# Spiegelung an der Geraden y = -x

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Untersuche Spiegelungen an der fallenden Winkelhalbierenden anhand von Koordinatenregeln und ausgearbeiteten Beispielen.

---

## Spiegelung an der zweiten Winkelhalbierenden verstehen

Bei der Spiegelung an der Geraden $$y = -x$$ wirkt $$y = -x$$ als Spiegel. Weil sie die zweite Winkelhalbierende ist, werden die Koordinaten vertauscht und ihre Vorzeichen wechseln.

Visible text: Bei der Spiegelung an der Geraden wirkt als Spiegel. Weil sie die zweite Winkelhalbierende ist, werden die Koordinaten vertauscht und ihre Vorzeichen wechseln.

Urbild und Bildpunkt haben denselben Abstand zur Spiegelgeraden. Außerdem steht ihre Verbindungsstrecke senkrecht auf der Geraden $$y = -x$$.

Visible text: Urbild und Bildpunkt haben denselben Abstand zur Spiegelgeraden. Außerdem steht ihre Verbindungsstrecke senkrecht auf der Geraden .

### Regel für die Spiegelung an der zweiten Winkelhalbierenden

Wenn ein Punkt $$P(x, y)$$ an der Geraden $$y = -x$$ gespiegelt wird, werden die Koordinaten seines Bildes, <InlineMath math="P'(x', y')" />, durch die Regel bestimmt:

Visible text: Wenn ein Punkt an der Geraden gespiegelt wird, werden die Koordinaten seines Bildes, , durch die Regel bestimmt:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = -y
```

```math
y' = -x
```

Das Bild des Punktes $$P(x, y)$$ ist also <InlineMath math="P'(-y, -x)" />. Die Koordinaten $$x$$ und $$y$$ tauschen ihre Plätze und wechseln beide ihr Vorzeichen.

Visible text: Das Bild des Punktes ist also . Die Koordinaten und tauschen ihre Plätze und wechseln beide ihr Vorzeichen.

## Einen Punkt spiegeln

Angenommen, wir haben den Punkt $$D(2, 1)$$. Wenn der Punkt $$D$$ an der Geraden $$y = -x$$ gespiegelt wird, ist sein Bild <InlineMath math="D'" />:

Visible text: Angenommen, wir haben den Punkt . Wenn der Punkt an der Geraden gespiegelt wird, ist sein Bild :

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = -(1) = -1
```

```math
y' = -(2) = -2
```

Somit ist das Bild des Punktes $$D$$ <InlineMath math="D'(-1, -2)" />.

Visible text: Somit ist das Bild des Punktes .

Die folgenden Punktpaare machen beide Schritte der Spiegelung an $$y = -x$$ sichtbar:

Visible text: Die folgenden Punktpaare machen beide Schritte der Spiegelung an sichtbar:

Component: LineEquation
Props:
- title: Bild von Punkten an der Geraden $$y=-x$$
  Visible text: Bild von Punkten an der Geraden
- description: Visualisierung der Spiegelung mehrerer Punkte an der Geraden{" "}
$$y=-x$$.
  Visible text: Visualisierung der Spiegelung mehrerer Punkte an der Geraden 
.
- data: [
{
points: [
{ x: -6, y: 6, z: 0 },
{ x: 6, y: -6, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$y=-x$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
// Punkte A und A'
{
points: [{ x: -2, y: 4, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$A(-2,4)$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -4, y: 2, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: <InlineMath math="A'(-4,2)" />, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
// Punkte D und D'
{
points: [{ x: 2, y: 1, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$D(2,1)$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -1, y: -2, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <InlineMath math="D'(-1,-2)" />, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: -6, y: 6, z: 0 },
{ x: 6, y: -6, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
// Punkte A und A'
{
points: [{ x: -2, y: 4, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -4, y: 2, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
// Punkte D und D'
{
points: [{ x: 2, y: 1, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -1, y: -2, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]

## Ein Dreieck spiegeln

Bestimme das Bild des Dreiecks $$ABC$$ mit den Eckpunkten $$A(-2,4)$$, $$B(3,1)$$ und $$C(-3,-1)$$ bei der Spiegelung an der Geraden $$y=-x$$.

Visible text: Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten , und bei der Spiegelung an der Geraden .

Wir wenden die Koordinatenregel auf jeden Eckpunkt an:

1.  Punkt $$A(-2, 4)$$: Sein Bild ist <InlineMath math="A'(-4, 2)" />.
2.  Punkt $$B(3, 1)$$: Sein Bild ist <InlineMath math="B'(-1, -3)" />.
3.  Punkt $$C(-3, -1)$$: Sein Bild ist <InlineMath math="C'(1, 3)" />.

