# Spiegelung an einer vertikalen Geraden

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/spiegelung-an-x-gleich-k
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Spiegle Punkte an einer Geraden der Form x = k und leite die Bildkoordinaten aus gleichen horizontalen Abständen ab.

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## Spiegelung an einer vertikalen Geraden verstehen

Bei der Spiegelung an der vertikalen Geraden $$x = k$$ wirkt die Gerade $$x = k$$ als Spiegel. Urbild und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten der Geraden, sofern der Punkt nicht selbst auf der Spiegelgeraden liegt.

Visible text: Bei der Spiegelung an der vertikalen Geraden wirkt die Gerade als Spiegel. Urbild und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten der Geraden, sofern der Punkt nicht selbst auf der Spiegelgeraden liegt.

Der horizontale Abstand des Urbildes zur Spiegelgeraden ist genauso groß wie der horizontale Abstand des Bildpunktes. Deshalb bleibt die $$y$$-Koordinate unverändert.

Visible text: Der horizontale Abstand des Urbildes zur Spiegelgeraden ist genauso groß wie der horizontale Abstand des Bildpunktes. Deshalb bleibt die -Koordinate unverändert.

### Regel für die Spiegelung an einer vertikalen Geraden

Wenn ein Punkt $$P(x, y)$$ an der Geraden $$x = k$$ gespiegelt wird, werden die Koordinaten seines Bildes, <InlineMath math="P'(x', y')" />, durch die Regel bestimmt:

Visible text: Wenn ein Punkt an der Geraden gespiegelt wird, werden die Koordinaten seines Bildes, , durch die Regel bestimmt:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2k - x
```

```math
y' = y
```

Das Bild des Punktes $$P(x, y)$$ ist also <InlineMath math="P'(2k - x, y)" />. Die $$y$$-Koordinate bleibt gleich. Die $$x$$-Koordinate ändert sich entsprechend ihrem Abstand von der Geraden $$x=k$$.

Visible text: Das Bild des Punktes ist also . Die -Koordinate bleibt gleich. Die -Koordinate ändert sich entsprechend ihrem Abstand von der Geraden .

## Einen Punkt an einer vertikalen Geraden spiegeln

Bestimme das Bild des Punktes $$P(3,2)$$ bei der Spiegelung an der Geraden $$x=3$$.

Visible text: Bestimme das Bild des Punktes bei der Spiegelung an der Geraden .

In diesem Fall $$x=3$$, $$y=2$$ und $$k=3$$.

Visible text: In diesem Fall , und .

Mit der Regel <InlineMath math="P'(2k - x, y)" />:

Visible text: Mit der Regel :

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3
```

```math
y' = 2
```

Somit ist das Bild des Punktes $$P(3,2)$$ <InlineMath math="P'(3,2)" />. Der Punkt liegt auf der Spiegelgeraden, sein Abbild ist also der Punkt selbst.

Visible text: Somit ist das Bild des Punktes . Der Punkt liegt auf der Spiegelgeraden, sein Abbild ist also der Punkt selbst.

Im nächsten Beispiel liegt der Punkt nicht auf der Spiegelgeraden. Bestimme das Bild von $$A(1,4)$$ bei der Spiegelung an $$x=3$$.

Visible text: Im nächsten Beispiel liegt der Punkt nicht auf der Spiegelgeraden. Bestimme das Bild von bei der Spiegelung an .

Hier $$x=1$$, $$y=4$$ und $$k=3$$.

Visible text: Hier , und .

