare Funktion zeigt, dass sich die Steigung bei einer vertikalen Verschiebung nicht ändert.

Component: LineEquation
Props:
- title: Vertikale Verschiebung der linearen Funktion $$f(x) = 2x$$
  Visible text: Vertikale Verschiebung der linearen Funktion
- description: Die drei Geraden haben dieselbe Steigung und unterschiedliche $$y$$-Achsenabschnitte.
  Visible text: Die drei Geraden haben dieselbe Steigung und unterschiedliche -Achsenabschnitte.
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$f(x)=2x$$, offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: $$g(x)=2x+3$$, offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x - 2, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [{ text: $$h(x)=2x-2$$, offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
}),
color: "#ea580c",
labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
const x = (i - 10) * 0.5;
return { x, y: 2 * x - 2, z: 0 };
}),
color: "#0d9488",
labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Die Visualisierung zeigt:

- Die ursprüngliche Funktion $$f(x) = 2x$$ verläuft durch den Ursprung
- Die Funktion $$g(x) = 2x + 3$$ ist das Ergebnis der Verschiebung nach oben um $$3 \text{Einheiten}$$
- Die Funktion $$h(x) = 2x - 2$$ ist um $$2 \text{Einheiten}$$ nach unten verschoben.

Visible text: - Die ursprüngliche Funktion verläuft durch den Ursprung
- Die Funktion ist das Ergebnis der Verschiebung nach oben um 
- Die Funktion ist um nach unten verschoben.

## Vertikale Verschiebung quadratischer Funktionen

Wenden wir nun dasselbe Konzept auf die quadratische Funktion $$f(x) = x^2$$ an.

Visible text: Wenden wir nun dasselbe Konzept auf die quadratische Funktion an.

Component: LineEquation
Props:
- title: Vertikale Verschiebung der quadratischen Funktion $$f(x) = x^2$$
  Visible text: Vertikale Verschiebung der quadratischen Funktion
- description: Die Parabelform bleibt gleich, nur ihre vertikale Position ändert sich.
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: $$f(x)=x^2$$, offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x + 4, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
labels: [{ text: $$g(x)=x^2+4$$, offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x - 3, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
labels: [{ text: $$h(x)=x^2-3$$, offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x, z: 0 };
}),
color: "#7c3aed",
labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x + 4, z: 0 };
}),
color: "#d97706",
labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
const x = (i - 20) * 0.25;
return { x, y: x * x - 3, z: 0 };
}),
color: "#0891b2",
labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

An den Scheitelpunkten ist die Verschiebung direkt ablesbar:

- Der Scheitelpunkt der ursprünglichen Parabel $$f(x) = x^2$$ liegt bei $$(0, 0)$$
- Nach der vertikalen Verschiebung $$+4$$ liegt der Scheitelpunkt von $$g(x) = x^2 + 4$$ bei $$(0, 4)$$
- Nach der vertikalen Verschiebung $$-3$$ liegt der Scheitelpunkt von $$h(x) = x^2 - 3$$ bei $$(0, -3)$$

Visible text: - Der Scheitelpunkt der ursprünglichen Parabel liegt bei 
- Nach der vertikalen Verschiebung liegt der Scheitelpunkt von bei 
- Nach der vertikalen Verschiebung liegt der Scheitelpunkt von bei

## Wichtige Eigenschaften der vertikalen Verschiebung

### Die Graphenform bleibt unverändert

Eine vertikale Verschiebung erhält die Form des Graphen. Jeder Punkt bewegt sich um dieselbe vertikale Strecke, seine Abszisse bleibt unverändert.

### Wirkung auf Koordinatenpunkte

Liegt der Punkt $$(a, b)$$ auf dem Graphen von $$f(x)$$, liegt nach der Verschiebung um $$k$$ der Punkt $$(a, b + k)$$ auf dem Graphen von $$f(x) + k$$.

Visible text: Liegt der Punkt auf dem Graphen von , liegt nach der Verschiebung um der Punkt auf dem Graphen von .

### Definitions- und Wertebereich

- **Definitionsbereich**: Bleibt bei einer vertikalen Verschiebung unverändert.
- **Wertebereich**: Verschiebt sich um $$k \text{Einheiten}$$.

