# Spiegelungsmatrix

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/spiegelungsmatrix
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/reflection-matrix/de.mdx

Leite die vier grundlegenden Spiegelungsmatrizen her und wende sie auf Punkte und Dreiecke an.

---

## Spiegelungsmatrix für die x-Achse

Bei der Spiegelung eines Punktes $$(x,y)$$ an der $$x$$-Achse bleibt die $$x$$-Koordinate erhalten, während die $$y$$-Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Der Bildpunkt ist also $$(x,-y)$$.

Visible text: Bei der Spiegelung eines Punktes an der -Achse bleibt die -Koordinate erhalten, während die -Koordinate ihr Vorzeichen wechselt. Der Bildpunkt ist also .

Wir suchen eine Matrix $$\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$$ mit:

Visible text: Wir suchen eine Matrix mit:

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1x + 0y \\ 0x - 1y \end{pmatrix}
```

Durch Gleichsetzung der Koeffizienten erhalten wir:

- $$rx + sy = 1x + 0y \implies r=1, s=0$$
- $$tx + uy = 0x - 1y \implies t=0, u=-1$$

Visible text: - 
-

Somit ist die Spiegelungsmatrix für die $$x$$-Achse $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Somit ist die Spiegelungsmatrix für die -Achse .

## Spiegelungsmatrix für die y-Achse

Die Spiegelung eines Punktes $$(x,y)$$ an der $$y$$-Achse ergibt $$(-x,y)$$.

Visible text: Die Spiegelung eines Punktes an der -Achse ergibt .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1x + 0y \\ 0x + 1y \end{pmatrix}
```

Dies ergibt $$r=-1, s=0, t=0, u=1$$.

Visible text: Dies ergibt .

Die Matrix ist $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Die Matrix ist .

## Spiegelungsmatrix für die erste Winkelhalbierende

Die Spiegelung eines Punktes $$(x,y)$$ an der Geraden $$y=x$$ ergibt $$(y,x)$$.

Visible text: Die Spiegelung eines Punktes an der Geraden ergibt .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0x + 1y \\ 1x + 0y \end{pmatrix}
```

Dies ergibt $$r=0, s=1, t=1, u=0$$.

Visible text: Dies ergibt .

Die Matrix ist $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Die Matrix ist .

## Spiegelungsmatrix für die zweite Winkelhalbierende

Die Spiegelung eines Punktes $$(x,y)$$ an der Geraden $$y=-x$$ ergibt $$(-y,-x)$$.

Visible text: Die Spiegelung eines Punktes an der Geraden ergibt .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0x - 1y \\ -1x + 0y \end{pmatrix}
```

Dies ergibt $$r=0, s=-1, t=-1, u=0$$.

Visible text: Dies ergibt .

Die Matrix ist $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Die Matrix ist .

## Grundlegende Spiegelungsmatrizen

- Spiegelungsmatrix für die $$x$$-Achse: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
- Spiegelungsmatrix für die $$y$$-Achse: $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
- Spiegelungsmatrix für Gerade $$y=x$$: $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
- Spiegelungsmatrix für Gerade $$y=-x$$: $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Visible text: - Spiegelungsmatrix für die -Achse: 
- Spiegelungsmatrix für die -Achse: 
- Spiegelungsmatrix für Gerade : 
- Spiegelungsmatrix für Gerade :

## Das Bild eines Punktes mit einer Matrix bestimmen

Bestimme das Bild von $$(3,-4)$$ bei der Spiegelung an der $$x$$-Achse.

Visible text: Bestimme das Bild von bei der Spiegelung an der -Achse.

**Lösung:**

Wir setzen den Punkt als Spaltenvektor in die Spiegelungsmatrix der $$x$$-Achse ein:

Visible text: Wir setzen den Punkt als Spaltenvektor in die Spiegelungsmatrix der -Achse ein:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(3) + (0)(-4) \\ (0)(3) + (-1)(-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}
```

Somit ist das Bild $$(3,4)$$.

Visible text: Somit ist das Bild .

## Das Bild eines Dreiecks mit einer Matrix bestimmen

Bestimme das Bild des Dreiecks $$ABC$$ mit den Eckpunkten $$A(3,1)$$, $$B(-2,3)$$ und $$C(2,-1)$$ bei der Spiegelung an der $$y$$-Achse.

Visible text: Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten , und bei der Spiegelung an der -Achse.

**Lösung:**

Die Spiegelungsmatrix für die $$y$$-Achse ist $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Die Spiegelungsmatrix für die -Achse ist .

Wir schreiben die Eckpunkte des Dreiecks $$ABC$$ spaltenweise in die Koordinatenmatrix $$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Wir schreiben die Eckpunkte des Dreiecks spaltenweise in die Koordinatenmatrix .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} x'_A & x'_B & x'_C \\ y'_A & y'_B & y'_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
```

```math
= \begin{pmatrix} (-1)(3)+0 & (-1)(-2)+0 & (-1)(2)+0 \\ 0+(1)(1) & 0+(1)(3) & 0+(1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
```

Das Bilddreieck <InlineMath math="A'B'C'" /> hat daher die Eckpunkte <InlineMath math="A'(-3,1)" />, <InlineMath math="B'(2,3)" /> und <InlineMath math="C'(-2,-1)" />.

