# Spiegelung an der x-Achse

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/spiegelung-an-der-x-achse
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-over-x-axis/de.mdx

Spiegle Punkte, Dreiecke und Geraden an der x-Achse und leite die Koordinatenregel aus den Abständen zum Spiegel her.

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## Spiegelung an der x-Achse verstehen

Bei einer Spiegelung an der $$x$$-Achse liegt jeder Bildpunkt auf der gegenüberliegenden Seite der $$x$$-Achse und hat denselben Abstand zu ihr. Die $$x$$-Achse wirkt dabei wie ein waagerechter Spiegel.

Visible text: Bei einer Spiegelung an der -Achse liegt jeder Bildpunkt auf der gegenüberliegenden Seite der -Achse und hat denselben Abstand zu ihr. Die -Achse wirkt dabei wie ein waagerechter Spiegel.

Hat ein Punkt $$P$$ die Koordinaten $$(x,y)$$, dann behält sein Bildpunkt <InlineMath math="P'" /> dieselbe $$x$$-Koordinate. Nur die $$y$$-Koordinate wechselt ihr Vorzeichen: Aus dem bisherigen $$y$$-Wert wird sein Gegenwert.

Visible text: Hat ein Punkt die Koordinaten , dann behält sein Bildpunkt dieselbe -Koordinate. Nur die -Koordinate wechselt ihr Vorzeichen: Aus dem bisherigen -Wert wird sein Gegenwert.

Wenn der Anfangspunkt mathematisch gesehen $$P(x,y)$$ ist, dann ist sein Bild nach der Spiegelung an der $$x$$-Achse <InlineMath math="P'(x,-y)" />.

Visible text: Wenn der Anfangspunkt mathematisch gesehen ist, dann ist sein Bild nach der Spiegelung an der -Achse .

### Punkte und ihre Spiegelbilder visualisieren

Betrachten wir einige Punkte und ihre Spiegelungen, nachdem sie an der $$x$$-Achse gespiegelt wurden.

Visible text: Betrachten wir einige Punkte und ihre Spiegelungen, nachdem sie an der -Achse gespiegelt wurden.

Achte darauf, dass die $$y$$-Koordinate ihr Vorzeichen ändert, während die $$x$$-Koordinate gleich bleibt.

Visible text: Achte darauf, dass die -Koordinate ihr Vorzeichen ändert, während die -Koordinate gleich bleibt.

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelbilder von Punkten an der $$x$$-Achse
  Visible text: Spiegelbilder von Punkten an der -Achse
- description: Die Punkte $$A, B, C, D$$ und ihre Bildpunkte{" "}
<InlineMath math="A', B', C', D'" /> liegen jeweils gleich weit von der{" "}
$$x$$-Achse entfernt.
  Visible text: Die Punkte und ihre Bildpunkte 
 liegen jeweils gleich weit von der 
-Achse entfernt.
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
- data: [
...[
{ x: -5, y: 2, label: $$A$$ },
{ x: -3, y: 1, label: $$B$$ },
{ x: 1, y: 2, label: $$C$$ },
{ x: 4, y: -2, label: $$D$$ },
].map((p, i) => ({
points: [
{ x: p.x, y: p.y, z: 0 },
{ x: p.x, y: p.y, z: 0 }, // Single point
],
color: "#d97706",
labels: [{ text: p.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
showPoints: true,
})),
...[
{ x: -5, y: -2, label: <InlineMath math="A'" /> },
{ x: -3, y: -1, label: <InlineMath math="B'" /> },
{ x: 1, y: -2, label: <InlineMath math="C'" /> },
{ x: 4, y: 2, label: <InlineMath math="D'" /> },
].map((p, i) => ({
points: [
{ x: p.x, y: p.y, z: 0 },
{ x: p.x, y: p.y, z: 0 }, // Single point
],
color: "#0891b2",
labels: [{ text: p.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
showPoints: true,
})),
]
  Visible text: [
...[
{ x: -5, y: 2, label: },
{ x: -3, y: 1, label: },
{ x: 1, y: 2, label: },
{ x: 4, y: -2, label: },
].map((p, i) => ({
points: [
{ x: p.x, y: p.y, z: 0 },
{ x: p.x, y: p.y, z: 0 }, // Single point
],
color: "#d97706",
labels: [{ text: p.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
showPoints: true,
})),
...[
{ x: -5, y: -2, label: },
{ x: -3, y: -1, label: },
{ x: 1, y: -2, label: },
{ x: 4, y: 2, label: },
].map((p, i) => ({
points: [
{ x: p.x, y: p.y, z: 0 },
{ x: p.x, y: p.y, z: 0 }, // Single point
],
color: "#0891b2",
labels: [{ text: p.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
showPoints: true,
})),
]

In der interaktiven Visualisierung oben lässt sich die Beziehung zwischen den ursprünglichen Punkten (Urbild) und ihren Spiegelpunkten (Bild) direkt beobachten:

- Punkt $$A(-5,2)$$ wird zu <InlineMath math="A'(-5,-2)" />
- Punkt $$B(-3,1)$$ wird zu <InlineMath math="B'(-3,-1)" />
- Punkt $$C(1,2)$$ wird zu <InlineMath math="C'(1,-2)" />
- Punkt $$D(4,-2)$$ wird zu <InlineMath math="D'(4,2)" />

Visible text: - Punkt wird zu 
- Punkt wird zu 
- Punkt wird zu 
- Punkt wird zu

Das Muster ist eindeutig: $$x$$ bleibt unverändert und $$y$$ wechselt sein Vorzeichen.

