# Spiegelung an der Geraden y = x
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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/spiegelung-an-y-gleich-x
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-over-y-equals-x/de.mdx
Lerne anhand von Punkten, Dreiecken und Gleichungen, wie sich Koordinaten bei einer Spiegelung an der steigenden Winkelhalbierenden vertauschen.
---
## Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden verstehen
Bei der Spiegelung an der Geraden $$y = x$$ wirkt $$y = x$$ als Spiegel. Weil sie die erste Winkelhalbierende ist, vertauschen sich die Rollen der beiden Koordinatenachsen.
Visible text: Bei der Spiegelung an der Geraden wirkt als Spiegel. Weil sie die erste Winkelhalbierende ist, vertauschen sich die Rollen der beiden Koordinatenachsen.
Urbild und Bildpunkt haben denselben Abstand zur Spiegelgeraden. Außerdem steht ihre Verbindungsstrecke senkrecht auf der Geraden $$y = x$$.
Visible text: Urbild und Bildpunkt haben denselben Abstand zur Spiegelgeraden. Außerdem steht ihre Verbindungsstrecke senkrecht auf der Geraden .
### Regel für die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden
Wenn ein Punkt $$P(x, y)$$ an der Geraden $$y = x$$ gespiegelt wird, folgen die Koordinaten seines Bildes, , einer einfachen Regel:
Visible text: Wenn ein Punkt an der Geraden gespiegelt wird, folgen die Koordinaten seines Bildes, , einer einfachen Regel:
Component: MathContainer
Children:
```math
x' = y
```
```math
y' = x
```
Das Bild des Punktes $$P(x, y)$$ ist also . Die Koordinaten $$x$$ und $$y$$ tauschen ihre Plätze.
Visible text: Das Bild des Punktes ist also . Die Koordinaten und tauschen ihre Plätze.
## Einen Punkt spiegeln
Angenommen, wir haben den Punkt $$A(1, 4)$$. Wenn der Punkt $$A$$ an der Geraden $$y = x$$ gespiegelt wird, kann sein Bild durch Vertauschen seiner Koordinaten bestimmt werden:
Visible text: Angenommen, wir haben den Punkt . Wenn der Punkt an der Geraden gespiegelt wird, kann sein Bild durch Vertauschen seiner Koordinaten bestimmt werden:
Die ursprüngliche $$x$$-Koordinate ist $$1$$ und wird zur neuen $$y$$-Koordinate.
Visible text: Die ursprüngliche -Koordinate ist und wird zur neuen -Koordinate.
Die ursprüngliche $$y$$-Koordinate ist $$4$$ und wird zur neuen $$x$$-Koordinate.
Visible text: Die ursprüngliche -Koordinate ist und wird zur neuen -Koordinate.
Somit ist das Bild des Punktes $$A$$ .
Visible text: Somit ist das Bild des Punktes .
Die folgenden Punktpaare machen den Koordinatentausch sichtbar:
Component: LineEquation
Props:
- title: Bild von Punkten an der Geraden $$y=x$$
Visible text: Bild von Punkten an der Geraden
- description: Visualisierung der Spiegelung mehrerer Punkte an der Geraden{" "}
$$y=x$$.
Visible text: Visualisierung der Spiegelung mehrerer Punkte an der Geraden
.
- data: [
{
points: [
{ x: -6, y: -6, z: 0 },
{ x: 6, y: 6, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$y=x$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
// Punkte A und A'
{
points: [{ x: 1, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$A(1,4)$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 4, y: 1, z: 0 }],
color: "#059669", // Urbild und Bildpunkt haben dieselbe Farbe
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
// Punkte B und B'
{
points: [{ x: -2, y: 2, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B(-2,2)$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: -2, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
// Punkte C und C'
{
points: [{ x: -1, y: -3, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$C(-1,-3)$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -3, y: -1, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: [
{ x: -6, y: -6, z: 0 },
{ x: 6, y: 6, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
// Punkte A und A'
{
points: [{ x: 1, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 4, y: 1, z: 0 }],
color: "#059669", // Urbild und Bildpunkt haben dieselbe Farbe
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
// Punkte B und B'
{
points: [{ x: -2, y: 2, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: -2, z: 0 }],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
// Punkte C und C'
{
points: [{ x: -1, y: -3, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -3, y: -1, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 15]
## Ein Dreieck spiegeln
Bestimme das Bild des Dreiecks $$ABC$$ mit den Eckpunkten $$A(-2,4)$$, $$B(3,1)$$ und $$C(-3,-1)$$ bei der Spiegelung an der Geraden $$y=x$$.
