# Verschiebung

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URL: https://nakafa.com/de/faecher/mathematik/geometrische-transformationen/translation
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Verstehe geometrische Verschiebungen mit Vektoren und berechne die Bildpunkte von Punkten, Geraden und Dreiecken.

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## Verschiebungen verstehen

Eine Verschiebung bewegt jeden Punkt eines Objekts um dieselbe Strecke in dieselbe Richtung. Ausrichtung, Größe und Form bleiben dabei erhalten. Nur die Position des Objekts ändert sich.

### Definition einer Verschiebung

Gegeben sei ein beliebiger Punkt $$P(x,y)$$. Die dem Vektor $$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$ zugeordnete Verschiebung des Punktes $$P(x,y)$$, geschrieben als $$T_{(a,b)}(x,y)$$ oder $$\tau_{(a,b)}(x,y)$$, ist definiert durch:

Visible text: Gegeben sei ein beliebiger Punkt . Die dem Vektor zugeordnete Verschiebung des Punktes , geschrieben als oder , ist definiert durch:

```math
P'(x',y') = (x+a, y+b)
```

Das bedeutet:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = x + a
```

```math
y' = y + b
```

Dabei ist $$a$$ die horizontale Verschiebung (positiv nach rechts, negativ nach links) und $$b$$ die vertikale Verschiebung (positiv nach oben, negativ nach unten).

Visible text: Dabei ist die horizontale Verschiebung (positiv nach rechts, negativ nach links) und die vertikale Verschiebung (positiv nach oben, negativ nach unten).

## Einen Punkt verschieben

Ein Punkt $$(3,2)$$ wird durch den Vektor $$\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$ verschoben. Bestimme den Bildpunkt dieser Verschiebung.

Visible text: Ein Punkt wird durch den Vektor verschoben. Bestimme den Bildpunkt dieser Verschiebung.

Hier: $$x=3$$, $$y=2$$, $$a=-2$$ und $$b=3$$.

Visible text: Hier: , , und .

Mit der Formel:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = x + a = 3 + (-2) = 1
```

```math
y' = y + b = 2 + 3 = 5
```

Somit ist das Bild des Punktes $$(3,2)$$ $$(1,5)$$.

Visible text: Somit ist das Bild des Punktes .

Component: LineEquation
Props:
- title: Verschiebung des Punktes $$P(3,2)$$ um den Vektor{" "}
$$\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$
  Visible text: Verschiebung des Punktes um den Vektor
- description: Der Verschiebungsvektor bildet den Punkt $$P(3,2)$$ auf{" "}
<InlineMath math="P'(1,5)" /> ab.
  Visible text: Der Verschiebungsvektor bildet den Punkt auf 
 ab.
- data: [
{
points: [{ x: 3, y: 2, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <>$$P(3,2)$$ - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Ausgangspunkt
{
points: [{ x: 1, y: 5, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <><InlineMath math="P'(1,5)" /> - Bild</>, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
}, // Bildpunkt
{
points: [
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
{ x: 1, y: 5, z: 0 },
],
color: "#e11d48",
labels: [{ text: <>Vektor $$(-2,3)$$</>, at: 0, offset: [-1, 1.5, 0] }],
}, // Verschiebungsvektor von P nach P'
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: 3, y: 2, z: 0 }],
color: "#0284c7",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Ausgangspunkt</>, at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
}, // Ausgangspunkt
{
points: [{ x: 1, y: 5, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <> - Bild</>, at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
}, // Bildpunkt
{
points: [
{ x: 3, y: 2, z: 0 },
{ x: 1, y: 5, z: 0 },
],
color: "#e11d48",
labels: [{ text: <>Vektor </>, at: 0, offset: [-1, 1.5, 0] }],
}, // Verschiebungsvektor von P nach P'
]
- showZAxis: false

## Eine Gerade verschieben

Bestimme das Bild der Geraden $$l \equiv 2x + 3y - 1 = 0$$ unter der Verschiebung um den Vektor $$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Bestimme das Bild der Geraden unter der Verschiebung um den Vektor .

Sei $$P(x,y)$$ ein beliebiger Punkt auf der Geraden $$l$$. Wird er um den Vektor $$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$ verschoben, so ist sein Bild <InlineMath math="P'(x',y')" />. Es gilt:

Visible text: Sei ein beliebiger Punkt auf der Geraden . Wird er um den Vektor verschoben, so ist sein Bild . Es gilt:

Component: MathContainer
Children:

```math
x' = x + (-1) = x - 1 \implies x = x' + 1
```

```math
y' = y + 1 \implies y = y' - 1
```

Wir setzen diese Ausdrücke für $$x$$ und $$y$$ in die Gleichung der Geraden $$l$$ ein:

Visible text: Wir setzen diese Ausdrücke für und in die Gleichung der Geraden ein:

Component: MathContainer
Children:

```math
2(x' + 1) + 3(y' - 1) - 1 = 0
```

```math
2x' + 2 + 3y' - 3 - 1 = 0
```

```math
2x' + 3y' - 2 = 0
```

Ersetzen wir <InlineMath math="x'" /> und <InlineMath math="y'" /> wieder durch $$x$$ und $$y$$, lautet die Gleichung der Bildgeraden <InlineMath math="l'" />:

Visible text: Ersetzen wir und wieder durch und , lautet die Gleichung der Bildgeraden :

