# Drehung

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/rotation
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/rotation/de.mdx

Verstehe Drehzentrum, Drehrichtung und Drehwinkel und berechne die Bildkoordinaten von Punkten und Geraden.

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## Drehungen verstehen

Eine Drehung bewegt jeden Punkt einer Figur um denselben Winkel um ein festes Drehzentrum. Die Figur wird versetzt und gedreht, während Abstände, Winkel, Form, Größe und die Reihenfolge ihrer Eckpunkte erhalten bleiben.

Zwei Angaben bestimmen eine Drehung:

- **Drehzentrum (C):** Der feste Punkt, um den die Drehung erfolgt.
- **Drehwinkel ($$\theta$$):** Ein gerichteter Winkel, der Größe und Richtung der Drehung angibt. Ein positiver Winkel dreht gegen den Uhrzeigersinn, ein negativer Winkel im Uhrzeigersinn.

Visible text: - **Drehzentrum (C):** Der feste Punkt, um den die Drehung erfolgt.
- **Drehwinkel ():** Ein gerichteter Winkel, der Größe und Richtung der Drehung angibt. Ein positiver Winkel dreht gegen den Uhrzeigersinn, ein negativer Winkel im Uhrzeigersinn.

### Definition einer Drehung

Gegeben seien ein Drehzentrum $$C$$ und ein gerichteter Winkel $$\theta$$. Die Drehung mit dem Zentrum $$C$$ um den Winkel $$\theta$$, bezeichnet durch $$\rho_{C,\theta}$$ oder $$R(C,\theta)$$, ist als Transformation definiert, die Folgendes abbildet:

Visible text: Gegeben seien ein Drehzentrum und ein gerichteter Winkel . Die Drehung mit dem Zentrum um den Winkel , bezeichnet durch oder , ist als Transformation definiert, die Folgendes abbildet:

1. Das Drehzentrum $$C$$ wird auf sich selbst abgebildet (<InlineMath math="C'=C" />).
2. Jeder Punkt $$P$$ wird auf einen Punkt <InlineMath math="P'" /> abgebildet. Dabei gilt <InlineMath math="CP = CP'" />, und der gerichtete Winkel vom Strahl $$\vec{CP}$$ zum Strahl <InlineMath math="\vec{CP'}" /> beträgt $$\theta$$.

Visible text: 1. Das Drehzentrum wird auf sich selbst abgebildet ().
2. Jeder Punkt wird auf einen Punkt abgebildet. Dabei gilt , und der gerichtete Winkel vom Strahl zum Strahl beträgt .

## Drehung um den Ursprung

Ein häufiger Sonderfall ist die Drehung um den Ursprung $$O(0,0)$$.

Visible text: Ein häufiger Sonderfall ist die Drehung um den Ursprung .

Wenn ein Punkt $$P(x,y)$$ um einen Winkel $$\theta$$ um den Ursprung $$O(0,0)$$ gedreht wird, können seine Bildkoordinaten <InlineMath math="P'(x',y')" /> mit folgenden Formeln berechnet werden:

Visible text: Wenn ein Punkt um einen Winkel um den Ursprung gedreht wird, können seine Bildkoordinaten mit folgenden Formeln berechnet werden:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = x \cos \theta - y \sin \theta
```

```math
y' = x \sin \theta + y \cos \theta
```

## Drehen eines Punktes um eine Vierteldrehung

Der Punkt $$B(0,4)$$ wird um $$90^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $$(0,0)$$ gedreht. Bestimme seinen Bildpunkt.

Visible text: Der Punkt wird um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung gedreht. Bestimme seinen Bildpunkt.

Hier: $$x=0$$, $$y=4$$ und $$\theta = 90^\circ$$.

Visible text: Hier: , und .

Wir kennen $$\cos 90^\circ = 0$$ und $$\sin 90^\circ = 1$$.

Visible text: Wir kennen und .

Wir setzen die Werte in die Drehformeln ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = (0) \cos 90^\circ - (4) \sin 90^\circ = 0 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = -4
```

```math
y' = (0) \sin 90^\circ + (4) \cos 90^\circ = 0 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 0
```

Somit ist das Bild des Punktes $$B(0,4)$$ <InlineMath math="B'(-4,0)" />.

Visible text: Somit ist das Bild des Punktes .

Component: LineEquation
Props:
- title: Drehung des Punktes $$B(0,4)$$ um{" "}
$$90^\circ$$ um den Ursprung
  Visible text: Drehung des Punktes um 
 um den Ursprung
- description: Der Punkt $$B(0,4)$$ wird um $$90^\circ$${" "}
gegen den Uhrzeigersinn um $$O(0,0)$$ auf{" "}
<InlineMath math="B'(-4,0)" /> gedreht.
  Visible text: Der Punkt wird um 
gegen den Uhrzeigersinn um auf 
 gedreht.
- data: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O(0,0)$$, at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Drehzentrum
{
points: [{ x: 0, y: 4, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>$$B(0,4)$$ - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
}, // Ausgangspunkt
{
points: [{ x: -4, y: 0, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <><InlineMath math="B'(-4,0)" /> - Bild</>, at: 0, offset: [-0.7, 0.3, 0] }],
}, // Bildpunkt
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
}, // Strecke OB
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
}, // Strecke OB'
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Drehzentrum
{
points: [{ x: 0, y: 4, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
}, // Ausgangspunkt
{
points: [{ x: -4, y: 0, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Bild</>, at: 0, offset: [-0.7, 0.3, 0] }],
}, // Bildpunkt
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 0, y: 4, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
}, // Strecke OB
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -4, y: 0, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
}, // Strecke OB'
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [2, 2, 15]

## Eine Gerade um eine Vierteldrehung drehen

Bestimme die Bildgerade von $$y=2x$$ nach einer Drehung um $$90^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $$(0,0)$$.

Visible text: Bestimme die Bildgerade von nach einer Drehung um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung .

Sei $$P(x,y)$$ ein beliebiger Punkt auf der Geraden $$y=2x$$. Nach einer Drehung um $$90^\circ$$ hat sein Bildpunkt <InlineMath math="P'(x',y')" /> die Koordinaten:

Visible text: Sei ein beliebiger Punkt auf der Geraden . Nach einer Drehung um hat sein Bildpunkt die Koordinaten:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = x \cos 90^\circ - y \sin 90^\circ = x(0) - y(1) = -y
```

```math
y' = x \sin 90^\circ + y \cos 90^\circ = x(1) + y(0) = x
```

Daraus erhalten wir <InlineMath math="y = -x'" /> und <InlineMath math="x = y'" />.

Visible text: Daraus erhalten wir und .

Wir setzen <InlineMath math="x = y'" /> und <InlineMath math="y = -x'" /> in die ursprüngliche Geradengleichung $$y=2x$$ ein:

Visible text: Wir setzen und in die ursprüngliche Geradengleichung ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
(-x') = 2(y')
```

```math
-x' = 2y'
```

Wenn man <InlineMath math="x'" /> und <InlineMath math="y'" /> wieder durch $$x$$ und $$y$$ ersetzt, lautet die Gleichung der Bildgeraden $$-x = 2y$$ oder $$y = -\frac{1}{2}x$$.

Visible text: Wenn man und wieder durch und ersetzt, lautet die Gleichung der Bildgeraden oder .

Component: LineEquation
Props:
- title: Drehung der Geraden $$y=2x$$ um{" "}
$$90^\circ$$ um den Ursprung
  Visible text: Drehung der Geraden um 
 um den Ursprung
- description: Die Gerade $$y=2x$$ wird um $$90^\circ$$
gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Ihre Bildgerade ist{" "}
$$y = -\frac{1}{2}x$$.
  Visible text: Die Gerade wird um 
gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Ihre Bildgerade ist 
.
- data: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$O(0,0)$$, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Drehzentrum
{
// Ursprüngliche Gerade: y = 2x
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = (i - 5) * 0.5; // range from -2.5 to 2.5
return { x: xVal, y: 2 * xVal, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=2x$$, at: 6, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
// Bildgerade: y = -1/2 x
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = (i - 5) * 0.5;
return { x: xVal, y: (-1 / 2) * xVal, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: $$y=(-\frac{1}{2})x$$, at: 1, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Drehzentrum
{
// Ursprüngliche Gerade: y = 2x
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = (i - 5) * 0.5; // range from -2.5 to 2.5
return { x: xVal, y: 2 * xVal, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 6, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
// Bildgerade: y = -1/2 x
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = (i - 5) * 0.5;
return { x: xVal, y: (-1 / 2) * xVal, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
showPoints: false,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 10]

## Übungen

1.  Der Punkt $$A(3,0)$$ wird um $$90^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $$(0,0)$$ gedreht. Bestimme seinen Bildpunkt.
2.  Bestimme die Bildgerade von $$y=4x$$ nach einer Drehung um $$90^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung $$(0,0)$$.
3.  Der Punkt $$P(-2, -5)$$ wird um $$180^\circ$$ um den Ursprung $$O(0,0)$$ gedreht. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.

Visible text: 1. Der Punkt wird um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung gedreht. Bestimme seinen Bildpunkt.
2. Bestimme die Bildgerade von nach einer Drehung um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung .
3. Der Punkt wird um um den Ursprung gedreht. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.

### Lösungen

1.  Punkt $$A(3,0)$$, $$\theta = 90^\circ$$. $$x=3, y=0$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 3 \cos 90^\circ - 0 \sin 90^\circ = 3(0) - 0(1) = 0" />
      <BlockMath math="y' = 3 \sin 90^\circ + 0 \cos 90^\circ = 3(1) + 0(0) = 3" />
    </MathContainer>

    Daher ist sein Bild <InlineMath math="A'(0,3)" />.

2.  Gerade $$y=4x$$, $$\theta = 90^\circ$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = -y" />
      <BlockMath math="y' = x" />
    </MathContainer>

    Also <InlineMath math="y = -x'" /> und <InlineMath math="x = y'" />.

    Wir setzen in die Geradengleichung ein: <InlineMath math="(-x') = 4(y')" />.

    Bildgeradengleichung: $$-x = 4y$$ oder $$y = -\frac{1}{4}x$$.

3.  Punkt $$P(-2,-5)$$, $$\theta = 180^\circ$$. $$x=-2, y=-5$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    \cos 180^\circ = -1
    ```

      
    
    ```math
    \sin 180^\circ = 0
    ```

    </MathContainer>

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = (-2) \cos 180^\circ - (-5) \sin 180^\circ = (-2)(-1) - (-5)(0) = 2 - 0 = 2" />
      <BlockMath math="y' = (-2) \sin 180^\circ + (-5) \cos 180^\circ = (-2)(0) + (-5)(-1) = 0 + 5 = 5" />
    </MathContainer>

    Somit ist das Bild des Punktes $$P$$ <InlineMath math="P'(2,5)" />.

Visible text: 1. Punkt , . .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 3 \cos 90^\circ - 0 \sin 90^\circ = 3(0) - 0(1) = 0" />
 <BlockMath math="y' = 3 \sin 90^\circ + 0 \cos 90^\circ = 3(1) + 0(0) = 3" />
 </MathContainer>

 Daher ist sein Bild .

2. Gerade , .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = -y" />
 <BlockMath math="y' = x" />
 </MathContainer>

 Also und .

 Wir setzen in die Geradengleichung ein: .

 Bildgeradengleichung: oder .

3. Punkt , . .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = (-2) \cos 180^\circ - (-5) \sin 180^\circ = (-2)(-1) - (-5)(0) = 2 - 0 = 2" />
 <BlockMath math="y' = (-2) \sin 180^\circ + (-5) \cos 180^\circ = (-2)(0) + (-5)(-1) = 0 + 5 = 5" />
 </MathContainer>

 Somit ist das Bild des Punktes .