Visible text: Das Muster ist eindeutig: bleibt unverändert und wechselt sein Vorzeichen.

## Eigenschaften der Spiegelung an der x-Achse

Aus diesen Beobachtungen folgt die Regel für die Spiegelung an der $$x$$-Achse:

Visible text: Aus diesen Beobachtungen folgt die Regel für die Spiegelung an der -Achse:

```math
P(x,y) \xrightarrow{\text{X-Achse}} P'(x,-y)
```

Dies bedeutet, dass das Bild des Punktes $$P(x,y)$$, der an der $$x$$-Achse gespiegelt wird, <InlineMath math="P'(x,-y)" /> ist. Die $$x$$-Achse fungiert in diesem Fall als Gerade $$y=0$$.

Visible text: Dies bedeutet, dass das Bild des Punktes , der an der -Achse gespiegelt wird, ist. Die -Achse fungiert in diesem Fall als Gerade .

## Anwendungsbeispiele

### Ein Dreieck spiegeln

Bestimme das Bild des Dreiecks $$ABC$$ mit den Eckpunkten $$A(-1,4)$$, $$B(2,1)$$ und $$C(-2,-1)$$ bei der Spiegelung an der $$x$$-Achse.

Visible text: Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten , und bei der Spiegelung an der -Achse.

Um das Bild des Dreiecks $$ABC$$ zu bestimmen, wenden wir die Spiegelungseigenschaft auf jeden seiner Eckpunkte an:

Visible text: Um das Bild des Dreiecks zu bestimmen, wenden wir die Spiegelungseigenschaft auf jeden seiner Eckpunkte an:

Component: MathContainer
Children:

```math
A(-1,4) \xrightarrow{\text{X-Achse}} A'(-1,-4)
```

```math
B(2,1) \xrightarrow{\text{X-Achse}} B'(2,-1)
```

```math
C(-2,-1) \xrightarrow{\text{X-Achse}} C'(-2,1)
```

Folglich ist das Bild des Dreiecks $$ABC$$ das Dreieck <InlineMath math="A'B'C'" /> mit den Eckpunkten <InlineMath math="A'(-1,-4)" />, <InlineMath math="B'(2,-1)" /> und <InlineMath math="C'(-2,1)" />.

Visible text: Folglich ist das Bild des Dreiecks das Dreieck mit den Eckpunkten , und .

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelung des Dreiecks $$ABC$$ an der $$x$$-Achse
  Visible text: Spiegelung des Dreiecks an der -Achse
- description: Das Dreieck $$ABC$$ und sein Bilddreieck{" "}
<InlineMath math="A'B'C'" /> liegen symmetrisch zur $$x$$-Achse.
  Visible text: Das Dreieck und sein Bilddreieck 
 liegen symmetrisch zur -Achse.
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
- data: [
// Ausgangsdreieck ABC
...[
{
from: { x: -1, y: 4, z: 0, label: $$A$$ },
to: { x: 2, y: 1, z: 0, label: $$B$$ },
},
{
from: { x: 2, y: 1, z: 0, label: $$B$$ },
to: { x: -2, y: -1, z: 0, label: $$C$$ },
},
{
from: { x: -2, y: -1, z: 0, label: $$C$$ },
to: { x: -1, y: 4, z: 0, label: $$A$$ },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{
text: segment.from.label,
at: 0,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{ text: segment.to.label, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
})),
// Bilddreieck A'B'C'
...[
{
from: { x: -1, y: -4, z: 0, label: <InlineMath math="A'" /> },
to: { x: 2, y: -1, z: 0, label: <InlineMath math="B'" /> },
},
{
from: { x: 2, y: -1, z: 0, label: <InlineMath math="B'" /> },
to: { x: -2, y: 1, z: 0, label: <InlineMath math="C'" /> },
},
{
from: { x: -2, y: 1, z: 0, label: <InlineMath math="C'" /> },
to: { x: -1, y: -4, z: 0, label: <InlineMath math="A'" /> },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [
{
text: segment.from.label,
at: 0,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{ text: segment.to.label, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
})),
]
  Visible text: [
// Ausgangsdreieck ABC
...[
{
from: { x: -1, y: 4, z: 0, label: },
to: { x: 2, y: 1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 2, y: 1, z: 0, label: },
to: { x: -2, y: -1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -2, y: -1, z: 0, label: },
to: { x: -1, y: 4, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#ea580c",
showPoints: true,
labels: [
{
text: segment.from.label,
at: 0,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{ text: segment.to.label, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
})),
// Bilddreieck A'B'C'
...[
{
from: { x: -1, y: -4, z: 0, label: },
to: { x: 2, y: -1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 2, y: -1, z: 0, label: },
to: { x: -2, y: 1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -2, y: 1, z: 0, label: },
to: { x: -1, y: -4, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [
{
text: segment.from.label,
at: 0,
offset: [0.3, 0.3, 0],
},
{ text: segment.to.label, at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
],
})),
]

