# Matrizen als geometrische Transformationen

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Verstehe, wie quadratische Matrizen zweiter Ordnung Punkte und Figuren abbilden, und erkenne Drehungen, Spiegelungen und Scherungen an ihren Matrizen.

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## Was ist der Zusammenhang zwischen Matrizen und geometrischen Transformationen?

Eine $$2 \times 2$$-Matrix definiert eine lineare Transformation der kartesischen Ebene. Sie bildet den Ursprung stets auf sich selbst ab, weshalb eine reine Verschiebung stattdessen eine Vektoraddition oder homogene Koordinaten benötigt.

Visible text: Eine -Matrix definiert eine lineare Transformation der kartesischen Ebene. Sie bildet den Ursprung stets auf sich selbst ab, weshalb eine reine Verschiebung stattdessen eine Vektoraddition oder homogene Koordinaten benötigt.

Einen Punkt mit den Koordinaten $$(x,y)$$ können wir als Ortsvektor $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ schreiben. In dieser Form lässt sich die Abbildung direkt als Matrixmultiplikation darstellen.

Visible text: Einen Punkt mit den Koordinaten können wir als Ortsvektor schreiben. In dieser Form lässt sich die Abbildung direkt als Matrixmultiplikation darstellen.

Wenn ein Punkt $$P(x,y)$$ durch die Matrix $$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ transformiert wird, wird sein Bild <InlineMath math="P'(x',y')" /> durch Matrixmultiplikation erhalten:

Visible text: Wenn ein Punkt durch die Matrix transformiert wird, wird sein Bild durch Matrixmultiplikation erhalten:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}
```

Also <InlineMath math="x' = ax + by" /> und <InlineMath math="y' = cx + dy" />.

Visible text: Also und .

## Multiplizieren einer Matrix mit einem Positionsvektor

Der Vektor $$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ beschreibt einen beliebigen Punkt der Ebene. Bestimme das Produkt $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ und deute das Ergebnis geometrisch.

Visible text: Der Vektor beschreibt einen beliebigen Punkt der Ebene. Bestimme das Produkt und deute das Ergebnis geometrisch.

**Lösung:**

Das Matrixprodukt ist:

```math
\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(x) + (-1)(y) \\ (1)(x) + (0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}
```

Die Matrix $$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ bildet $$(x,y)$$ auf $$(-y,x)$$ ab. Genau diese Koordinatenregel beschreibt eine Drehung um $$90^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.

Visible text: Die Matrix bildet auf ab. Genau diese Koordinatenregel beschreibt eine Drehung um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.

Component: LineEquation
Props:
- title: Abbildung von $$P(2,3)$$ durch die Matrix{" "}
$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
  Visible text: Abbildung von durch die Matrix
- description: Der Punkt $$P(2,3)$$ wird auf{" "}
<InlineMath math="P'(-3,2)" /> abgebildet.
  Visible text: Der Punkt wird auf 
 abgebildet.
- data: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$O$$, at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P(2,3)$$, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -3, y: 2, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <InlineMath math="P'(-3,2)" />, at: 0, offset: [-0.7, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -3, y: 2, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
},
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
color: "#e11d48",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
},
{
points: [{ x: -3, y: 2, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.7, 0.3, 0] }],
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: 2, y: 3, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
},
{
points: [
{ x: 0, y: 0, z: 0 },
{ x: -3, y: 2, z: 0 },
],
color: "#4f46e5",
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 10]

## Drei Punkte gleichzeitig transformieren

Bestimme das Bild von $$\triangle ABC$$ mit den Eckpunkten $$A(1,1)$$, $$B(4,1)$$ und $$C(4,2)$$ unter der Matrix $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Bestimme das Bild von mit den Eckpunkten , und unter der Matrix .

**Lösung:**

Zuerst schreiben wir die Koordinaten der Punkte als Spalten einer Matrix: $$\begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$. Die drei Spalten gehören der Reihe nach zu $$A$$, $$B$$ und $$C$$.

Visible text: Zuerst schreiben wir die Koordinaten der Punkte als Spalten einer Matrix: . Die drei Spalten gehören der Reihe nach zu , und .

Dann multiplizieren wir die Punktmatrix von links mit der Transformationsmatrix $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Dann multiplizieren wir die Punktmatrix von links mit der Transformationsmatrix .

Component: MathContainer
Children:

```math
\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(1)+(0)(1) & (-1)(4)+(0)(1) & (-1)(4)+(0)(2) \\ (0)(1)+(-1)(1) & (0)(4)+(-1)(1) & (0)(4)+(-1)(2) \end{pmatrix}
```