Visible text: 1. Punkt : Sein Bild ist .
2. Punkt : Sein Bild ist .
3. Punkt : Sein Bild ist .

Das Bilddreieck <InlineMath math="A'B'C'" /> entsteht durch die Verbindung der Punkte <InlineMath math="A'(-4, 2)" />, <InlineMath math="B'(-1, -3)" /> und <InlineMath math="C'(1, 3)" />.

Visible text: Das Bilddreieck entsteht durch die Verbindung der Punkte , und .

Component: LineEquation
Props:
- title: Dreieck $$ABC$$ und sein Bild{" "}
<InlineMath math="A'B'C'" /> an $$y=-x$$
  Visible text: Dreieck und sein Bild 
 an
- description: Das Dreieck $$ABC$$ und sein Bilddreieck <InlineMath math="A'B'C'" />
liegen symmetrisch zur Geraden $$y=-x$$.
  Visible text: Das Dreieck und sein Bilddreieck 
liegen symmetrisch zur Geraden .
- data: [
{
points: [
{ x: -7, y: 7, z: 0 },
{ x: 7, y: -7, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$y=-x$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
// Ausgangsdreieck ABC
...[
{
from: { x: -2, y: 4, z: 0, label: $$A(-2,4)$$ },
to: { x: 3, y: 1, z: 0, label: $$B(3,1)$$ },
},
{
from: { x: 3, y: 1, z: 0, label: $$B(3,1)$$ },
to: { x: -3, y: -1, z: 0, label: $$C(-3,-1)$$ },
},
{
from: { x: -3, y: -1, z: 0, label: $$C(-3,-1)$$ },
to: { x: -2, y: 4, z: 0, label: $$A(-2,4)$$ },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.4, 0.4, 0] }],
})),
// Bilddreieck A'B'C'
...[
{
from: { x: -4, y: 2, z: 0, label: <InlineMath math="A'(-4,2)" /> },
to: { x: -1, y: -3, z: 0, label: <InlineMath math="B'(-1,-3)" /> },
},
{
from: { x: -1, y: -3, z: 0, label: <InlineMath math="B'(-1,-3)" /> },
to: { x: 1, y: 3, z: 0, label: <InlineMath math="C'(1,3)" /> },
},
{
from: { x: 1, y: 3, z: 0, label: <InlineMath math="C'(1,3)" /> },
to: { x: -4, y: 2, z: 0, label: <InlineMath math="A'(-4,2)" /> },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
l ... [truncated; 1275 chars]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: -7, y: 7, z: 0 },
{ x: 7, y: -7, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
// Ausgangsdreieck ABC
...[
{
from: { x: -2, y: 4, z: 0, label: },
to: { x: 3, y: 1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 3, y: 1, z: 0, label: },
to: { x: -3, y: -1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -3, y: -1, z: 0, label: },
to: { x: -2, y: 4, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.4, 0.4, 0] }],
})),
// Bilddreieck A'B'C'
...[
{
from: { x: -4, y: 2, z: 0, label: },
to: { x: -1, y: -3, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -1, y: -3, z: 0, label: },
to: { x: 1, y: 3, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 1, y: 3, z: 0, label: },
to: { x: -4, y: 2, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
l ... [truncated; 1275 chars]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 18]

## Eine Geradengleichung spiegeln

Die Gerade $$y = -4x - 2$$ wird an der Geraden $$y=-x$$ gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.

Visible text: Die Gerade wird an der Geraden gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.

Um die Gleichung des Bildes zu finden, verwenden wir die Regel <InlineMath math="x' = -y" /> und <InlineMath math="y' = -x" />. Das bedeutet, dass wir jedes $$x$$ in der ursprünglichen Gleichung durch $$-y$$ und jedes $$y$$ durch $$-x$$ ersetzen.

Visible text: Um die Gleichung des Bildes zu finden, verwenden wir die Regel und . Das bedeutet, dass wir jedes in der ursprünglichen Gleichung durch und jedes durch ersetzen.

Ursprüngliche Gleichung:

```math
y = -4x - 2
```

Wir setzen $$x \rightarrow -y$$ und $$y \rightarrow -x$$ ein:

Visible text: Wir setzen und ein:

```math
(-x) = -4(-y) - 2
```

Anschließend lösen wir die Gleichung nach $$y$$ auf:

Visible text: Anschließend lösen wir die Gleichung nach auf:

Component: MathContainer
Children:

```math
-x = 4y - 2
```

```math
-x + 2 = 4y
```

```math
y = -\frac{1}{4}x + \frac{2}{4}
```

```math
y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}
```

Die Bildgerade von $$y = -4x - 2$$ hat nach der Spiegelung an $$y=-x$$ also die Gleichung $$y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$$.