Visible text: - **Definitionsbereich**: Bleibt bei einer vertikalen Verschiebung unverändert.
- **Wertebereich**: Verschiebt sich um .

Ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion $$[c, d]$$, wird er nach der Verschiebung um $$k$$ zu $$[c + k, d + k]$$.

Visible text: Ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion , wird er nach der Verschiebung um zu .

## Anwendungsbeispiele

### Beispiel mit einer Exponentialfunktion

Nun wird die Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$ vertikal verschoben.

Visible text: Nun wird die Exponentialfunktion vertikal verschoben.

Component: LineEquation
Props:
- title: Vertikale Verschiebung der Exponentialfunktion $$f(x) = 2^x$$
  Visible text: Vertikale Verschiebung der Exponentialfunktion
- description: Die Exponentialkurve behält ihre Eigenschaften nach der vertikalen Verschiebung bei.
- showZAxis: false
- data: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.2;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$f(x)=2^x$$, offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.2;
return { x, y: Math.pow(2, x) + 2, z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: $$g(x)=2^x+2$$, offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.2;
return { x, y: Math.pow(2, x) - 1, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: $$h(x)=2^x-1$$, offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]
  Visible text: [
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.2;
return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
}),
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.2;
return { x, y: Math.pow(2, x) + 2, z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
{
points: Array.from({ length: 31 }, (_, i) => {
const x = (i - 15) * 0.2;
return { x, y: Math.pow(2, x) - 1, z: 0 };
}),
color: "#e11d48",
labels: [{ text: , offset: [0.5, 1, 0] }],
showPoints: false,
},
]

Für Exponentialfunktionen:

- Die horizontale Asymptote $$y = 0$$ von $$f(x) = 2^x$$ wird zur Geraden $$y = k$$ der Funktion $$f(x) + k$$.
- Der $$y$$-Achsenabschnitt verschiebt sich von $$(0, 1)$$ nach $$(0, 1 + k)$$

Visible text: - Die horizontale Asymptote von wird zur Geraden der Funktion .
- Der -Achsenabschnitt verschiebt sich von nach

## Übungen

1. Gegeben ist die Funktion $$f(x) = x^2 + 4x + 3$$. Bestimme die Gleichung nach einer vertikalen Verschiebung um $$5 \text{Einheiten}$$ nach oben.

2. Der Graph der Funktion $$g(x) = 3x + 2$$ wird um $$7 \text{Einheiten}$$ vertikal nach unten verschoben. Bestimme:
   - die Gleichung der verschobenen Funktion
   - den $$y$$-Achsenabschnitt nach der Verschiebung

3. Die Funktion $$h(x) = \sqrt{x}$$ wird so verschoben, dass der Punkt $$(4, 2)$$ auf $$(4, 5)$$ abgebildet wird. Bestimme die Verschiebungskonstante und die Gleichung der verschobenen Funktion.

Visible text: 1. Gegeben ist die Funktion . Bestimme die Gleichung nach einer vertikalen Verschiebung um nach oben.

2. Der Graph der Funktion wird um vertikal nach unten verschoben. Bestimme:
 - die Gleichung der verschobenen Funktion
 - den -Achsenabschnitt nach der Verschiebung

3. Die Funktion wird so verschoben, dass der Punkt auf abgebildet wird. Bestimme die Verschiebungskonstante und die Gleichung der verschobenen Funktion.

### Lösungen

1. Vertikale Verschiebung nach oben um $$5 \text{Einheiten}$$: <InlineMath math="f'(x) = f(x) + 5 = x^2 + 4x + 3 + 5 = x^2 + 4x + 8" />

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$f(x) = x^2 + 4x + 3$$ und verschobener Graph</>}
     description={
       <>
         Ursprüngliche quadratische Funktion und Verschiebung um
         $$5 \text{Einheiten}$$ nach oben.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x + 4 * x + 3, z: 0 };
         }),
         color: "#9333ea",
         labels: [{ text: $$f(x)=x^2+4x+3$$, at: 10, offset: [0, 1.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
           const x = (i - 20) * 0.25;
           return { x, y: x * x + 4 * x + 3 + 5, z: 0 };
         }),
         color: "#ea580c",
         labels: [{ text: <InlineMath math="f'(x)=x^2+4x+8" />, at: 10, offset: [0, -0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

2. Gleichung der verschobenen Funktion:

   - Verschiebung nach unten um $$7 \text{Einheiten}$$: <InlineMath math="g'(x) = g(x) - 7 = 3x + 2 - 7 = 3x - 5" />
   - $$y$$-Achsenabschnitt: Setze $$x = 0$$ in <InlineMath math="g'(x) = 3(0) - 5 = -5" /> ein. Der Schnittpunkt ist $$(0, -5)$$.