Visible text: Das Bilddreieck hat daher die Eckpunkte , und .

Component: LineEquation
Props:
- title: Spiegelung von $$\triangle ABC$$ an der $$y$$-Achse
  Visible text: Spiegelung von an der -Achse
- description: Das Dreieck $$ABC$$ wird an der $$y$$-Achse
zum Bilddreieck <InlineMath math="A'B'C'" /> gespiegelt.
  Visible text: Das Dreieck wird an der -Achse
zum Bilddreieck gespiegelt.
- data: [
...[
{
from: { x: 3, y: 1, z: 0, label: $$A(3,1)$$ },
to: { x: -2, y: 3, z: 0, label: $$B(-2,3)$$ },
},
{
from: { x: -2, y: 3, z: 0, label: $$B(-2,3)$$ },
to: { x: 2, y: -1, z: 0, label: $$C(2,-1)$$ },
},
{
from: { x: 2, y: -1, z: 0, label: $$C(2,-1)$$ },
to: { x: 3, y: 1, z: 0, label: $$A(3,1)$$ },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
...[
{
from: { x: -3, y: 1, z: 0, label: <InlineMath math="A'(-3,1)" /> },
to: { x: 2, y: 3, z: 0, label: <InlineMath math="B'(2,3)" /> },
},
{
from: { x: 2, y: 3, z: 0, label: <InlineMath math="B'(2,3)" /> },
to: { x: -2, y: -1, z: 0, label: <InlineMath math="C'(-2,-1)" /> },
},
{
from: { x: -2, y: -1, z: 0, label: <InlineMath math="C'(-2,-1)" /> },
to: { x: -3, y: 1, z: 0, label: <InlineMath math="A'(-3,1)" /> },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
]
  Visible text: [
...[
{
from: { x: 3, y: 1, z: 0, label: },
to: { x: -2, y: 3, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -2, y: 3, z: 0, label: },
to: { x: 2, y: -1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 2, y: -1, z: 0, label: },
to: { x: 3, y: 1, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
...[
{
from: { x: -3, y: 1, z: 0, label: },
to: { x: 2, y: 3, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 2, y: 3, z: 0, label: },
to: { x: -2, y: -1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -2, y: -1, z: 0, label: },
to: { x: -3, y: 1, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 12]

## Übungen

1.  Bestimme das Bild des Punktes $$(3,5)$$ bei der Spiegelung an der $$x$$-Achse mit der Matrix $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.
2.  Bestimme das Bild des Dreiecks $$ABC$$ mit den Eckpunkten $$A(3,1)$$, $$B(-2,3)$$ und $$C(2,-1)$$ bei der Spiegelung an der Geraden $$y=-x$$.

Visible text: 1. Bestimme das Bild des Punktes bei der Spiegelung an der -Achse mit der Matrix .
2. Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten , und bei der Spiegelung an der Geraden .

### Lösungen

1.  Das Bild des Punktes $$(3,5)$$ bei der Spiegelung an der $$x$$-Achse mit der Matrix $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ ist:

    <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}" />

    Der Bildpunkt ist $$(3,-5)$$.

2.  Die Spiegelungsmatrix für $$y=-x$$ ist $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$.

    Die Koordinatenmatrix der Eckpunkte von $$ABC$$ ist $$\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
    ```

      
    
    ```math
    = \begin{pmatrix} (0)(3)+(-1)(1) & (0)(-2)+(-1)(3) & (0)(2)+(-1)(-1) \\ (-1)(3)+(0)(1) & (-1)(-2)+(0)(3) & (-1)(2)+(0)(-1) \end{pmatrix}
    ```

      
    
    ```math
    = \begin{pmatrix} -1 & -3 & 1 \\ -3 & 2 & -2 \end{pmatrix}
    ```

    </MathContainer>

    Damit erhalten wir die Bildpunkte <InlineMath math="A'(-1,-3)" />, <InlineMath math="B'(-3,2)" /> und <InlineMath math="C'(1,-2)" />.

Visible text: 1. Das Bild des Punktes bei der Spiegelung an der -Achse mit der Matrix ist:

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}" />

 Der Bildpunkt ist .

2. Die Spiegelungsmatrix für ist .

 Die Koordinatenmatrix der Eckpunkte von ist .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 
 

 </MathContainer>

 Damit erhalten wir die Bildpunkte , und .