Visible text: Die Bildgerade von hat nach der Spiegelung an also die Gleichung .

Component: LineEquation
Props:
- title: Gerade $$y=-4x-2$$ und ihre Bildgerade an{" "}
$$y=-x$$
  Visible text: Gerade und ihre Bildgerade an
- description: Spiegelung der Geraden $$y=-4x-2$$ an der Geraden{" "}
$$y=-x$$.
  Visible text: Spiegelung der Geraden an der Geraden 
.
- data: [
{
points: [
{ x: -7, y: 7, z: 0 },
{ x: 7, y: -7, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$y=-x$$, at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
{
// Ursprüngliche Gerade y = -4x - 2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = (i - 5) * 0.5; // x range to prevent it from being too steep
return { x: xVal, y: -4 * xVal - 2, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
smooth: true,
labels: [{ text: $$y=-4x-2$$, at: 6, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
// Bildgerade y = (-1/4)x + 1/2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = (i - 5) * 2; // x range to prevent it from being too flat
return { x: xVal, y: (-1 / 4) * xVal + 1 / 2, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
smooth: true,
labels: [{ text: $$y=(-\frac{1}{4})x+\frac{1}{2}$$, at: 8, offset: [0.5, -1, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: [
{ x: -7, y: 7, z: 0 },
{ x: 7, y: -7, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
{
// Ursprüngliche Gerade y = -4x - 2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = (i - 5) * 0.5; // x range to prevent it from being too steep
return { x: xVal, y: -4 * xVal - 2, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
smooth: true,
labels: [{ text: , at: 6, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
{
// Bildgerade y = (-1/4)x + 1/2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = (i - 5) * 2; // x range to prevent it from being too flat
return { x: xVal, y: (-1 / 4) * xVal + 1 / 2, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
smooth: true,
labels: [{ text: , at: 8, offset: [0.5, -1, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 18]

## Übungen

1.  Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von $$S(5, -9)$$ bei der Spiegelung an der Geraden $$y = -x$$.
2.  Bestimme das Bild des Dreiecks $$ABC$$ mit den Eckpunkten $$A(1, -2)$$, $$B(2, 3)$$ und $$C(-2, 0)$$ bei der Spiegelung an der Geraden $$y = -x$$.
3.  Die Gerade $$4x + 3y - 2 = 0$$ wird an der Geraden $$y = -x$$ gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.

Visible text: 1. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von bei der Spiegelung an der Geraden .
2. Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten , und bei der Spiegelung an der Geraden .
3. Die Gerade wird an der Geraden gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.

### Lösungen

1.  Das Bild des Punktes $$S(5, -9)$$ ist <InlineMath math="S'(9, -5)" />.

    **Erklärung:**

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = -(-9) = 9" />
      <BlockMath math="y' = -(5) = -5" />
    </MathContainer>

2.  Die Koordinaten des Bilddreiecks <InlineMath math="A'B'C'" /> sind:

    - <InlineMath math="A'(2, -1)" /> (von $$A(1, -2)$$)
    - <InlineMath math="B'(-3, -2)" /> (von $$B(2, 3)$$)
    - <InlineMath math="C'(0, 2)" /> (von $$C(-2, 0)$$)

3.  Aus der ursprünglichen Gleichung $$4x + 3y - 2 = 0$$ entsteht nach dem Einsetzen $$4(-y) + 3(-x) - 2 = 0$$.

    **Erklärung:** Wir setzen $$x \rightarrow -y$$ und $$y \rightarrow -x$$ in die ursprüngliche Gleichung ein:

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    4(-y) + 3(-x) - 2 = 0
    ```

      
    
    ```math
    -4y - 3x - 2 = 0
    ```

      
    
    ```math
    3x + 4y + 2 = 0
    ```

    </MathContainer>

Visible text: 1. Das Bild des Punktes ist .

 **Erklärung:**

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = -(-9) = 9" />
 <BlockMath math="y' = -(5) = -5" />
 </MathContainer>

2. Die Koordinaten des Bilddreiecks sind:

 - (von )
 - (von )
 - (von )

3. Aus der ursprünglichen Gleichung entsteht nach dem Einsetzen .

 **Erklärung:** Wir setzen und in die ursprüngliche Gleichung ein:

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>