Visible text: Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten , und bei der Spiegelung an der Geraden .
Um das Dreieck zu spiegeln, spiegeln wir jeden seiner Eckpunkte an der Geraden $$y=x$$:
Visible text: Um das Dreieck zu spiegeln, spiegeln wir jeden seiner Eckpunkte an der Geraden :
1. Punkt $$A(-2, 4)$$: Sein Bild ist .
2. Punkt $$B(3, 1)$$: Sein Bild ist .
3. Punkt $$C(-3, -1)$$: Sein Bild ist .
Visible text: 1. Punkt : Sein Bild ist .
2. Punkt : Sein Bild ist .
3. Punkt : Sein Bild ist .
Das Bilddreieck entsteht durch die Verbindung der Punkte , und .
Visible text: Das Bilddreieck entsteht durch die Verbindung der Punkte , und .
Component: LineEquation
Props:
- title: Dreieck $$ABC$$ und sein Bild{" "}
an $$y=x$$
Visible text: Dreieck und sein Bild
an
- description: Das Dreieck $$ABC$$ und sein Bilddreieck
liegen symmetrisch zur Geraden $$y=x$$.
Visible text: Das Dreieck und sein Bilddreieck
liegen symmetrisch zur Geraden .
- data: [
{
points: [
{ x: -7, y: -7, z: 0 },
{ x: 7, y: 7, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$y=x$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
// Ausgangsdreieck ABC
...[
{
from: { x: -2, y: 4, z: 0, label: $$A(-2,4)$$ },
to: { x: 3, y: 1, z: 0, label: $$B(3,1)$$ },
},
{
from: { x: 3, y: 1, z: 0, label: $$B(3,1)$$ },
to: { x: -3, y: -1, z: 0, label: $$C(-3,-1)$$ },
},
{
from: { x: -3, y: -1, z: 0, label: $$C(-3,-1)$$ },
to: { x: -2, y: 4, z: 0, label: $$A(-2,4)$$ },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.4, 0.4, 0] }],
})),
// Bilddreieck A'B'C'
...[
{
from: { x: 4, y: -2, z: 0, label: },
to: { x: 1, y: 3, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 1, y: 3, z: 0, label: },
to: { x: -1, y: -3, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -1, y: -3, z: 0, label: },
to: { x: 4, y: -2, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
l ... [truncated; 1275 chars]
Visible text: [
{
points: [
{ x: -7, y: -7, z: 0 },
{ x: 7, y: 7, z: 0 },
],
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
// Ausgangsdreieck ABC
...[
{
from: { x: -2, y: 4, z: 0, label: },
to: { x: 3, y: 1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 3, y: 1, z: 0, label: },
to: { x: -3, y: -1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -3, y: -1, z: 0, label: },
to: { x: -2, y: 4, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.4, 0.4, 0] }],
})),
// Bilddreieck A'B'C'
...[
{
from: { x: 4, y: -2, z: 0, label: },
to: { x: 1, y: 3, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 1, y: 3, z: 0, label: },
to: { x: -1, y: -3, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -1, y: -3, z: 0, label: },
to: { x: 4, y: -2, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
l ... [truncated; 1275 chars]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 18]
## Eine Geradengleichung spiegeln
Die Gerade $$y = 2x + 3$$ wird an der Geraden $$y=x$$ gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.
Visible text: Die Gerade wird an der Geraden gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.
Um die Gleichung des Bildes zu finden, verwenden wir die Regel und . Das bedeutet, dass wir jedes $$x$$ in der ursprünglichen Gleichung durch $$y$$ (oder ) und jedes $$y$$ durch $$x$$ (oder ) ersetzen.
Visible text: Um die Gleichung des Bildes zu finden, verwenden wir die Regel und . Das bedeutet, dass wir jedes in der ursprünglichen Gleichung durch (oder ) und jedes durch (oder ) ersetzen.