Component: ContentStack
Children:

```math
2x + 3y - 2 = 0
```

Component: LineEquation
Props:
- title: Verschiebung der Geraden $$2x+3y-1=0$$ um den Vektor{" "}
$$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
  Visible text: Verschiebung der Geraden um den Vektor
- description: Die Verschiebung bildet die Gerade $$2x+3y-1=0$$ auf
die Bildgerade $$2x+3y-2=0$$ ab.
  Visible text: Die Verschiebung bildet die Gerade auf
die Bildgerade ab.
- data: [
{
// Ursprüngliche Gerade: 2x + 3y - 1 = 0 => y = (-2/3)x + 1/3
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: (-2 / 3) * xVal + 1 / 3, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: $$2x+3y-1=0$$, at: 2, offset: [-1, -0.5, 0] }],
},
{
// Bildgerade: 2x + 3y - 2 = 0 => y = (-2/3)x + 2/3
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: (-2 / 3) * xVal + 2 / 3, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
labels: [{ text: $$2x+3y-2=0$$, at: 8, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
// Ursprüngliche Gerade: 2x + 3y - 1 = 0 => y = (-2/3)x + 1/3
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: (-2 / 3) * xVal + 1 / 3, z: 0 };
}),
color: "#9333ea",
labels: [{ text: , at: 2, offset: [-1, -0.5, 0] }],
},
{
// Bildgerade: 2x + 3y - 2 = 0 => y = (-2/3)x + 2/3
points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
const xVal = i - 5;
return { x: xVal, y: (-2 / 3) * xVal + 2 / 3, z: 0 };
}),
color: "#db2777",
labels: [{ text: , at: 8, offset: [1, 0.5, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [0, 0, 10]

## Übungen

1.  Ein Punkt $$(-4,4)$$ wird durch den Vektor $$\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$$ verschoben. Bestimme den Bildpunkt dieser Verschiebung.
2.  Bestimme das Bild der Geraden $$l \equiv 5x - 2y + 3 = 0$$ unter der Verschiebung um den Vektor $$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$.
3.  Ein Dreieck mit den Eckpunkten $$A(1,1)$$, $$B(4,1)$$ und $$C(1,5)$$ wird um den Vektor $$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$ verschoben. Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks <InlineMath math="A'B'C'" />.

Visible text: 1. Ein Punkt wird durch den Vektor verschoben. Bestimme den Bildpunkt dieser Verschiebung.
2. Bestimme das Bild der Geraden unter der Verschiebung um den Vektor .
3. Ein Dreieck mit den Eckpunkten , und wird um den Vektor verschoben. Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks .

### Lösungen

1.  Punkt $$(-4,4)$$, Vektor $$\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}$$. $$x=-4, y=4, a=-2, b=-3$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = -4 + (-2) = -6" />
      <BlockMath math="y' = 4 + (-3) = 1" />
    </MathContainer>

    Somit ist der Bildpunkt $$(-6,1)$$.

2.  Gerade $$5x - 2y + 3 = 0$$, Vektor $$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$. $$a=2, b=-1$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="x' = x + 2 \implies x = x' - 2" />
      <BlockMath math="y' = y - 1 \implies y = y' + 1" />
    </MathContainer>

    Wir setzen die Ausdrücke in die Geradengleichung ein:

    <MathContainer>
      <BlockMath math="5(x' - 2) - 2(y' + 1) + 3 = 0" />
      <BlockMath math="5x' - 10 - 2y' - 2 + 3 = 0" />
      <BlockMath math="5x' - 2y' - 9 = 0" />
    </MathContainer>

    Die Gleichung der Bildgeraden lautet $$5x - 2y - 9 = 0$$.

3.  Punkte $$A(1,1)$$, $$B(4,1)$$, $$C(1,5)$$. Vektor $$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$.

    <MathContainer>
      <BlockMath math="A'(1+2, 1+3) = A'(3,4)" />
      <BlockMath math="B'(4+2, 1+3) = B'(6,4)" />
      <BlockMath math="C'(1+2, 5+3) = C'(3,8)" />
    </MathContainer>

    Die Koordinaten des Bilddreiecks sind <InlineMath math="A'(3,4)" />, <InlineMath math="B'(6,4)" /> und <InlineMath math="C'(3,8)" />.

Visible text: 1. Punkt , Vektor . .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = -4 + (-2) = -6" />
 <BlockMath math="y' = 4 + (-3) = 1" />
 </MathContainer>

 Somit ist der Bildpunkt .

2. Gerade , Vektor . .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="x' = x + 2 \implies x = x' - 2" />
 <BlockMath math="y' = y - 1 \implies y = y' + 1" />
 </MathContainer>

 Wir setzen die Ausdrücke in die Geradengleichung ein:

 <MathContainer>
 <BlockMath math="5(x' - 2) - 2(y' + 1) + 3 = 0" />
 <BlockMath math="5x' - 10 - 2y' - 2 + 3 = 0" />
 <BlockMath math="5x' - 2y' - 9 = 0" />
 </MathContainer>

 Die Gleichung der Bildgeraden lautet .

3. Punkte , , . Vektor .

 <MathContainer>
 <BlockMath math="A'(1+2, 1+3) = A'(3,4)" />
 <BlockMath math="B'(4+2, 1+3) = B'(6,4)" />
 <BlockMath math="C'(1+2, 5+3) = C'(3,8)" />
 </MathContainer>

 Die Koordinaten des Bilddreiecks sind , und .