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5
```

```math
y' = 4
```

Somit ist das Bild des Punktes $$A(1,4)$$ <InlineMath math="A'(5,4)" />.

Visible text: Somit ist das Bild des Punktes .

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelbild eines Punktes an der Geraden $$x=k$$
  Visible text: Spiegelbild eines Punktes an der Geraden
- description: Spiegelung des Punktes $$A(1,4)$$ an der Geraden{" "}
$$x=3$$ mit dem Bildpunkt{" "}
<InlineMath math="A'(5,4)" />.
  Visible text: Spiegelung des Punktes an der Geraden 
 mit dem Bildpunkt 
.
- data: [
{
points: [
{ x: 3, y: -5, z: 0 },
{ x: 3, y: 5, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$x=3$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
{
points: [{ x: 1, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$A(1,4)$$, at: 0, offset: [-0.5, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 5, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <InlineMath math="A'(5,4)" />, at: 0, offset: [0.2, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 1, y: 4, z: 0 },
{ x: 5, y: 4, z: 0 },
],
color: "#db2777",
}, // Horizontale Hilfslinie
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: 3, y: -5, z: 0 },
{ x: 3, y: 5, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
{
points: [{ x: 1, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 5, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.2, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 1, y: 4, z: 0 },
{ x: 5, y: 4, z: 0 },
],
color: "#db2777",
}, // Horizontale Hilfslinie
]
- showZAxis: false

## Übungen

1.  Bestimme das Bild des Punktes $$P(3,2)$$ bei der Spiegelung an der Geraden $$x=5$$.
2.  Der Punkt $$B(-2, 5)$$ wird an der Geraden $$x=1$$ gespiegelt. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.
3.  Das Bild eines Punktes $$C(x,y)$$ nach der Spiegelung an der Geraden $$x=-2$$ ist <InlineMath math="C'(0,3)" />. Bestimme die Koordinaten von $$C$$.

Visible text: 1. Bestimme das Bild des Punktes bei der Spiegelung an der Geraden .
2. Der Punkt wird an der Geraden gespiegelt. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.
3. Das Bild eines Punktes nach der Spiegelung an der Geraden ist . Bestimme die Koordinaten von .

### Lösungen

1.  Gegeben seien $$P(3,2)$$ und die Spiegelgerade $$x=5$$. Also $$x=3, y=2, k=5$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 2k - x = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7" />
      <BlockMath math="y' = y = 2" />
    </MathContainer>

    Somit ist das Bild des Punktes $$P$$ <InlineMath math="P'(7,2)" />.

2.  Gegeben seien $$B(-2, 5)$$ und die Spiegelgerade $$x=1$$. Also $$x=-2, y=5, k=1$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 2k - x = 2(1) - (-2) = 2 + 2 = 4" />
      <BlockMath math="y' = y = 5" />
    </MathContainer>

    Somit ist das Bild des Punktes $$B$$ <InlineMath math="B'(4,5)" />.

3.  Gegeben sei das Bild <InlineMath math="C'(0,3)" /> und die Spiegelgerade $$x=-2$$. Also <InlineMath math="x'=0, y'=3, k=-2" />.

    Wir kennen <InlineMath math="x' = 2k - x" /> und <InlineMath math="y' = y" />.

    Aus <InlineMath math="y' = y" /> folgt $$y = 3$$.

    Aus <InlineMath math="x' = 2k - x" /> folgt $$0 = 2(-2) - x$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    0 = -4 - x
    ```

      
    
    ```math
    x = -4
    ```

    </MathContainer>

    Somit sind die Koordinaten des Punktes $$C$$ $$C(-4,3)$$.

Visible text: 1. Gegeben seien und die Spiegelgerade . Also .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 2k - x = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7" />
 <BlockMath math="y' = y = 2" />
 </MathContainer>

 Somit ist das Bild des Punktes .

2. Gegeben seien und die Spiegelgerade . Also .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 2k - x = 2(1) - (-2) = 2 + 2 = 4" />
 <BlockMath math="y' = y = 5" />
 </MathContainer>

 Somit ist das Bild des Punktes .

3. Gegeben sei das Bild und die Spiegelgerade . Also .

 Wir kennen und .

 Aus folgt .

 Aus folgt .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Somit sind die Koordinaten des Punktes .