# Streckungsmatrix

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Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/aksara/16d6b8e869d1a277313c65bbfc4b4a83efe77a46/packages/corpus/material/lesson/mathematics/geometric-transformation/dilation-matrix/de.mdx

Leite die Streckungsmatrix her und berechne damit Bildpunkte für den Ursprung und für beliebige Streckzentren.

---

## Matrix einer zentrischen Streckung bestimmen

Wie lässt sich eine zentrische Streckung als Matrix darstellen? Bei einer Streckung mit dem Zentrum $$O$$ und dem Streckfaktor $$k \neq 0$$ wird ein Punkt $$(x,y)$$ auf $$(kx,ky)$$ abgebildet.

Visible text: Wie lässt sich eine zentrische Streckung als Matrix darstellen? Bei einer Streckung mit dem Zentrum und dem Streckfaktor wird ein Punkt auf abgebildet.

Angenommen, die gesuchte Matrix ist $$\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix}$$.

Visible text: Angenommen, die gesuchte Matrix ist .

Gesucht sind $$r, s, t, u$$, sodass für jeden Punkt gilt:

Visible text: Gesucht sind , sodass für jeden Punkt gilt:

```math
\begin{pmatrix} r & s \\ t & u \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}
```

Aus der Matrixmultiplikation auf der linken Seite erhalten wir:

```math
\begin{pmatrix} rx + sy \\ tx + uy \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}
```

Wir vergleichen die Koeffizienten in den entsprechenden Komponenten:

- **Erste Zeile:** $$rx + sy = kx$$. Damit diese Gleichung für alle $$x$$ und $$y$$ gilt, müssen die Koeffizienten von $$x$$ beziehungsweise $$y$$ übereinstimmen. Also gilt $$r = k$$ und $$s = 0$$.
- **Zweite Zeile:** $$tx + uy = ky$$. Ebenso $$t = 0$$ und $$u = k$$.

Visible text: - **Erste Zeile:** . Damit diese Gleichung für alle und gilt, müssen die Koeffizienten von beziehungsweise übereinstimmen. Also gilt und .
- **Zweite Zeile:** . Ebenso und .

## Streckungsmatrix mit dem Ursprung als Zentrum

Die Matrix einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum $$O(0,0)$$ und dem Streckfaktor $$k \neq 0$$ lautet:

Visible text: Die Matrix einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum und dem Streckfaktor lautet:

```math
\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}
```

## Zentrische Streckung um ein beliebiges Zentrum mit Matrizen

Wird ein Punkt $$(x,y)$$ mit dem Zentrum $$(a,b)$$ und dem Streckfaktor $$k \neq 0$$ gestreckt, lautet sein Bild $$(k(x-a)+a,\, k(y-b)+b)$$.

Visible text: Wird ein Punkt mit dem Zentrum und dem Streckfaktor gestreckt, lautet sein Bild .

Gesucht ist eine Folge von Matrixoperationen, die den verschobenen Ortsvektor $$\begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix}$$ auf $$\begin{pmatrix} k(x-a)+a \\ k(y-b)+b \end{pmatrix}$$ abbildet.

Visible text: Gesucht ist eine Folge von Matrixoperationen, die den verschobenen Ortsvektor auf abbildet.

Die Matrixoperation für eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor $$k \neq 0$$ und dem Zentrum $$(a,b)$$ ist:

Visible text: Die Matrixoperation für eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor und dem Zentrum ist:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```

Äquivalent dazu gilt:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \right)
```

## Bildpunkt einer zentrischen Streckung mit Matrizen bestimmen

Der Punkt $$A(2,4)$$ wird mit dem Zentrum $$P(1,1)$$ und dem Streckfaktor $$2$$ gestreckt. Bestimme den Bildpunkt.

Visible text: Der Punkt wird mit dem Zentrum und dem Streckfaktor gestreckt. Bestimme den Bildpunkt.

**Lösung:**

Gegeben $$x=2, y=4, k=2, a=1, b=1$$.

Visible text: Gegeben .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2-1 \\ 4-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(1) + (0)(3) \\ (0)(1) + (2)(3) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
```