```math
= \begin{pmatrix} -1 & -4 & -4 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix}
```

Das Ergebnis der Transformation ist ein neues Dreieck <InlineMath math="\triangle A'B'C'" /> mit den Eckpunkten <InlineMath math="A'(-1,-1)" />, <InlineMath math="B'(-4,-1)" /> und <InlineMath math="C'(-4,-2)" />.

Visible text: Das Ergebnis der Transformation ist ein neues Dreieck mit den Eckpunkten , und .

Die Matrix $$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ stellt eine $$180^\circ$$ Drehung um den Ursprung dar.

Visible text: Die Matrix stellt eine Drehung um den Ursprung dar.

Component: LineEquation
Props:
- title: Abbildung von $$\triangle ABC$$ durch die Matrix{" "}
$$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
  Visible text: Abbildung von durch die Matrix
- description: Das Dreieck $$ABC$$ wird auf das Bilddreieck{" "}
<InlineMath math="A'B'C'" /> abgebildet.
  Visible text: Das Dreieck wird auf das Bilddreieck 
 abgebildet.
- data: [
// Ausgangsdreieck ABC
...[
{
from: { x: 1, y: 1, z: 0, label: $$A(1,1)$$ },
to: { x: 4, y: 1, z: 0, label: $$B(4,1)$$ },
},
{
from: { x: 4, y: 1, z: 0, label: $$B(4,1)$$ },
to: { x: 4, y: 2, z: 0, label: $$C(4,2)$$ },
},
{
from: { x: 4, y: 2, z: 0, label: $$C(4,2)$$ },
to: { x: 1, y: 1, z: 0, label: $$A(1,1)$$ },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
// Bilddreieck A'B'C'
...[
{
from: { x: -1, y: -1, z: 0, label: <InlineMath math="A'(-1,-1)" /> },
to: { x: -4, y: -1, z: 0, label: <InlineMath math="B'(-4,-1)" /> },
},
{
from: { x: -4, y: -1, z: 0, label: <InlineMath math="B'(-4,-1)" /> },
to: { x: -4, y: -2, z: 0, label: <InlineMath math="C'(-4,-2)" /> },
},
{
from: { x: -4, y: -2, z: 0, label: <InlineMath math="C'(-4,-2)" /> },
to: { x: -1, y: -1, z: 0, label: <InlineMath math="A'(-1,-1)" /> },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
]
  Visible text: [
// Ausgangsdreieck ABC
...[
{
from: { x: 1, y: 1, z: 0, label: },
to: { x: 4, y: 1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 4, y: 1, z: 0, label: },
to: { x: 4, y: 2, z: 0, label: },
},
{
from: { x: 4, y: 2, z: 0, label: },
to: { x: 1, y: 1, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#d97706",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
// Bilddreieck A'B'C'
...[
{
from: { x: -1, y: -1, z: 0, label: },
to: { x: -4, y: -1, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -4, y: -1, z: 0, label: },
to: { x: -4, y: -2, z: 0, label: },
},
{
from: { x: -4, y: -2, z: 0, label: },
to: { x: -1, y: -1, z: 0, label: },
},
].map((segment) => ({
points: [segment.from, segment.to],
color: "#0d9488",
showPoints: true,
labels: [{ text: segment.from.label, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
})),
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 12]

## Übungen

1.  Bestimme das Produkt $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$. Welche Transformation beschreibt diese Matrix?
2.  Die Matrix $$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ beschreibt eine Transformation. Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten $$A(2,0)$$, $$B(2,1)$$ und $$C(0,1)$$.

Visible text: 1. Bestimme das Produkt . Welche Transformation beschreibt diese Matrix?
2. Die Matrix beschreibt eine Transformation. Bestimme das Bild des Dreiecks mit den Eckpunkten , und .

### Lösungen

1.  
    
    ```math
    \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(x) + (1)(y) \\ (-1)(x) + (0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\ -x \end{pmatrix}
    ```

    Der Punkt $$(x,y)$$ wird auf $$(y,-x)$$ abgebildet.

    Dies ist eine Drehung um $$90^\circ$$ im Uhrzeigersinn. Gleichwertig dazu ist eine Drehung um $$270^\circ$$ gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.

2.  Transformationsmatrix $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

    Eckpunkte: $$A(2,0)$$, $$B(2,1)$$, $$C(0,1)$$.

    Punktmatrix: $$\begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$.

    <MathContainer>
      
    
    ```math
    \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2)+(2)(0) & (1)(2)+(2)(1) & (1)(0)+(2)(1) \\ (0)(2)+(1)(0) & (0)(2)+(1)(1) & (0)(0)+(1)(1) \end{pmatrix}
    ```

      
    
    ```math
    = \begin{pmatrix} 2+0 & 2+2 & 0+2 \\ 0+0 & 0+1 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
    ```

    </MathContainer>

    Die Bildpunkte sind <InlineMath math="A'(2,0)" />, <InlineMath math="B'(4,1)" /> und <InlineMath math="C'(2,1)" />.

    Diese Transformation heißt horizontale Scherung, weil die $$x$$-Koordinate um das Doppelte der $$y$$-Koordinate verschoben wird, während $$y$$ unverändert bleibt.

Visible text: 1. 
 

 Der Punkt wird auf abgebildet.

 Dies ist eine Drehung um im Uhrzeigersinn. Gleichwertig dazu ist eine Drehung um gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.

2. Transformationsmatrix .

 Eckpunkte: , , .

 Punktmatrix: .

 <MathContainer>
 
 

 
 

 </MathContainer>

 Die Bildpunkte sind , und .

 Diese Transformation heißt horizontale Scherung, weil die -Koordinate um das Doppelte der -Koordinate verschoben wird, während unverändert bleibt.