# Spiegelungsmatrix für einen beliebigen Punkt

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Spiegle Punkte an einem beliebigen Spiegelzentrum, indem du Verschiebungen und Matrixoperationen miteinander verknüpfst.

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## Spiegelungsmatrix für einen beliebigen Spiegelpunkt bestimmen

Das Bild eines Punktes $$(x,y)$$, der am Punkt $$(a,b)$$ gespiegelt wird, ist $$(-x+2a, -y+2b)$$ oder $$(2a-x, 2b-y)$$.

Visible text: Das Bild eines Punktes , der am Punkt gespiegelt wird, ist oder .

Diese Transformation lässt sich nicht allein durch eine $$2 \times 2$$-Matrix beschreiben. Weil das Spiegelzentrum $$(a,b)$$ nicht im Ursprung liegt, brauchen wir zusätzlich eine Verschiebung.

Visible text: Diese Transformation lässt sich nicht allein durch eine -Matrix beschreiben. Weil das Spiegelzentrum nicht im Ursprung liegt, brauchen wir zusätzlich eine Verschiebung.

Wir können diese Transformation jedoch als eine Kombination von Matrixoperationen darstellen:

1. Verschiebe den Punkt $$(x,y)$$ so, dass das Spiegelzentrum $$(a,b)$$ im Ursprung liegt. Dadurch entsteht $$(x-a, y-b)$$.
2. Spiegle den verschobenen Punkt mit der Matrix $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ am Ursprung.
3. Verschiebe das Ergebnis zurück, indem du die Koordinaten des Spiegelzentrums $$(a,b)$$ addierst.

Visible text: 1. Verschiebe den Punkt so, dass das Spiegelzentrum im Ursprung liegt. Dadurch entsteht .
2. Spiegle den verschobenen Punkt mit der Matrix am Ursprung.
3. Verschiebe das Ergebnis zurück, indem du die Koordinaten des Spiegelzentrums addierst.

Mathematisch gilt, wenn <InlineMath math="(x', y')" /> das Bild von $$(x,y)$$ ist:

Visible text: Mathematisch gilt, wenn das Bild von ist:

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(x-a) \\ -(y-b) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x+a \\ -y+b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x+2a \\ -y+2b \end{pmatrix}
```

Damit erhalten wir wieder die bekannte Koordinatenregel.

### Spiegelung an einem Punkt mit Matrizen

Die mit der Spiegelung am Punkt $$P(a,b)$$ für jeden Punkt $$(x,y)$$ verbundene Matrixoperation lautet:

Visible text: Die mit der Spiegelung am Punkt für jeden Punkt verbundene Matrixoperation lautet:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```

Dieselbe Abbildung lässt sich auch in den drei beschriebenen Schritten schreiben:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right) + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```

Beim Ausmultiplizieren entsteht $$\begin{pmatrix} -x+2a \\ -y+2b \end{pmatrix}$$. Das ist genau die Koordinatenregel $$(x,y) \mapsto (2a-x,2b-y)$$. In Vektorform lautet dieselbe Beziehung <InlineMath math="Q'=2P-Q" />: Das Zentrum ist der Mittelpunkt zwischen dem Ausgangspunkt und seinem Bildpunkt.

Visible text: Beim Ausmultiplizieren entsteht . Das ist genau die Koordinatenregel . In Vektorform lautet dieselbe Beziehung : Das Zentrum ist der Mittelpunkt zwischen dem Ausgangspunkt und seinem Bildpunkt.

## Das Bild eines Punktes finden

Bestimme das Bild des Punktes $$(2,3)$$ bei der Spiegelung am Punkt $$(1,1)$$.

Visible text: Bestimme das Bild des Punktes bei der Spiegelung am Punkt .

**Lösung:**

Ausgangspunkt ist $$(x,y) = (2,3)$$, das Spiegelzentrum ist $$(a,b) = (1,1)$$.

Visible text: Ausgangspunkt ist , das Spiegelzentrum ist .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
```

```math
= \begin{pmatrix} (-1)(2) + (0)(3) \\ (0)(2) + (-1)(3) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}
```

```math
= \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+2 \\ -3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}
```

Visualisierung:

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelung von $$Q(2,3)$$ an{" "}
$$P(1,1)$$
  Visible text: Spiegelung von an
- description: Der Punkt $$Q(2,3)$$ wird an{" "}
$$P(1,1)$$ gespiegelt. Sein Bild ist <InlineMath math="Q'(0,-1)" />.
  Visible text: Der Punkt wird an 
 gespiegelt. Sein Bild ist .
- data: [
{
points: [{ x: 1, y: 1, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>$$P(1,1)$$ - Spiegelzentrum</>, at: 0, offset: [0.3, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>$$Q(2,3)$$ - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: -1, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <><InlineMath math="Q'(0,-1)" /> - Bild</>, at: 0, offset: [-0.8, -0.2, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 0, y: -1, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Verbindungslinie QQ'
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: 1, y: 1, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Spiegelzentrum</>, at: 0, offset: [0.3, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 0, y: -1, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Bild</>, at: 0, offset: [-0.8, -0.2, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 0, y: -1, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Verbindungslinie QQ'
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [1, 1, 10]

## Übungen

1.  Bestimme das Bild des Punktes $$(3,1)$$ bei der Spiegelung am Punkt $$(-2,-1)$$.
2.  Eine Gerade verläuft durch die Punkte $$A(1,2)$$ und $$B(3,4)$$. Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden nach der Spiegelung am Punkt $$C(0,1)$$.

Visible text: 1. Bestimme das Bild des Punktes bei der Spiegelung am Punkt .
2. Eine Gerade verläuft durch die Punkte und . Bestimme die Gleichung ihrer Bildgeraden nach der Spiegelung am Punkt .

### Lösungen

1.  Ausgangspunkt ist $$(x,y) = (3,1)$$, das Spiegelzentrum ist $$(a,b) = (-2,-1)$$.

    Mit der Formel <InlineMath math="x' = 2a-x" /> und <InlineMath math="y' = 2b-y" />:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7" />
      <BlockMath math="y' = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3" />
    </MathContainer>

    Das Bild ist $$(-7,-3)$$. Mit der Matrixrechnung erhalten wir dasselbe Ergebnis:

    <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -3 \end{pmatrix}" />

2.  Spiegelzentrum $$C(0,1)$$. ($$a=0, b=1$$)

    Bild von Punkt $$A(1,2)$$:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x'_A = 2(0)-1 = -1" />
      <BlockMath math="y'_A = 2(1)-2 = 0" />
    </MathContainer>

    Also <InlineMath math="A'(-1,0)" />.

    Bild von Punkt $$B(3,4)$$:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x'_B = 2(0)-3 = -3" />
      <BlockMath math="y'_B = 2(1)-4 = -2" />
    </MathContainer>

    Also <InlineMath math="B'(-3,-2)" />.

    Die Bildgerade verläuft durch <InlineMath math="A'(-1,0)" /> und <InlineMath math="B'(-3,-2)" />.

    Steigung <InlineMath math="m' = \frac{-2 - 0}{-3 - (-1)} = \frac{-2}{-2} = 1" />.

    Gleichung der Geraden:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="y - y'_A = m'(x - x'_A)" />
      
    
    ```math
    y - 0 = 1(x - (-1))
    ```

      
    
    ```math
    y = x + 1
    ```

    </MathContainer>

    oder

    
    
    ```math
    x - y + 1 = 0
    ```

Visible text: 1. Ausgangspunkt ist , das Spiegelzentrum ist .

 Mit der Formel und :

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7" />
 <BlockMath math="y' = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3" />
 </MathContainer>

 Das Bild ist . Mit der Matrixrechnung erhalten wir dasselbe Ergebnis:

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -3 \end{pmatrix}" />

2. Spiegelzentrum . ()

 Bild von Punkt :

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x'_A = 2(0)-1 = -1" />
 <BlockMath math="y'_A = 2(1)-2 = 0" />
 </MathContainer>

 Also .

 Bild von Punkt :

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x'_B = 2(0)-3 = -3" />
 <BlockMath math="y'_B = 2(1)-4 = -2" />
 </MathContainer>

 Also .

 Die Bildgerade verläuft durch und .

 Steigung .

 Gleichung der Geraden:

 <MathContainer>
 <BlockMath math="y - y'_A = m'(x - x'_A)" />
 
 

 
 

 </MathContainer>

 oder