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}
```

Somit ist das Bild des Punktes $$A(2,4)$$ <InlineMath math="A'(3,7)" />.

Visible text: Somit ist das Bild des Punktes .

Component: LineEquation
Props:
- title: Streckung von $$A(2,4)$$ mit dem Zentrum{" "}
$$P(1,1)$$ und dem Streckfaktor{" "}
$$k=2$$
  Visible text: Streckung von mit dem Zentrum 
 und dem Streckfaktor
- description: Der Punkt $$A(2,4)$$ wird bezüglich des Zentrums{" "}
$$P(1,1)$$ mit dem Streckfaktor $$k=2$${" "}
auf <InlineMath math="A'(3,7)" /> abgebildet. Zentrum, Ausgangspunkt und
Bildpunkt liegen auf einer Geraden, und der Abstand <InlineMath math="PA'" />
ist doppelt so groß wie der Abstand $$PA$$.
  Visible text: Der Punkt wird bezüglich des Zentrums 
 mit dem Streckfaktor 
auf abgebildet. Zentrum, Ausgangspunkt und
Bildpunkt liegen auf einer Geraden, und der Abstand 
ist doppelt so groß wie der Abstand .
- data: [
{
points: [{ x: 1, y: 1, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P(1,1)$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 4, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$A(2,4)$$, at: 0, offset: [1.5, 0.2, 0] }],
},
{
points: [{ x: 3, y: 7, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <InlineMath math="A'(3,7)" />, at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 1, y: 1, z: 0 }, // P
{ x: 2, y: 4, z: 0 }, // A
],
color: "#d97706",
},
{
points: [
{ x: 1, y: 1, z: 0 }, // P
{ x: 3, y: 7, z: 0 }, // A'
],
color: "#0284c7",
cone: { position: "end", size: 0.3 },
},
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: 1, y: 1, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 4, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [1.5, 0.2, 0] }],
},
{
points: [{ x: 3, y: 7, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 1, y: 1, z: 0 }, // P
{ x: 2, y: 4, z: 0 }, // A
],
color: "#d97706",
},
{
points: [
{ x: 1, y: 1, z: 0 }, // P
{ x: 3, y: 7, z: 0 }, // A'
],
color: "#0284c7",
cone: { position: "end", size: 0.3 },
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 18]

## Übungen

1.  Bestimme die Koordinaten des Bildes eines Punktes $$(a,b)$$ unter der zentrischen Streckung $$[O,3]$$.
2.  Bestimme die Matrix der zentrischen Streckung mit dem Zentrum $$O(0,0)$$ und dem Streckfaktor $$-2$$.
3.  Der Punkt $$B(-1, 5)$$ wird mit dem Zentrum $$P(2, -3)$$ und dem Streckfaktor $$k = \frac{1}{2}$$ gestreckt. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von $$B$$.
4.  Das Dreieck $$KLM$$ hat die Eckpunkte $$K(1,1)$$, $$L(5,1)$$ und $$M(3,4)$$. Es wird mit dem Zentrum $$O(0,0)$$ und dem Streckfaktor $$2$$ gestreckt. Zeichne das Ausgangs- und das Bilddreieck und bestimme die Koordinaten der Bildeckpunkte.

Visible text: 1. Bestimme die Koordinaten des Bildes eines Punktes unter der zentrischen Streckung .
2. Bestimme die Matrix der zentrischen Streckung mit dem Zentrum und dem Streckfaktor .
3. Der Punkt wird mit dem Zentrum und dem Streckfaktor gestreckt. Bestimme die Koordinaten des Bildpunktes von .
4. Das Dreieck hat die Eckpunkte , und . Es wird mit dem Zentrum und dem Streckfaktor gestreckt. Zeichne das Ausgangs- und das Bilddreieck und bestimme die Koordinaten der Bildeckpunkte.

### Lösungen

1. Bei der zentrischen Streckung $$[O,3]$$ ist $$O(0,0)$$ das Streckzentrum und $$k=3$$ der Streckfaktor.

   Der Punkt sei $$Q(a,b)$$.

   Dann $$x=a, y=b, k=3$$.

   <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a \\ 3b \end{pmatrix}" />

   Somit sind die Koordinaten des Bildes des Punktes $$(a,b)$$ $$(3a, 3b)$$.

