# Spiegelung an einer Geraden

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/spiegelung-an-einer-geraden
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-over-line/de.mdx

Verstehe Spiegelungen an beliebigen Geraden mithilfe von Mittelsenkrechten, gleichen Abständen und einer präzisen Visualisierung.

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## Was ist eine Spiegelung an einer Geraden?

Eine Spiegelung an einer Geraden bildet jeden Punkt der Ebene auf seine spiegelbildliche Position ab.

Die Gerade, an der gespiegelt wird, heißt **Spiegelgerade** oder **Spiegelachse**.

Stell dir einen ebenen Spiegel vor: Gegenstand und Spiegelbild liegen auf entgegengesetzten Seiten der Spiegelfläche und haben denselben Abstand zu ihr. Genau diese Beziehung beschreibt die geometrische Spiegelung.

Gegeben seien ein Punkt $$P(x,y)$$ und eine Spiegelgerade $$m$$. Der Bildpunkt <InlineMath math="P'(x',y')" /> hat die folgenden Eigenschaften:

Visible text: Gegeben seien ein Punkt und eine Spiegelgerade . Der Bildpunkt hat die folgenden Eigenschaften:

1.  **Wenn der Punkt $$P$$ auf der Spiegelgeraden $$m$$ liegt**:

    Sein Bild ist der Punkt selbst.

    <BlockMath math="P' = P" />

2.  **Falls der Punkt $$P$$ nicht auf der Spiegelgeraden $$m$$** liegt:

    Die Gerade $$m$$ ist die Mittelsenkrechte der Strecke <InlineMath math="PP'" />. Daraus folgen zwei wichtige Beziehungen:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="\overline{PP'} \perp m" />
      <BlockMath math="d(P,m) = d(P',m)" />
    </MathContainer>

    Folglich schneidet die Gerade $$m$$ die Strecke <InlineMath math="PP'" /> genau in deren Mittelpunkt. Wir nennen diesen Schnittpunkt $$M$$.

Visible text: 1. **Wenn der Punkt auf der Spiegelgeraden liegt**:

 Sein Bild ist der Punkt selbst.

 <BlockMath math="P' = P" />

2. **Falls der Punkt nicht auf der Spiegelgeraden ** liegt:

 Die Gerade ist die Mittelsenkrechte der Strecke . Daraus folgen zwei wichtige Beziehungen:

 <MathContainer>
 <BlockMath math="\overline{PP'} \perp m" />
 <BlockMath math="d(P,m) = d(P',m)" />
 </MathContainer>

 Folglich schneidet die Gerade die Strecke genau in deren Mittelpunkt. Wir nennen diesen Schnittpunkt .

## Spiegelung eines Punktes an einer Geraden visualisieren

Das folgende Beispiel zeigt beide Eigenschaften unmittelbar:

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelung eines Punktes an einer Geraden
- description: Der Punkt $$P(2,4)$$ wird an der Geraden{" "}
$$m$$ gespiegelt. Dabei entsteht der Bildpunkt{" "}
<InlineMath math="P'(3{,}6;0{,}8)" />.
  Visible text: Der Punkt wird an der Geraden 
 gespiegelt. Dabei entsteht der Bildpunkt 
.
- cameraPosition: [12, 8, 12]
- data: [
{
points: [
{ x: 0, y: 1, z: 0 },
{ x: 5, y: 3.5, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: <>$$m$$ (Spiegelgerade)</>,
at: 1,
offset: [1.2, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: 2, y: 4, z: 0 }],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [
{
text: <>$$P(2,4)$$ (ursprünglicher Punkt)</>,
at: 0,
offset: [1.2, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: 3.6, y: 0.8, z: 0 }],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [
{
text: <><InlineMath math="P'(3{,}6;0{,}8)" /> (Bildpunkt)</>,
at: 0,
offset: [1.7, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: 2.8, y: 2.4, z: 0 }],
color: "#db2777",
showPoints: true,
labels: [
{
text: <>$$M$$ (Mittelpunkt)</>,
at: 0,
offset: [3.0, -0.3, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 4, z: 0 },
{ x: 2.8, y: 2.4, z: 0 },
{ x: 3.6, y: 0.8, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
labels: [{ text: <InlineMath math="PP'" />, at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: 0, y: 1, z: 0 },
{ x: 5, y: 3.5, z: 0 },
],
color: "#0891b2",
lineWidth: 2,
labels: [
{
text: <> (Spiegelgerade)</>,
at: 1,
offset: [1.2, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: 2, y: 4, z: 0 }],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [
{
text: <> (ursprünglicher Punkt)</>,
at: 0,
offset: [1.2, 0.5, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: 3.6, y: 0.8, z: 0 }],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [
{
text: <> (Bildpunkt)</>,
at: 0,
offset: [1.7, -0.5, 0],
},
],
},
{
points: [{ x: 2.8, y: 2.4, z: 0 }],
color: "#db2777",
showPoints: true,
labels: [
{
text: <> (Mittelpunkt)</>,
at: 0,
offset: [3.0, -0.3, 0],
},
],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 4, z: 0 },
{ x: 2.8, y: 2.4, z: 0 },
{ x: 3.6, y: 0.8, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [-0.3, 0.3, 0] }],
},
]

Diese geometrische Beziehung gilt für jede Spiegelgerade: Ausgangspunkt und Bildpunkt liegen auf einer Senkrechten zur Spiegelgeraden und haben von ihr den gleichen Abstand.