# Spiegelung an einem Punkt

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/punktspiegelung
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-over-point/de.mdx

Verstehe die Punktspiegelung als halbe Drehung und berechne Bildpunkte und Bildgeraden mit Koordinatenformeln.

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## Spiegelung an einem Punkt verstehen

Die Spiegelung an einem Punkt entspricht einer halben Drehung um $$180^\circ$$. Dabei ist das Spiegelzentrum der Mittelpunkt zwischen jedem Ausgangspunkt und seinem Bildpunkt.

Visible text: Die Spiegelung an einem Punkt entspricht einer halben Drehung um . Dabei ist das Spiegelzentrum der Mittelpunkt zwischen jedem Ausgangspunkt und seinem Bildpunkt.

Liegt das Spiegelzentrum bei $$P(a,b)$$ und wird $$Q(x,y)$$ am Punkt $$P$$ gespiegelt, dann liegen $$Q$$, $$P$$ und <InlineMath math="Q'(x',y')" /> auf einer Geraden. Der Punkt $$P$$ ist der Mittelpunkt der Strecke <InlineMath math="QQ'" />.

Visible text: Liegt das Spiegelzentrum bei und wird am Punkt gespiegelt, dann liegen , und auf einer Geraden. Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke .

### Regel für die Spiegelung an einem Punkt

Wenn ein Punkt $$Q(x, y)$$ am Punkt $$P(a, b)$$ gespiegelt wird, werden die Koordinaten seines Bildes, <InlineMath math="Q'(x', y')" />, durch die Formel bestimmt:

Visible text: Wenn ein Punkt am Punkt gespiegelt wird, werden die Koordinaten seines Bildes, , durch die Formel bestimmt:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2a - x
```

```math
y' = 2b - y
```

Äquivalent dazu können wir den Bildpunkt direkt angeben:

```math
Q'(-x + 2a, -y + 2b)
```

Die $$x$$-Koordinate des Bildpunktes ist also das Doppelte der $$x$$-Koordinate des Spiegelzentrums minus die ursprüngliche $$x$$-Koordinate. Für die $$y$$-Koordinate gilt dasselbe.

Visible text: Die -Koordinate des Bildpunktes ist also das Doppelte der -Koordinate des Spiegelzentrums minus die ursprüngliche -Koordinate. Für die -Koordinate gilt dasselbe.

## Einen Punkt an einem anderen Punkt spiegeln

Bestimme das Bild des Punktes $$(5, 4)$$ unter der Punktspiegelung $$\sigma_{(2,3)}$$.

Visible text: Bestimme das Bild des Punktes unter der Punktspiegelung .

Wir spiegeln also den Punkt $$Q(5,4)$$ am Spiegelzentrum $$P(2,3)$$.

Visible text: Wir spiegeln also den Punkt am Spiegelzentrum .

Hier $$x=5$$, $$y=4$$, $$a=2$$ und $$b=3$$.

Visible text: Hier , , und .

Mit der Formel:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2a - x = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1
```

```math
y' = 2b - y = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2
```

Somit ist das Bild des Punktes $$(5,4)$$ $$(-1,2)$$.

Visible text: Somit ist das Bild des Punktes .

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelbild des Punktes $$Q(5,4)$$ am Punkt{" "}
$$P(2,3)$$
  Visible text: Spiegelbild des Punktes am Punkt
- description: Spiegelung des Punktes $$Q(5,4)$$ am Zentrum{" "}
$$P(2,3)$$ mit dem Bildpunkt{" "}
<InlineMath math="Q'(-1,2)" />.
  Visible text: Spiegelung des Punktes am Zentrum 
 mit dem Bildpunkt 
.
- data: [
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>$$P(2,3)$$ - Spiegelzentrum</>, at: 0, offset: [1.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 5, y: 4, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>$$Q(5,4)$$ - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: -1, y: 2, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <><InlineMath math="Q'(-1,2)" /> - Bild</>, at: 0, offset: [-0.7, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5, y: 4, z: 0 },
{ x: -1, y: 2, z: 0 },
],
color: "#db2777",
}, // Verbindungsstrecke QQ'
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Spiegelzentrum</>, at: 0, offset: [1.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 5, y: 4, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: -1, y: 2, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Bild</>, at: 0, offset: [-0.7, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 5, y: 4, z: 0 },
{ x: -1, y: 2, z: 0 },
],
color: "#db2777",
}, // Verbindungsstrecke QQ'
]
- showZAxis: false

## Eine Gerade an einem Punkt spiegeln

Bestimme die Bildgerade der Geraden $$l$$ mit $$2x - y + 3 = 0$$ unter der Punktspiegelung $$\sigma_{(1,3)}$$.

Visible text: Bestimme die Bildgerade der Geraden mit unter der Punktspiegelung .

Wir wählen einen beliebigen Punkt $$(x,y)$$ auf der Geraden $$l$$. Nach der Spiegelung am Punkt $$P(1,3)$$ hat sein Bild die Koordinaten <InlineMath math="(x',y')" />. Damit gilt:

Visible text: Wir wählen einen beliebigen Punkt auf der Geraden . Nach der Spiegelung am Punkt hat sein Bild die Koordinaten . Damit gilt:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2(1) - x = 2 - x \implies x = 2 - x'
```

```math
y' = 2(3) - y = 6 - y \implies y = 6 - y'
```

Wir setzen <InlineMath math="x = 2 - x'" /> und <InlineMath math="y = 6 - y'" /> in die Gleichung der Geraden $$l$$ ein:

Visible text: Wir setzen und in die Gleichung der Geraden ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
2(2 - x') - (6 - y') + 3 = 0
```

```math
4 - 2x' - 6 + y' + 3 = 0
```

```math
-2x' + y' + 1 = 0
```

Ersetzen wir <InlineMath math="x'" /> und <InlineMath math="y'" /> wieder durch $$x$$ und $$y$$, so lautet die Gleichung der Bildgeraden <InlineMath math="l'" />:

Visible text: Ersetzen wir und wieder durch und , so lautet die Gleichung der Bildgeraden :

```math
-2x + y + 1 = 0
```

Äquivalent dazu können wir die Gleichung als $$2x - y - 1 = 0$$ schreiben.

Visible text: Äquivalent dazu können wir die Gleichung als schreiben.

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelbild der Geraden $$2x-y+3=0$$ am Punkt{" "}
$$P(1,3)$$
  Visible text: Spiegelbild der Geraden am Punkt
- description: Die Gerade $$2x-y+3=0$$ wird am Punkt{" "}
$$P(1,3)$$ gespiegelt. Ihre Bildgerade lautet{" "}
$$2x-y-1=0$$.
  Visible text: Die Gerade wird am Punkt 
 gespiegelt. Ihre Bildgerade lautet 
.
- data: [
{
points: [{ x: 1, y: 3, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>$$P(1,3)$$ - Spiegelzentrum</>, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
// Ursprüngliche Gerade: 2x - y + 3 = 0 => y = 2x + 3
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: 2 * xVal + 3, z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: $$2x-y+3=0$$, at: 5, offset: [-2, 0.5, 0] }],
},
{
// Bildgerade: 2x - y - 1 = 0 => y = 2x - 1
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: 2 * xVal - 1, z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: $$2x-y-1=0$$, at: 5, offset: [2, -0.5, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: 1, y: 3, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Spiegelzentrum</>, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
{
// Ursprüngliche Gerade: 2x - y + 3 = 0 => y = 2x + 3
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: 2 * xVal + 3, z: 0 };
}),
color: "#0284c7",
labels: [{ text: , at: 5, offset: [-2, 0.5, 0] }],
},
{
// Bildgerade: 2x - y - 1 = 0 => y = 2x - 1
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: 2 * xVal - 1, z: 0 };
}),
color: "#059669",
labels: [{ text: , at: 5, offset: [2, -0.5, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [1, 2, 15]

## Übungen

1.  Bestimme das Bild des Punktes $$(3, -4)$$ unter der Punktspiegelung $$\sigma_{(-2,3)}$$.
2.  Der Punkt $$K(-5, 1)$$ wird am Ursprung $$O(0,0)$$ gespiegelt. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.
3.  Bestimme die Bildgerade der Geraden $$l$$ mit $$2x + 5y + 6 = 0$$ unter der Punktspiegelung $$\sigma_{(1,-3)}$$.

Visible text: 1. Bestimme das Bild des Punktes unter der Punktspiegelung .
2. Der Punkt wird am Ursprung gespiegelt. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.
3. Bestimme die Bildgerade der Geraden mit unter der Punktspiegelung .

### Lösungen

1.  Zentrum $$P(-2,3)$$, Punkt $$Q(3,-4)$$. Also $$a=-2, b=3, x=3, y=-4$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 2a - x = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7" />
      <BlockMath math="y' = 2b - y = 2(3) - (-4) = 6 + 4 = 10" />
    </MathContainer>

    Somit ist das Bild des Punktes $$Q(3,-4)$$ $$(-7,10)$$.

2.  Zentrum $$O(0,0)$$, Punkt $$K(-5,1)$$. Also $$a=0, b=0, x=-5, y=1$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 2(0) - (-5) = 0 + 5 = 5" />
      <BlockMath math="y' = 2(0) - 1 = 0 - 1 = -1" />
    </MathContainer>

    Somit ist das Bild des Punktes $$K(-5,1)$$ <InlineMath math="K'(5,-1)" />.

3.  Spiegelzentrum $$P(1,-3)$$, Gerade $$2x + 5y + 6 = 0$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 2(1) - x = 2 - x \implies x = 2 - x'" />
      <BlockMath math="y' = 2(-3) - y = -6 - y \implies y = -6 - y'" />
    </MathContainer>

    Wir setzen die Ausdrücke in die Geradengleichung ein:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="2(2 - x') + 5(-6 - y') + 6 = 0" />
      <BlockMath math="4 - 2x' - 30 - 5y' + 6 = 0" />
      <BlockMath math="-2x' - 5y' - 20 = 0" />
    </MathContainer>

    Die Gleichung der Bildgeraden lautet $$-2x - 5y - 20 = 0$$ oder äquivalent $$2x + 5y + 20 = 0$$.

Visible text: 1. Zentrum , Punkt . Also .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 2a - x = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7" />
 <BlockMath math="y' = 2b - y = 2(3) - (-4) = 6 + 4 = 10" />
 </MathContainer>

 Somit ist das Bild des Punktes .

2. Zentrum , Punkt . Also .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 2(0) - (-5) = 0 + 5 = 5" />
 <BlockMath math="y' = 2(0) - 1 = 0 - 1 = -1" />
 </MathContainer>

 Somit ist das Bild des Punktes .

3. Spiegelzentrum , Gerade .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 2(1) - x = 2 - x \implies x = 2 - x'" />
 <BlockMath math="y' = 2(-3) - y = -6 - y \implies y = -6 - y'" />
 </MathContainer>

 Wir setzen die Ausdrücke in die Geradengleichung ein:

 <MathContainer>
 <BlockMath math="2(2 - x') + 5(-6 - y') + 6 = 0" />
 <BlockMath math="4 - 2x' - 30 - 5y' + 6 = 0" />
 <BlockMath math="-2x' - 5y' - 20 = 0" />
 </MathContainer>

 Die Gleichung der Bildgeraden lautet oder äquivalent .