   Visualisierung:

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$g(x) = 3x + 2$$ und verschobener Graph</>}
     description={
       <>
         Ursprüngliche lineare Funktion und Verschiebung um
         $$7 \text{Einheiten}$$ nach unten.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = (i - 10) * 0.5;
           return { x, y: 3 * x + 2, z: 0 };
         }),
         color: "#7c3aed",
         labels: [{ text: $$g(x)=3x+2$$, offset: [1, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = (i - 10) * 0.5;
           return { x, y: 3 * x + 2 - 7, z: 0 };
         }),
         color: "#0d9488",
         labels: [{ text: <InlineMath math="g'(x)=3x-5" />, offset: [1, 0.5, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

3. Punkt $$(4, 2)$$ auf $$h(x) = \sqrt{x}$$ wird zu $$(4, 5)$$, was eine vertikale Verschiebung um $$k = 5 - 2 = 3 \text{Einheiten}$$ nach oben bedeutet.
   Die verschobene Funktion lautet <InlineMath math="h'(x) = \sqrt{x} + 3" />.

   <LineEquation
     title={<>Funktion $$h(x) = \sqrt{x}$$ und verschobener Graph</>}
     description={
       <>
         Ursprüngliche Quadratwurzelfunktion und Verschiebung um
         $$3 \text{Einheiten}$$ nach oben.
       </>
     }
     showZAxis={false}
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
         }),
         color: "#4f46e5",
         labels: [{ text: $$h(x)=\sqrt{x}$$, offset: [1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = i * 0.25;
           return { x, y: Math.sqrt(x) + 3, z: 0 };
         }),
         color: "#059669",
         labels: [{ text: <InlineMath math="h'(x)=\sqrt{x}+3" />, offset: [1, 1, 0] }],
         showPoints: false,
       },
     ]}
   />

Visible text: 1. Vertikale Verschiebung nach oben um : 

 <LineEquation
 title={<>Funktion und verschobener Graph</>}
 description={
 <>
 Ursprüngliche quadratische Funktion und Verschiebung um
 nach oben.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x + 4 * x + 3, z: 0 };
 }),
 color: "#9333ea",
 labels: [{ text: , at: 10, offset: [0, 1.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 41 }, (_, i) => {
 const x = (i - 20) * 0.25;
 return { x, y: x * x + 4 * x + 3 + 5, z: 0 };
 }),
 color: "#ea580c",
 labels: [{ text: , at: 10, offset: [0, -0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

2. Gleichung der verschobenen Funktion:

 - Verschiebung nach unten um : 
 - -Achsenabschnitt: Setze in ein. Der Schnittpunkt ist .

 Visualisierung:

 <LineEquation
 title={<>Funktion und verschobener Graph</>}
 description={
 <>
 Ursprüngliche lineare Funktion und Verschiebung um
 nach unten.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = (i - 10) * 0.5;
 return { x, y: 3 * x + 2, z: 0 };
 }),
 color: "#7c3aed",
 labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = (i - 10) * 0.5;
 return { x, y: 3 * x + 2 - 7, z: 0 };
 }),
 color: "#0d9488",
 labels: [{ text: , offset: [1, 0.5, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />

3. Punkt auf wird zu , was eine vertikale Verschiebung um nach oben bedeutet.
 Die verschobene Funktion lautet .

 <LineEquation
 title={<>Funktion und verschobener Graph</>}
 description={
 <>
 Ursprüngliche Quadratwurzelfunktion und Verschiebung um
 nach oben.
 </>
 }
 showZAxis={false}
 data={[
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
 }),
 color: "#4f46e5",
 labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 {
 points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
 const x = i * 0.25;
 return { x, y: Math.sqrt(x) + 3, z: 0 };
 }),
 color: "#059669",
 labels: [{ text: , offset: [1, 1, 0] }],
 showPoints: false,
 },
 ]}
 />