# Spiegelungsmatrix für den Ursprung
> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.
URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/spiegelungsmatrix-um-den-ursprung
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-matrix-center/de.mdx
Leite die Spiegelungsmatrix für den Ursprung her und berechne damit die Bildpunkte einzelner Punkte und ganzer Dreiecke.
---
## Spiegelungsmatrix für den Ursprung bestimmen
Die Spiegelung eines Punktes $$(x,y)$$ am Ursprung $$O(0,0)$$ ergibt den Bildpunkt $$(-x,-y)$$. Diese Spiegelung entspricht einer Drehung um $$180^\circ$$ um den Ursprung.
Visible text: Die Spiegelung eines Punktes am Ursprung ergibt den Bildpunkt . Diese Spiegelung entspricht einer Drehung um um den Ursprung.
Nun bestimmen wir eine $$2 \times 2$$-Matrix $$\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$$, die diese Transformation darstellt.
Visible text: Nun bestimmen wir eine -Matrix , die diese Transformation darstellt.
Die Einträge $$r, s, t, u$$ müssen für jeden Punkt die folgende Gleichung erfüllen:
Visible text: Die Einträge müssen für jeden Punkt die folgende Gleichung erfüllen:
```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}
```
Die Matrixmultiplikation liefert:
```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1x + 0y \\ 0x - 1y \end{pmatrix}
```
Durch Gleichsetzen der entsprechenden Koeffizienten erhalten wir:
- Für die erste Zeile: $$rx + sy = -1x + 0y$$. Dies bedeutet $$r = -1$$ und $$s = 0$$.
- Für die zweite Zeile: $$tx + uy = 0x - 1y$$. Dies bedeutet $$t = 0$$ und $$u = -1$$.
Visible text: - Für die erste Zeile: . Dies bedeutet und .
- Für die zweite Zeile: . Dies bedeutet und .
### Spiegelungsmatrix für den Ursprung
Die Spiegelungsmatrix für den Ursprung $$O(0,0)$$ lautet:
Visible text: Die Spiegelungsmatrix für den Ursprung lautet:
```math
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
```
## Spiegelungsmatrix für den Ursprung anwenden
### Beispiel: Zwei Punkte spiegeln
Bestimme die Bilder der Punkte $$A(-1,1)$$ und $$B(3,-2)$$ bei einer Spiegelung am Ursprung.
Visible text: Bestimme die Bilder der Punkte und bei einer Spiegelung am Ursprung.
**Lösung:**
Wir verwenden die Transformationsmatrix $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.
Visible text: Wir verwenden die Transformationsmatrix .
Für Punkt $$A(-1,1)$$:
Visible text: Für Punkt :
```math
\begin{pmatrix} x'_A \\ y'_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1) + (0)(1) \\ (0)(-1) + (-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}
```
Das Bild des Punktes $$A$$ ist .
Visible text: Das Bild des Punktes ist .
Für Punkt $$B(3,-2)$$:
Visible text: Für Punkt :
```math
\begin{pmatrix} x'_B \\ y'_B \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(3) + (0)(-2) \\ (0)(3) + (-1)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}
```
Das Bild des Punktes $$B$$ ist .
Visible text: Das Bild des Punktes ist .
Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelung der Punkte $$A$$ und $$B$${" "}
am Ursprung
Visible text: Spiegelung der Punkte und
am Ursprung
- description: Die Spiegelung am Ursprung $$O(0,0)$$ bildet{" "}
$$A(-1,1)$$ auf und{" "}
$$B(3,-2)$$ auf ab.
Visible text: Die Spiegelung am Ursprung bildet
auf und
auf ab.
- data: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Ursprung
// Punkte A und A'
{
points: [{ x: -1, y: 1, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$A(-1,1)$$, at: 0, offset: [-0.7, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 1, y: -1, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -1, y: 1, z: 0 },
{ x: 1, y: -1, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke AA'
// Punkte B und B'
{
points: [{ x: 3, y: -2, z: 0 }],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$B(3,-2)$$, at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -3, y: 2, z: 0 }],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.7, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3, y: -2, z: 0 },
{ x: -3, y: 2, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke BB'
]
Visible text: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Ursprung
// Punkte A und A'
{
points: [{ x: -1, y: 1, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.7, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 1, y: -1, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, -0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -1, y: 1, z: 0 },
{ x: 1, y: -1, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke AA'
// Punkte B und B'
{
points: [{ x: 3, y: -2, z: 0 }],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -3, y: 2, z: 0 }],
color: "#9333ea",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.7, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 3, y: -2, z: 0 },
{ x: -3, y: 2, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke BB'
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 10]
## Übungen
1. Bestimme die Bilder der Punkte $$A(1,-7)$$ und $$B(-7,-2)$$ bei einer Spiegelung am Ursprung.
2. Ein Dreieck $$PQR$$ hat die Eckpunkte $$P(2,2)$$, $$Q(5,2)$$ und $$R(3,5)$$. Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks nach der Spiegelung am Ursprung mithilfe der Matrixmultiplikation.
Visible text: 1. Bestimme die Bilder der Punkte und bei einer Spiegelung am Ursprung.
2. Ein Dreieck hat die Eckpunkte , und . Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks nach der Spiegelung am Ursprung mithilfe der Matrixmultiplikation.
### Lösungen
1. Die Spiegelungsmatrix für den Ursprung ist $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.
Für $$A(1,-7)$$:
```math
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}
```
Der erste Bildpunkt ist . Für $$B(-7,-2)$$ gilt:
```math
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}
```
Der zweite Bildpunkt ist .
2. Die Koordinatenmatrix der Eckpunkte von $$PQR$$ ist $$\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}$$.
```math
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -5 & -3 \\ -2 & -2 & -5 \end{pmatrix}
```
Die Bildpunkte sind , und .
Visible text: 1. Die Spiegelungsmatrix für den Ursprung ist .
Für :
Der erste Bildpunkt ist . Für gilt:
Der zweite Bildpunkt ist .
2. Die Koordinatenmatrix der Eckpunkte von ist .
Die Bildpunkte sind , und .