### Eine Gerade spiegeln

Die Gerade $$2x - 3y = 0$$ wird an der $$x$$-Achse gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.

Visible text: Die Gerade wird an der -Achse gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.

**Lösung:**

Ein beliebiger Punkt $$P(a,b)$$ liege auf der Geraden $$2x - 3y = 0$$. Dann gilt:

Visible text: Ein beliebiger Punkt liege auf der Geraden . Dann gilt:

```math
2a - 3b = 0
```

Der an der $$x$$-Achse gespiegelte Punkt $$P(a,b)$$ ergibt das Bild <InlineMath math="P'(a,-b)" />.

Visible text: Der an der -Achse gespiegelte Punkt ergibt das Bild .

Um die Gleichung der gespiegelten Geraden zu erhalten, ersetzen wir die Koordinaten des Bildes durch neue Variablen. Seien <InlineMath math="x' = a" /> und <InlineMath math="y' = -b" />.

Visible text: Um die Gleichung der gespiegelten Geraden zu erhalten, ersetzen wir die Koordinaten des Bildes durch neue Variablen. Seien und .

Daraus erhalten wir <InlineMath math="a = x'" /> und <InlineMath math="b = -y'" />.

Visible text: Daraus erhalten wir und .

Wir setzen <InlineMath math="a = x'" /> und <InlineMath math="b = -y'" /> in die ursprüngliche Gleichung $$2a - 3b = 0$$ ein:

Visible text: Wir setzen und in die ursprüngliche Gleichung ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
2(x') - 3(-y') = 0
```

```math
2x' + 3y' = 0
```

Da <InlineMath math="x'" /> und <InlineMath math="y'" /> beliebige Variablen sind, die die Koordinaten auf der gespiegelten Geraden darstellen, können wir sie als $$x$$ und $$y$$ umschreiben.

Visible text: Da und beliebige Variablen sind, die die Koordinaten auf der gespiegelten Geraden darstellen, können wir sie als und umschreiben.

Somit lautet die Gleichung der gespiegelten Geraden:

Component: ContentStack
Children:

```math
2x + 3y = 0
```

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelung der Geraden $$2x - 3y = 0$$ an der $$x$$-Achse
  Visible text: Spiegelung der Geraden an der -Achse
- description: Die ursprüngliche Gerade $$2x - 3y = 0$$ in Grün und ihre
Bildgerade $$2x + 3y = 0$$ in Magenta.
  Visible text: Die ursprüngliche Gerade in Grün und ihre
Bildgerade in Magenta.
- cameraPosition: [0, 0, 15]
- showZAxis: false
- data: [
{
// Ursprüngliche Gerade: 2x - 3y = 0 => y = (2/3)x
points: [
{ x: -6, y: (2 / 3) * -6, z: 0 },
{ x: 6, y: (2 / 3) * 6, z: 0 },
],
color: "#65a30d",
labels: [{ text: $$2x-3y=0$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
// Gespiegelte Gerade: 2x + 3y = 0 => y = -(2/3)x
points: [
{ x: -6, y: -(2 / 3) * -6, z: 0 },
{ x: 6, y: -(2 / 3) * 6, z: 0 },
],
color: "#c026d3",
labels: [{ text: $$2x+3y=0$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
// Ursprüngliche Gerade: 2x - 3y = 0 => y = (2/3)x
points: [
{ x: -6, y: (2 / 3) * -6, z: 0 },
{ x: 6, y: (2 / 3) * 6, z: 0 },
],
color: "#65a30d",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
// Gespiegelte Gerade: 2x + 3y = 0 => y = -(2/3)x
points: [
{ x: -6, y: -(2 / 3) * -6, z: 0 },
{ x: 6, y: -(2 / 3) * 6, z: 0 },
],
color: "#c026d3",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
},
]

Dies zeigt, wie sich die Gleichung einer Gerade ändert, nachdem sie an der $$x$$-Achse gespiegelt wurde.

Visible text: Dies zeigt, wie sich die Gleichung einer Gerade ändert, nachdem sie an der -Achse gespiegelt wurde.