2. Streckzentrum $$O(0,0)$$, Streckfaktor $$k=-2$$.

   Die Streckungsmatrix ist:

   
   
   ```math
   \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}
   ```

3. Ausgangspunkt $$B(-1, 5)$$, Streckzentrum $$P(2, -3)$$, Streckfaktor $$k = \frac{1}{2}$$.

   $$x=-1, y=5, a=2, b=-3, k=\frac{1}{2}$$.

   <MathContainer>
     <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1-2 \\ 5-(-3) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
     <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
     <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\frac{1}{2})(-3) + (0)(8) \\ (0)(-3) + (\frac{1}{2})(8) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
     <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} + \frac{4}{2} \\ 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}" />
   </MathContainer>

   Die Koordinaten des Bildes des Punkts $$B$$ sind <InlineMath math="B'(\frac{1}{2}, 1)" />.

4. Dreieck $$KLM$$ mit $$K(1,1)$$, $$L(5,1)$$, $$M(3,4)$$.

   Streckzentrum $$O(0,0)$$, $$k=2$$.

   Bild des Punktes $$K(1,1)$$:

   <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_K' \\ y_K' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \implies K'(2,2)" />

   Bild des Punktes $$L(5,1)$$:

   <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_L' \\ y_L' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \implies L'(10,2)" />

   Bild des Punktes $$M(3,4)$$:

   <ContentStack>

     <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_M' \\ y_M' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \implies M'(6,8)" />

     <LineEquation
       title={
         <>
           Streckung des Dreiecks $$KLM$$ mit dem Zentrum{" "}
           $$O(0,0)$$ und dem Streckfaktor{" "}
           $$k=2$$
         </>
       }
       description={
         <>
           Die zentrische Streckung mit dem Zentrum $$O(0,0)$$ bildet
           das Dreieck $$KLM$$ auf <InlineMath math="K'L'M'" /> ab.
         </>
       }
       data={[
         // Ausgangsdreieck KLM
         {
           points: [
             { x: 1, y: 1, z: 0 }, // K
             { x: 5, y: 1, z: 0 }, // L
           ],
           color: "#0284c7",
           labels: [
             { text: $$K(1,1)$$, at: 0, offset: [-0.7, -0.2, 0] },
             { text: $$L(5,1)$$, at: 1, offset: [0.7, -0.2, 0] },
           ],
           showPoints: true,
         },
         {
           points: [
             { x: 5, y: 1, z: 0 }, // L
             { x: 3, y: 4, z: 0 }, // M
           ],
           color: "#ea580c",
           labels: [{ text: $$M(3,4)$$, at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
           showPoints: true,
         },
         {
           points: [
             { x: 3, y: 4, z: 0 }, // M
             { x: 1, y: 1, z: 0 }, // K
           ],
           color: "#9333ea",
           showPoints: true,
         },
         // Bilddreieck K'L'M'
         {
           points: [
             { x: 2, y: 2, z: 0 }, // K'
             { x: 10, y: 2, z: 0 }, // L'
           ],
           color: "#0d9488",
           labels: [
             { text: <InlineMath math="K'(2,2)" />, at: 0, offset: [-0.8, -0.3, 0] },
             { text: <InlineMath math="L'(10,2)" />, at: 1, offset: [0.8, -0.3, 0] },
           ],
           showPoints: true,
         },
         {
           points: [
             { x: 10, y: 2, z: 0 }, // L'
             { x: 6, y: 8, z: 0 }, // M'
           ],
           color: "#db2777",
