# Spiegelung an einer horizontalen Geraden

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/spiegelung-an-y-gleich-h
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-over-y-equals-h/de.mdx

Spiegle Punkte an einer Geraden der Form y = h und leite die Bildkoordinaten aus gleichen vertikalen Abständen ab.

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## Spiegelung an einer horizontalen Geraden verstehen

Bei der Spiegelung an der horizontalen Geraden $$y = h$$ wirkt die Gerade $$y = h$$ als Spiegel. Urbild und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten der Geraden, sofern der Punkt nicht selbst auf der Spiegelgeraden liegt.

Visible text: Bei der Spiegelung an der horizontalen Geraden wirkt die Gerade als Spiegel. Urbild und Bildpunkt liegen auf verschiedenen Seiten der Geraden, sofern der Punkt nicht selbst auf der Spiegelgeraden liegt.

Der vertikale Abstand des Urbildes zur Spiegelgeraden ist genauso groß wie der vertikale Abstand des Bildpunktes. Deshalb bleibt die $$x$$-Koordinate unverändert.

Visible text: Der vertikale Abstand des Urbildes zur Spiegelgeraden ist genauso groß wie der vertikale Abstand des Bildpunktes. Deshalb bleibt die -Koordinate unverändert.

### Regel für die Spiegelung an einer horizontalen Geraden

Wenn ein Punkt $$P(x, y)$$ an der Geraden $$y = h$$ gespiegelt wird, werden die Koordinaten seines Bildes, <InlineMath math="P'(x', y')" />, durch die Regel bestimmt:

Visible text: Wenn ein Punkt an der Geraden gespiegelt wird, werden die Koordinaten seines Bildes, , durch die Regel bestimmt:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = x
```

```math
y' = 2h - y
```

Das Bild des Punktes $$P(x, y)$$ ist also <InlineMath math="P'(x, 2h - y)" />. Die $$x$$-Koordinate bleibt gleich. Die $$y$$-Koordinate ändert sich entsprechend ihrem Abstand von der Geraden $$y=h$$.

Visible text: Das Bild des Punktes ist also . Die -Koordinate bleibt gleich. Die -Koordinate ändert sich entsprechend ihrem Abstand von der Geraden .

## Einen Punkt an einer horizontalen Geraden spiegeln

Bestimme das Bild des Punktes $$P(3,2)$$ bei der Spiegelung an der Geraden $$y=3$$.

Visible text: Bestimme das Bild des Punktes bei der Spiegelung an der Geraden .

In diesem Fall $$x=3$$, $$y=2$$ und $$h=3$$.

Visible text: In diesem Fall , und .

Mit der Regel <InlineMath math="P'(x, 2h - y)" />:

Visible text: Mit der Regel :

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 3
```

```math
y' = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4
```

Somit ist das Bild des Punktes $$P(3,2)$$ <InlineMath math="P'(3,4)" />.

Visible text: Somit ist das Bild des Punktes .

Die Visualisierung macht die gleichen vertikalen Abstände sichtbar.

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelbild des Punktes $$P(3,2)$$ an der Geraden{" "}
$$y=3$$
  Visible text: Spiegelbild des Punktes an der Geraden
- description: Spiegelung des Punktes $$P(3,2)$$ an der Geraden{" "}
$$y=3$$ mit dem Bildpunkt{" "}
<InlineMath math="P'(3,4)" />.
  Visible text: Spiegelung des Punktes an der Geraden 
 mit dem Bildpunkt 
.
- data: [
{
points: [
{ x: -5, y: 3, z: 0 },
{ x: 5, y: 3, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$y=3$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
{
points: [{ x: 3, y: 2, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P(3,2)$$, at: 0, offset: [0.3, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 3, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <InlineMath math="P'(3,4)" />, at: 0, offset: [0.2, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
{ x: 3, y: 4, z: 0 },
],
color: "#db2777",
}, // Vertikale Hilfslinie
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: -5, y: 3, z: 0 },
{ x: 5, y: 3, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
{
points: [{ x: 3, y: 2, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 3, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.2, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
{ x: 3, y: 4, z: 0 },
],
color: "#db2777",
}, // Vertikale Hilfslinie
]
- showZAxis: false

## Übungen

1.  Bestimme das Bild des Punktes $$P(5,-4)$$ bei der Spiegelung an der Geraden $$y=-2$$.
2.  Der Punkt $$Q(-1, -3)$$ wird an der Geraden $$y=0$$, also an der $$x$$-Achse, gespiegelt. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.
3.  Das Bild eines Punktes $$R(x,y)$$ nach der Spiegelung an der Geraden $$y=4$$ ist <InlineMath math="R'(-2,5)" />. Bestimme die Koordinaten von $$R$$.

Visible text: 1. Bestimme das Bild des Punktes bei der Spiegelung an der Geraden .
2. Der Punkt wird an der Geraden , also an der -Achse, gespiegelt. Bestimme die Koordinaten seines Bildpunktes.
3. Das Bild eines Punktes nach der Spiegelung an der Geraden ist . Bestimme die Koordinaten von .

### Lösungen

1.  Gegeben seien $$P(5,-4)$$ und die Spiegelgerade $$y=-2$$. Also $$x=5, y=-4, h=-2$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = x = 5" />
      <BlockMath math="y' = 2h - y = 2(-2) - (-4) = -4 + 4 = 0" />
    </MathContainer>

    Somit ist das Bild des Punktes $$P$$ <InlineMath math="P'(5,0)" />.

2.  Gegeben seien $$Q(-1, -3)$$ und die Spiegelgerade $$y=0$$. Also $$x=-1, y=-3, h=0$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = x = -1" />
      <BlockMath math="y' = 2h - y = 2(0) - (-3) = 0 + 3 = 3" />
    </MathContainer>

    Somit ist das Bild des Punktes $$Q$$ <InlineMath math="Q'(-1,3)" />.

3.  Gegeben sei das Bild <InlineMath math="R'(-2,5)" /> und die Spiegelgerade $$y=4$$. Also <InlineMath math="x'=-2, y'=5, h=4" />.

    Wir kennen <InlineMath math="x' = x" /> und <InlineMath math="y' = 2h - y" />.

    Aus <InlineMath math="x' = x" /> folgt $$x = -2$$.

    Aus <InlineMath math="y' = 2h - y" /> folgt $$5 = 2(4) - y$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    5 = 8 - y
    ```

      
    
    ```math
    y = 8 - 5
    ```

      
    
    ```math
    y = 3
    ```

    </MathContainer>

    Somit sind die Koordinaten des Punktes $$R$$ $$R(-2,3)$$.

Visible text: 1. Gegeben seien und die Spiegelgerade . Also .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = x = 5" />
 <BlockMath math="y' = 2h - y = 2(-2) - (-4) = -4 + 4 = 0" />
 </MathContainer>

 Somit ist das Bild des Punktes .

2. Gegeben seien und die Spiegelgerade . Also .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = x = -1" />
 <BlockMath math="y' = 2h - y = 2(0) - (-3) = 0 + 3 = 3" />
 </MathContainer>

 Somit ist das Bild des Punktes .

3. Gegeben sei das Bild und die Spiegelgerade . Also .

 Wir kennen und .

 Aus folgt .

 Aus folgt .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Somit sind die Koordinaten des Punktes .