# Spiegelung an der y-Achse

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/spiegelung-an-der-y-achse
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-over-y-axis/de.mdx

Spiegle Punkte, Dreiecke und Geraden an der y-Achse und wende die Koordinatenregel auf Gleichungen und Visualisierungen an.

---

## Spiegelung an der y-Achse verstehen

Die Spiegelung an der $$y$$-Achse bildet jeden Punkt auf die gegenüberliegende Seite der $$y$$-Achse ab. Stell dir die $$y$$-Achse als senkrechten Spiegel vor: Urbild und Bildpunkt haben denselben Abstand zur $$y$$-Achse.

Visible text: Die Spiegelung an der -Achse bildet jeden Punkt auf die gegenüberliegende Seite der -Achse ab. Stell dir die -Achse als senkrechten Spiegel vor: Urbild und Bildpunkt haben denselben Abstand zur -Achse.

### Regel für die Spiegelung an der y-Achse

Wenn ein Punkt $$P(x, y)$$ an der $$y$$-Achse gespiegelt wird, folgen die Koordinaten seines Bildes, <InlineMath math="P'(x', y')" />, der Regel:

Visible text: Wenn ein Punkt an der -Achse gespiegelt wird, folgen die Koordinaten seines Bildes, , der Regel:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = -x
```

