# Drehmatrix
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/rotationsmatrix
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/rotation-matrix/de.mdx
Leite die Drehmatrix her und wende sie auf Drehungen um den Ursprung und um beliebige Drehzentren an.
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## Drehmatrix für den Ursprung bestimmen
Wird ein Punkt $$(x,y)$$ um den Winkel $$\theta$$ um den Ursprung $$(0,0)$$ gedreht, so ist sein Bild $$(x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)$$.
Visible text: Wird ein Punkt um den Winkel um den Ursprung gedreht, so ist sein Bild .
Wir möchten eine $$2 \times 2$$-Matrix finden, beispielsweise $$\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$$, die diese Drehung darstellt.
Visible text: Wir möchten eine -Matrix finden, beispielsweise , die diese Drehung darstellt.
Diese Matrix muss Folgendes erfüllen:
```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}
```
Aus der Matrixmultiplikation auf der linken Seite erhalten wir:
```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cos \theta - y \sin \theta \\ x \sin \theta + y \cos \theta \end{pmatrix}
```
Wir vergleichen die Koeffizienten in den entsprechenden Komponenten:
- Erste Zeile: $$rx + sy = x \cos \theta - y \sin \theta$$.
Damit diese Gleichung für alle $$x$$ und $$y$$ gilt, müssen die Koeffizienten von $$x$$ beziehungsweise $$y$$ übereinstimmen. Also gilt $$r = \cos \theta$$ und $$s = -\sin \theta$$.
- Zweite Zeile: $$tx + uy = x \sin \theta + y \cos \theta$$.
Ebenso $$t = \sin \theta$$ und $$u = \cos \theta$$.
Visible text: - Erste Zeile: .
Damit diese Gleichung für alle und gilt, müssen die Koeffizienten von beziehungsweise übereinstimmen. Also gilt und .
- Zweite Zeile: .
Ebenso und .
### Drehmatrix für den Ursprung
Die einer Drehung um einen Winkel $$\theta$$ im Bogenmaß (oder Grad) um den Ursprung $$O(0,0)$$ zugeordnete Matrix lautet:
Visible text: Die einer Drehung um einen Winkel im Bogenmaß (oder Grad) um den Ursprung zugeordnete Matrix lautet:
```math
R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}
```
## Matrixoperation zur Drehung um einen beliebigen Punkt
Um einen Punkt $$(x,y)$$ um einen beliebigen Punkt $$P(a,b)$$ um einen Winkel $$\theta$$ zu drehen, führen wir drei Schritte aus:
Visible text: Um einen Punkt um einen beliebigen Punkt um einen Winkel zu drehen, führen wir drei Schritte aus:
1. Verschiebe den Punkt $$(x,y)$$ so, dass $$P(a,b)$$ im Ursprung liegt. Dadurch entsteht $$(x-a, y-b)$$.
2. Drehe den verschobenen Punkt mit der Matrix $$R_\theta$$ um $$\theta$$ um den Ursprung.
3. Verschiebe den gedrehten Punkt zurück, indem du $$(a,b)$$ addierst.
Visible text: 1. Verschiebe den Punkt so, dass im Ursprung liegt. Dadurch entsteht .
2. Drehe den verschobenen Punkt mit der Matrix um um den Ursprung.
3. Verschiebe den gedrehten Punkt zurück, indem du addierst.
### Matrixoperation zur Drehung um einen beliebigen Punkt
Die mit der Drehung um einen Winkel $$\theta$$ im Bogenmaß um den Punkt $$(a,b)$$ verbundene Operation ist:
Visible text: Die mit der Drehung um einen Winkel im Bogenmaß um den Punkt verbundene Operation ist:
```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```
## Drehmatrix für einen bestimmten Winkel bestimmen
Die einer Drehung um $$\theta = \frac{1}{4}\pi$$ Bogenmaß ($$45^\circ$$) um den Ursprung zugeordnete Matrix lautet:
Visible text: Die einer Drehung um Bogenmaß () um den Ursprung zugeordnete Matrix lautet:
Wir kennen $$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ und $$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$.
Visible text: Wir kennen und .
```math
R_{\frac{\pi}{4}} = \begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\ \sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}
```
Diese Matrix dreht jeden Ortsvektor um $$45^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn.
Visible text: Diese Matrix dreht jeden Ortsvektor um gegen den Uhrzeigersinn.
Component: LineEquation
Props:
- title: Drehung des Punktes $$(2,0)$$ um $$45^\circ$${" "}
um den Ursprung
Visible text: Drehung des Punktes um
um den Ursprung
- description: Der Punkt $$A(2,0)$$ wird um{" "}
$$45^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn auf{" "}
gedreht.{" "}
$$\sqrt{2} \approx 1{,}414$$.
Visible text: Der Punkt wird um
gegen den Uhrzeigersinn auf
gedreht.
.
- data: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 0, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$A(2,0)$$, at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: Math.sqrt(2), y: Math.sqrt(2), z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: Math.sqrt(2), y: Math.sqrt(2), z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
},
]
Visible text: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 0, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: Math.sqrt(2), y: Math.sqrt(2), z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 0, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: Math.sqrt(2), y: Math.sqrt(2), z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 8]
## Übungen
1. Bestimme die Matrix für eine Drehung um den Ursprung $$O(0,0)$$ mit dem Winkel $$\frac{1}{6}\pi$$ im Bogenmaß.
2. Bestimme das Bild des Punktes $$P(4,2)$$ bei einer Drehung um $$60^\circ$$ um den Ursprung $$O(0,0)$$.
3. Bestimme das Bild des Punktes $$Q(3,1)$$ bei einer Drehung um $$90^\circ$$ um den Punkt $$C(1,-2)$$.
Visible text: 1. Bestimme die Matrix für eine Drehung um den Ursprung mit dem Winkel im Bogenmaß.
2. Bestimme das Bild des Punktes bei einer Drehung um um den Ursprung .
3. Bestimme das Bild des Punktes bei einer Drehung um um den Punkt .
### Lösungen
1. Gegeben $$\theta = \frac{\pi}{6}$$ oder $$30^\circ$$:
```math
\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}
```
```math
\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}
```
Drehmatrix:
```math
\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}
```
2. Punkt $$P(4,2)$$, $$\theta = 60^\circ$$. $$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$, $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$.
Der Bildpunkt ist .
3. Gegeben sind der Punkt $$Q(3,1)$$, das Drehzentrum $$C(1,-2)$$ und $$\theta = 90^\circ$$. Damit gilt $$(a,b)=(1,-2)$$.
```math
\cos 90^\circ = 0
```
```math
\sin 90^\circ = 1
```
```math
= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix}
```
Der Bildpunkt ist .
Visible text: 1. Gegeben oder :
Drehmatrix:
2. Punkt , . , .
Der Bildpunkt ist .
3. Gegeben sind der Punkt , das Drehzentrum und . Damit gilt .
Der Bildpunkt ist .