           labels: [{ text: <InlineMath math="M'(6,8)" />, at: 1, offset: [0, 0.6, 0] }],
           showPoints: true,
         },
         {
           points: [
             { x: 6, y: 8, z: 0 }, // M'
             { x: 2, y: 2, z: 0 }, // K'
           ],
           color: "#4f46e5",
           showPoints: true,
         },
         // Ursprung
         {
           points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
           color: "#4f46e5",
           showPoints: true,
           labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
         },
       ]}
       showZAxis={false}
       cameraPosition={[0, 0, 20]}
     />
   </ContentStack>

Visible text: 1. Bei der zentrischen Streckung ist das Streckzentrum und der Streckfaktor.

 Der Punkt sei .

 Dann .

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3a \\ 3b \end{pmatrix}" />

 Somit sind die Koordinaten des Bildes des Punktes .

2. Streckzentrum , Streckfaktor .

 Die Streckungsmatrix ist:

 
 

3. Ausgangspunkt , Streckzentrum , Streckfaktor .

 .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1-2 \\ 5-(-3) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\frac{1}{2})(-3) + (0)(8) \\ (0)(-3) + (\frac{1}{2})(8) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}" />
 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} + \frac{4}{2} \\ 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}" />
 </MathContainer>

 Die Koordinaten des Bildes des Punkts sind .

4. Dreieck mit , , .

 Streckzentrum , .

 Bild des Punktes :

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_K' \\ y_K' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \implies K'(2,2)" />

 Bild des Punktes :

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_L' \\ y_L' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \implies L'(10,2)" />

 Bild des Punktes :

 <ContentStack>

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x_M' \\ y_M' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \implies M'(6,8)" />

 <LineEquation
 title={
 <>
 Streckung des Dreiecks mit dem Zentrum 
 und dem Streckfaktor 
 
 </>
 }
 description={
 <>
 Die zentrische Streckung mit dem Zentrum bildet
 das Dreieck auf ab.
 </>
 }
 data={[
 // Ausgangsdreieck KLM
 {
 points: [
 { x: 1, y: 1, z: 0 }, // K
 { x: 5, y: 1, z: 0 }, // L
 ],
 color: "#0284c7",
 labels: [
 { text: , at: 0, offset: [-0.7, -0.2, 0] },
 { text: , at: 1, offset: [0.7, -0.2, 0] },
 ],
 showPoints: true,
 },
 {
 points: [
 { x: 5, y: 1, z: 0 }, // L
 { x: 3, y: 4, z: 0 }, // M
 ],
 color: "#ea580c",
 labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
 showPoints: true,
 },
 {
 points: [
 { x: 3, y: 4, z: 0 }, // M
 { x: 1, y: 1, z: 0 }, // K
 ],
 color: "#9333ea",
 showPoints: true,
 },
 // Bilddreieck K'L'M'
 {
 points: [
 { x: 2, y: 2, z: 0 }, // K'
 { x: 10, y: 2, z: 0 }, // L'
 ],
 color: "#0d9488",
 labels: [
 { text: , at: 0, offset: [-0.8, -0.3, 0] },
 { text: , at: 1, offset: [0.8, -0.3, 0] },
 ],
 showPoints: true,
 },
 {
 points: [
 { x: 10, y: 2, z: 0 }, // L'
 { x: 6, y: 8, z: 0 }, // M'
 ],
 color: "#db2777",
 labels: [{ text: , at: 1, offset: [0, 0.6, 0] }],
 showPoints: true,
 },
 {
 points: [
 { x: 6, y: 8, z: 0 }, // M'
 { x: 2, y: 2, z: 0 }, // K'
 ],
 color: "#4f46e5",
 showPoints: true,
 },
 // Ursprung
 {
 points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
 color: "#4f46e5",
 showPoints: true,
 labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.3, -0.3, 0] }],
 },
 ]}
 showZAxis={false}
 cameraPosition={[0, 0, 20]}
 />
 </ContentStack>