```math
y' = y
```

Somit ist das Bild des Punktes $$P(x, y)$$ <InlineMath math="P'(-x, y)" />.

Visible text: Somit ist das Bild des Punktes .

Die $$y$$-Koordinate bleibt unverändert, während die $$x$$-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt.

Visible text: Die -Koordinate bleibt unverändert, während die -Koordinate ihr Vorzeichen wechselt.

## Einen Punkt spiegeln

Angenommen, wir haben den Punkt $$A(3, 4)$$. Wenn der Punkt $$A$$ an der $$y$$-Achse gespiegelt wird, kann sein Bild <InlineMath math="A'" /> wie folgt bestimmt werden:

Visible text: Angenommen, wir haben den Punkt . Wenn der Punkt an der -Achse gespiegelt wird, kann sein Bild wie folgt bestimmt werden:

Die ursprüngliche $$x$$-Koordinate ist $$3$$, also <InlineMath math="x' = -3" />.

Visible text: Die ursprüngliche -Koordinate ist , also .

Die ursprüngliche $$y$$-Koordinate ist $$4$$, also <InlineMath math="y' = 4" />.

Visible text: Die ursprüngliche -Koordinate ist , also .

Somit ist das Bild des Punktes $$A$$ <InlineMath math="A'(-3, 4)" />.

Visible text: Somit ist das Bild des Punktes .

Die Visualisierung zeigt diese Symmetrie unmittelbar:

Component: LineEquation
Props:
- title: Punkt $$A(3,4)$$ und sein Bild{" "}
<InlineMath math="A'(-3,4)" />
  Visible text: Punkt und sein Bild
- description: Der Punkt $$A$$ und sein Bildpunkt <InlineMath math="A'" />
liegen gleich weit von der $$y$$-Achse entfernt.
  Visible text: Der Punkt und sein Bildpunkt 
liegen gleich weit von der -Achse entfernt.
- data: [
{
points: [{ x: 3, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$A(3,4)$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -3, y: 4, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <InlineMath math="A'(-3,4)" />, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: 3, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -3, y: 4, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 12]

## Ein Dreieck spiegeln

Spiegeln wir nun ein Dreieck $$PQR$$ mit den Eckpunkten $$P(1, 2)$$, $$Q(4, 4)$$ und $$R(2, 0)$$ an der $$y$$-Achse.

Visible text: Spiegeln wir nun ein Dreieck mit den Eckpunkten , und an der -Achse.

Um ein Dreieck zu spiegeln, müssen wir jeden seiner Eckpunkte spiegeln.

1.  Punkt $$P(1, 2)$$: Sein Bild ist <InlineMath math="P'(-1, 2)" />.
2.  Punkt $$Q(4, 4)$$: Sein Bild ist <InlineMath math="Q'(-4, 4)" />.
3.  Punkt $$R(2, 0)$$: Sein Bild ist <InlineMath math="R'(-2, 0)" />.

Visible text: 1. Punkt : Sein Bild ist .
2. Punkt : Sein Bild ist .
3. Punkt : Sein Bild ist .

Durch die Verbindung der Bildpunkte <InlineMath math="P'Q'R'" /> erhalten wir das gespiegelte Dreieck.

Visible text: Durch die Verbindung der Bildpunkte erhalten wir das gespiegelte Dreieck.

Component: LineEquation
Props:
- title: Dreieck $$PQR$$ und sein Bild{" "}
<InlineMath math="P'Q'R'" />
  Visible text: Dreieck und sein Bild
- description: Das Dreieck $$PQR$$ und sein Bilddreieck <InlineMath math="P'Q'R'" />
liegen symmetrisch zur $$y$$-Achse.
  Visible text: Das Dreieck und sein Bilddreieck 
liegen symmetrisch zur -Achse.
- data: [
...[
{
from: { x: 1, y: 2, z: 0, label: $$P(1,2)$$ },
to: { x: 4, y: 4, z: 0, label: $$Q(4,4)$$ },
},
{
from: { x: 4, y: 4, z: 0, label: $$Q(4,4)$$ },
to: { x: 2, y: 0, z: 0, label: $$R(2,0)$$ },
},
{
from: { x: 2, y: 0, z: 0, label: $$R(2,0)$$ },
to: { x: 1, y: 2, z: 0, label: $$P(1,2)$$ },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [
{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] },
{ text: segment.to.label, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] },
],
})),
...[
{
from: { x: -1, y: 2, z: 0, label: <InlineMath math="P'(-1,2)" /> },
to: { x: -4, y: 4, z: 0, label: <InlineMath math="Q'(-4,4)" /> },
},
{
from: { x: -4, y: 4, z: 0, label: <InlineMath math="Q'(-4,4)" /> },
to: { x: -2, y: 0, z: 0, label: <InlineMath math="R'(-2,0)" /> },
},
{
from: { x: -2, y: 0, z: 0, label: <InlineMath math="R'(-2,0)" /> },
to: { x: -1, y: 2, z: 0, label: <InlineMath math="P'(-1,2)" /> },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
{ text: segment.to.label, at: 1, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
],
})),
]
  Visible text: [
...[
{
from: { x: 1, y: 2, z: 0, label: },
to: { x: 4, y: 4, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 4, y: 4, z: 0, label: },
to: { x: 2, y: 0, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 2, y: 0, z: 0, label: },
to: { x: 1, y: 2, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [
{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] },
{ text: segment.to.label, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] },
],
})),
...[
{
from: { x: -1, y: 2, z: 0, label: },
to: { x: -4, y: 4, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -4, y: 4, z: 0, label: },
to: { x: -2, y: 0, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -2, y: 0, z: 0, label: },
to: { x: -1, y: 2, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [
{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
{ text: segment.to.label, at: 1, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
],
})),
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 12]

## Eine Geradengleichung spiegeln

Gegeben ist die Gerade $$y = x + 2$$. Für ihre Spiegelung an der $$y$$-Achse ersetzen wir in der ursprünglichen Gleichung $$x$$ durch $$-x$$, denn <InlineMath math="x' = -x" />. Die Variable $$y$$ ersetzen wir durch $$y$$, denn <InlineMath math="y' = y" />.

Visible text: Gegeben ist die Gerade . Für ihre Spiegelung an der -Achse ersetzen wir in der ursprünglichen Gleichung durch , denn . Die Variable ersetzen wir durch , denn .

Ursprüngliche Gleichung:

```math
y = x + 2
```

Wir setzen $$x \rightarrow -x$$ ein:

Visible text: Wir setzen ein:

```math
y = (-x) + 2
```

Die Gleichung des Bildes lautet:

```math
y = -x + 2
```

Die beiden Geraden sehen so aus:

Component: LineEquation
Props:
- title: Gerade $$y = x + 2$$ und ihre Bildgerade{" "}
$$y = -x + 2$$
  Visible text: Gerade und ihre Bildgerade
- description: Spiegelung einer Geraden an der $$y$$-Achse.
  Visible text: Spiegelung einer Geraden an der -Achse.
- data: [
{
// Ursprüngliche Gerade y = x + 2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5) * 0.8; // x von -4 bis 4 für eine passende Darstellung
return { x, y: x + 2, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
smooth: true,
labels: [{ text: $$y=x+2$$, at: 9, offset: [0.7, -0.5, 0] }],
},
{
// Gespiegelte Gerade y = -x + 2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5) * 0.8; // x from -4 to 4
return { x, y: -x + 2, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
smooth: true,
labels: [{ text: $$y=-x+2$$, at: 1, offset: [-0.7, -0.5, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
// Ursprüngliche Gerade y = x + 2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5) * 0.8; // x von -4 bis 4 für eine passende Darstellung
return { x, y: x + 2, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
smooth: true,
labels: [{ text: , at: 9, offset: [0.7, -0.5, 0] }],
},
{
// Gespiegelte Gerade y = -x + 2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const x = (i - 5) * 0.8; // x from -4 to 4
return { x, y: -x + 2, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
smooth: true,
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.7, -0.5, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]

## Übungen

1.  Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von $$K(-5, 8)$$ bei der Spiegelung an der $$y$$-Achse.
2.  Ein Dreieck $$ABC$$ hat die Eckpunkte $$A(2, 1)$$, $$B(5, 3)$$ und $$C(3, 6)$$. Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks <InlineMath math="A'B'C'" /> nach der Spiegelung an der $$y$$-Achse.
3.  Bestimme die Gleichung der Bildgeraden von $$3x - 2y + 6 = 0$$ bei der Spiegelung an der $$y$$-Achse.
4.  Eine Gerade hat die Gleichung $$y = -3x - 4$$. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden nach der Spiegelung an der $$y$$-Achse.

Visible text: 1. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von bei der Spiegelung an der -Achse.
2. Ein Dreieck hat die Eckpunkte , und . Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks nach der Spiegelung an der -Achse.
3. Bestimme die Gleichung der Bildgeraden von bei der Spiegelung an der -Achse.
4. Eine Gerade hat die Gleichung . Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden nach der Spiegelung an der -Achse.

### Lösungen

1.  Das Bild des Punktes $$K(-5, 8)$$ ist <InlineMath math="K'(5, 8)" />.

    **Erklärung:** <InlineMath math="x' = -(-5) = 5" />, <InlineMath math="y' = 8" />.

2.  Die Koordinaten des Bilddreiecks <InlineMath math="A'B'C'" /> sind:

    - <InlineMath math="A'(-2, 1)" />
    - <InlineMath math="B'(-5, 3)" />
    - <InlineMath math="C'(-3, 6)" />

3.  Die Gleichung der Bildgeraden zu $$3x - 2y + 6 = 0$$ ist $$-3x - 2y + 6 = 0$$.

    **Erklärung:** Wir ersetzen $$x$$ durch $$-x$$ in der ursprünglichen Gleichung:

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    3(-x) - 2y + 6 = 0
    ```

      
    
    ```math
    -3x - 2y + 6 = 0
    ```

    </MathContainer>

4.  Die Gleichung der Bildgeraden zu $$y = -3x - 4$$ ist $$y = 3x - 4$$.

    **Erklärung:** Wir ersetzen $$x$$ durch $$-x$$:

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    y = -3(-x) - 4
    ```

      
    
    ```math
    y = 3x - 4
    ```

    </MathContainer>

Visible text: 1. Das Bild des Punktes ist .

 **Erklärung:** , .

2. Die Koordinaten des Bilddreiecks sind:

 - 
 - 
 - 

3. Die Gleichung der Bildgeraden zu ist .

 **Erklärung:** Wir ersetzen durch in der ursprünglichen Gleichung:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

4. Die Gleichung der Bildgeraden zu ist .

 **Erklärung:** Wir ersetzen durch :

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>