# Zentrische Streckung

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/streckung
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Konstruiere zentrische Streckungen aus Zentrum und Streckfaktor und überprüfe Vergrößerungen und Verkleinerungen anhand von Grafiken und ausgearbeiteten Aufgaben.

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## Zentrische Streckung verstehen

Eine zentrische Streckung verändert die Größe eines geometrischen Objekts, ohne seine Form zu verändern. Die Lage jedes Bildpunktes wird durch das Streckzentrum und den Streckfaktor bestimmt.

### Formale Definition der zentrischen Streckung

Gegeben seien ein Punkt $$C$$ als Streckzentrum und ein Streckfaktor $$k \neq 0$$. Die zentrische Streckung eines Punktes $$A$$ bezüglich des Zentrums $$C$$ mit dem Faktor $$k$$, bezeichnet durch $$D_{(C,k)}$$, bildet $$A$$ auf den Bildpunkt <InlineMath math="A' = D_{(C,k)}(A)" /> ab. Dabei gilt <InlineMath math="\vec{CA'} = k \cdot \vec{CA}" />.

Visible text: Gegeben seien ein Punkt als Streckzentrum und ein Streckfaktor . Die zentrische Streckung eines Punktes bezüglich des Zentrums mit dem Faktor , bezeichnet durch , bildet auf den Bildpunkt ab. Dabei gilt .

Das bedeutet: Der Vektor vom Streckzentrum zum Bildpunkt ist das $$k\text{-Fache}$$ des Vektors vom Streckzentrum zum ursprünglichen Punkt.

Visible text: Das bedeutet: Der Vektor vom Streckzentrum zum Bildpunkt ist das des Vektors vom Streckzentrum zum ursprünglichen Punkt.

- Wenn $$|k| > 1$$, handelt es sich um eine Vergrößerung.
- Wenn $$0 < |k| < 1$$, handelt es sich um eine Verkleinerung.
- Wenn $$k > 0$$, liegen Ausgangspunkt und Bildpunkt auf derselben Seite des Streckzentrums.
- Wenn $$k < 0$$, liegen der Ausgangspunkt und sein Bild auf gegenüberliegenden Seiten des Streckzentrums. Die Richtung vom Zentrum kehrt sich dabei um.

Visible text: - Wenn , handelt es sich um eine Vergrößerung.
- Wenn , handelt es sich um eine Verkleinerung.
- Wenn , liegen Ausgangspunkt und Bildpunkt auf derselben Seite des Streckzentrums.
- Wenn , liegen der Ausgangspunkt und sein Bild auf gegenüberliegenden Seiten des Streckzentrums. Die Richtung vom Zentrum kehrt sich dabei um.

## Zentrische Streckung mit dem Ursprung als Zentrum

Wenn das Streckzentrum der Ursprung $$O(0,0)$$ ist und der Streckfaktor $$k$$ ist, dann ist für einen Punkt $$A(x,y)$$ sein Bild <InlineMath math="A'(x',y')" /> gegeben durch:

Visible text: Wenn das Streckzentrum der Ursprung ist und der Streckfaktor ist, dann ist für einen Punkt sein Bild gegeben durch:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = kx
```

```math
y' = ky
```

### Einen Punkt vom Ursprung aus strecken

Der Punkt $$A(1,2)$$ wird mit dem Zentrum $$(0,0)$$ und dem Streckfaktor $$2$$ gestreckt. Bestimme seinen Bildpunkt.

Visible text: Der Punkt wird mit dem Zentrum und dem Streckfaktor gestreckt. Bestimme seinen Bildpunkt.

Hier: $$x=1$$, $$y=2$$ und $$k=2$$.

Visible text: Hier: , und .

Das Streckzentrum liegt bei $$O(0,0)$$.

Visible text: Das Streckzentrum liegt bei .

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2 \cdot 1 = 2
```

```math
y' = 2 \cdot 2 = 4
```

Somit ist das Bild <InlineMath math="A'(2,4)" />.

Visible text: Somit ist das Bild .

Component: LineEquation
Props:
- title: Streckung von $$A(1,2)$$ vom Ursprung aus mit{" "}
$$k=2$$
  Visible text: Streckung von vom Ursprung aus mit
- description: Die zentrische Streckung mit dem Zentrum $$O(0,0)$$ und dem
Streckfaktor $$2$$ bildet $$A(1,2)$$ auf{" "}
<InlineMath math="A'(2,4)" /> ab.
  Visible text: Die zentrische Streckung mit dem Zentrum und dem
Streckfaktor bildet auf 
 ab.
- data: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O(0,0)$$, at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Streckzentrum
{
points: [{ x: 1, y: 2, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>$$A(1,2)$$ - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [1, 0.2, 0] }],
}, // Ausgangspunkt
{
points: [{ x: 2, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <><InlineMath math="A'(2,4)" /> - Bild</>, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
}, // Bildpunkt
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 2, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke OA
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 4, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke OA'
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Streckzentrum
{
points: [{ x: 1, y: 2, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [1, 0.2, 0] }],
}, // Ausgangspunkt
{
points: [{ x: 2, y: 4, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Bild</>, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
}, // Bildpunkt
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 1, y: 2, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke OA
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 4, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke OA'
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [1, 2, 15]

## Zentrische Streckung mit einem beliebigen Zentrum

Wenn das Streckzentrum ein beliebiger Punkt $$C(a,b)$$ ist und der Streckfaktor $$k$$ ist, dann ist für einen Punkt $$A(x,y)$$ sein Bild <InlineMath math="A'(x',y')" /> gegeben durch:

Visible text: Wenn das Streckzentrum ein beliebiger Punkt ist und der Streckfaktor ist, dann ist für einen Punkt sein Bild gegeben durch:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = a + k(x - a)
```

```math
y' = b + k(y - b)
```

Die Formel lässt sich in drei Schritten verstehen: Wir verschieben das Streckzentrum $$C$$ in den Ursprung, strecken dort mit dem Faktor $$k$$ und verschieben das Ergebnis anschließend zurück.

Visible text: Die Formel lässt sich in drei Schritten verstehen: Wir verschieben das Streckzentrum in den Ursprung, strecken dort mit dem Faktor und verschieben das Ergebnis anschließend zurück.

### Einen Punkt von einem beliebigen Zentrum aus strecken

Der Punkt $$C(5,2)$$ wird mit dem Zentrum $$P(2,3)$$ und dem Streckfaktor $$2$$ gestreckt. Bestimme seinen Bildpunkt.

Visible text: Der Punkt wird mit dem Zentrum und dem Streckfaktor gestreckt. Bestimme seinen Bildpunkt.

Für den Ausgangspunkt $$C(5,2)$$ gilt $$x=5, y=2$$.

Visible text: Für den Ausgangspunkt gilt .

Das Streckzentrum ist $$P(2,3)$$, also $$a=2, b=3$$.

Visible text: Das Streckzentrum ist , also .

Der Streckfaktor ist $$k=2$$.

Visible text: Der Streckfaktor ist .

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = 2 + 2(5 - 2) = 2 + 2(3) = 2 + 6 = 8
```

```math
y' = 3 + 2(2 - 3) = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1
```

Somit ist das Bild <InlineMath math="C'(8,1)" />.

Visible text: Somit ist das Bild .

Component: LineEquation
Props:
- title: Streckung von $$C(5,2)$$ mit dem Zentrum{" "}
$$P(2,3)$$, Faktor $$k=2$$
  Visible text: Streckung von mit dem Zentrum 
, Faktor
- description: Die zentrische Streckung mit dem Zentrum $$P(2,3)$$ und dem
Streckfaktor $$2$$ bildet $$C(5,2)$$ auf{" "}
<InlineMath math="C'(8,1)" /> ab.
  Visible text: Die zentrische Streckung mit dem Zentrum und dem
Streckfaktor bildet auf 
 ab.
- data: [
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>$$P(2,3)$$ - Streckzentrum</>, at: 0, offset: [1, 0.5, 0] }],
}, // Streckzentrum
{
points: [{ x: 5, y: 2, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>$$C(5,2)$$ - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Ausgangspunkt
{
points: [{ x: 8, y: 1, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <><InlineMath math="C'(8,1)" /> - Bild</>, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Bildpunkt
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 5, y: 2, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke PC
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 8, y: 1, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke PC'
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Streckzentrum</>, at: 0, offset: [1, 0.5, 0] }],
}, // Streckzentrum
{
points: [{ x: 5, y: 2, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Ausgangspunkt
{
points: [{ x: 8, y: 1, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Bild</>, at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
}, // Bildpunkt
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 5, y: 2, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke PC
{
points: [
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
{ x: 8, y: 1, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
}, // Strecke PC'
]
- showZAxis: false

## Übungen

1.  Bestimme das Bild von $$B(2,5)$$ unter der zentrischen Streckung $$D_{(O,3)}$$ mit dem Zentrum $$O(0,0)$$ und dem Streckfaktor $$3$$.
2.  Bestimme das Bild von $$B(2,5)$$ unter der zentrischen Streckung mit dem Zentrum $$P(1,3)$$ und dem Streckfaktor $$3$$.
3.  Ein Dreieck mit den Eckpunkten $$A(1,1)$$, $$B(3,1)$$ und $$C(1,4)$$ wird mit dem Zentrum $$O(0,0)$$ und dem Streckfaktor $$k=-2$$ gestreckt. Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks <InlineMath math="A'B'C'" />.

Visible text: 1. Bestimme das Bild von unter der zentrischen Streckung mit dem Zentrum und dem Streckfaktor .
2. Bestimme das Bild von unter der zentrischen Streckung mit dem Zentrum und dem Streckfaktor .
3. Ein Dreieck mit den Eckpunkten , und wird mit dem Zentrum und dem Streckfaktor gestreckt. Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks .

### Lösungen

1.  Ausgangspunkt $$B(2,5)$$, Streckzentrum $$O(0,0)$$, $$k=3$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 3 \cdot 2 = 6" />
      <BlockMath math="y' = 3 \cdot 5 = 15" />
    </MathContainer>

    Somit ist das Bild <InlineMath math="B'(6,15)" />.

2.  Ausgangspunkt $$B(2,5)$$, Streckzentrum $$P(1,3)$$, $$k=3$$. Damit gilt $$x=2, y=5, a=1, b=3$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = 1 + 3(2 - 1) = 1 + 3(1) = 1 + 3 = 4" />
      <BlockMath math="y' = 3 + 3(5 - 3) = 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9" />
    </MathContainer>

    Somit ist das Bild <InlineMath math="B'(4,9)" />.

3.  Streckzentrum $$O(0,0)$$, $$k=-2$$.

    - Für $$A(1,1)$$: <InlineMath math="A'(-2 \cdot 1, -2 \cdot 1) = A'(-2,-2)" />.
    - Für $$B(3,1)$$: <InlineMath math="B'(-2 \cdot 3, -2 \cdot 1) = B'(-6,-2)" />.
    - Für $$C(1,4)$$: <InlineMath math="C'(-2 \cdot 1, -2 \cdot 4) = C'(-2,-8)" />.

    Die Koordinaten des Bilddreiecks sind: <InlineMath math="A'(-2,-2)" />, <InlineMath math="B'(-6,-2)" />, <InlineMath math="C'(-2,-8)" />.

Visible text: 1. Ausgangspunkt , Streckzentrum , .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 3 \cdot 2 = 6" />
 <BlockMath math="y' = 3 \cdot 5 = 15" />
 </MathContainer>

 Somit ist das Bild .

2. Ausgangspunkt , Streckzentrum , . Damit gilt .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = 1 + 3(2 - 1) = 1 + 3(1) = 1 + 3 = 4" />
 <BlockMath math="y' = 3 + 3(5 - 3) = 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9" />
 </MathContainer>

 Somit ist das Bild .

3. Streckzentrum , .

 - Für : .
 - Für : .
 - Für : .

 Die Koordinaten des Bilddreiecks sind: , , .