Ursprüngliche Gleichung:
```math
y = 2x + 3
```
Wir setzen $$x \rightarrow y$$ und $$y \rightarrow x$$ ein. Für die neuen Variablen verwenden wir anschließend wieder die üblichen Bezeichnungen $$x$$ und $$y$$:
Visible text: Wir setzen und ein. Für die neuen Variablen verwenden wir anschließend wieder die üblichen Bezeichnungen und :
```math
x = 2y + 3
```
Dies ist die Gleichung der Bildgeraden. Normalerweise schreiben wir diese Gleichung in der Form $$y$$ als Funktion von $$x$$ um:
Visible text: Dies ist die Gleichung der Bildgeraden. Normalerweise schreiben wir diese Gleichung in der Form als Funktion von um:
Component: MathContainer
Children:
```math
x - 3 = 2y
```
```math
y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}
```
Die Bildgerade von $$y = 2x + 3$$ hat nach der Spiegelung an $$y=x$$ also die Gleichung $$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$$.
Visible text: Die Bildgerade von hat nach der Spiegelung an also die Gleichung .
Component: LineEquation
Props:
- title: Gerade $$y=2x+3$$ und ihre Bildgerade an{" "}
$$y=x$$
Visible text: Gerade und ihre Bildgerade an
- description: Spiegelung der Geraden $$y=2x+3$$ an der Geraden{" "}
$$y=x$$.
Visible text: Spiegelung der Geraden an der Geraden
.
- data: [
{
points: [
{ x: -7, y: -7, z: 0 },
{ x: 7, y: 7, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: $$y=x$$, at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
{
// Ursprüngliche Gerade y = 2x + 3
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: 2 * xVal + 3, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
smooth: true,
labels: [{ text: $$y=2x+3$$, at: 4, offset: [-1, 0.5, 0] }],
},
{
// Bildgerade y = (1/2)x - 3/2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: (1 / 2) * xVal - 3 / 2, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
smooth: true,
labels: [{ text: $$y=(\frac{1}{2})x-\frac{3}{2}$$, at: 9, offset: [0.5, -1, 0] }],
},
]
Visible text: [
{
points: [
{ x: -7, y: -7, z: 0 },
{ x: 7, y: 7, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
labels: [{ text: , at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Spiegelgerade
{
// Ursprüngliche Gerade y = 2x + 3
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: 2 * xVal + 3, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
smooth: true,
labels: [{ text: , at: 4, offset: [-1, 0.5, 0] }],
},
{
// Bildgerade y = (1/2)x - 3/2
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: (1 / 2) * xVal - 3 / 2, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
smooth: true,
labels: [{ text: , at: 9, offset: [0.5, -1, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 18]
## Übungen
1. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von $$M(-4, 7)$$ bei der Spiegelung an der Geraden $$y = x$$.
2. Bestimme das Bild des Dreiecks $$ABC$$ mit den Eckpunkten $$A(1, -2)$$, $$B(2, 3)$$ und $$C(-2, 0)$$ bei der Spiegelung an der Geraden $$y = x$$.
3. Die Gerade $$y = -3x + 5$$ wird an der Geraden $$y = x$$ gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.
Visible text: 1. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von bei der Spiegelung an der Geraden .
2. Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten , und bei der Spiegelung an der Geraden .
3. Die Gerade wird an der Geraden gespiegelt. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden.
### Lösungen
1. Das Bild des Punktes $$M(-4, 7)$$ ist .
**Erklärung:** Die Koordinaten $$x$$ und $$y$$ sind vertauscht: , .
2. Die Koordinaten des Bilddreiecks sind:
- (von $$A(1, -2)$$)
- (von $$B(2, 3)$$)
- (von $$C(-2, 0)$$)
3. Aus der Gleichung $$y = -3x + 5$$ wird durch den Koordinatentausch die Bildgleichung $$x = -3y + 5$$.
**Erklärung:** Wir setzen $$x \rightarrow y$$ und $$y \rightarrow x$$ in die ursprüngliche Gleichung ein:
```math
x = -3y + 5
```
In der Form $$y = mx+c$$ ergibt sich:
```math
3y = -x + 5
```
```math
y = -\frac{1}{3}x + \frac{5}{3}
```
Visible text: 1. Das Bild des Punktes ist .
**Erklärung:** Die Koordinaten und sind vertauscht: , .
2. Die Koordinaten des Bilddreiecks sind:
- (von )
- (von )
- (von )
3. Aus der Gleichung wird durch den Koordinatentausch die Bildgleichung .
**Erklärung:** Wir setzen und in die ursprüngliche Gleichung ein:
In der Form ergibt sich: