# Verschiebungsmatrix

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Stelle Verschiebungen als Vektoraddition und mit homogenen Koordinaten dar und verbinde sie dadurch mit weiteren Transformationen.

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## Matrixdarstellung einer Verschiebung

Die Verschiebung eines Punktes $$(x,y)$$ um den Vektor $$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$ ergibt den Bildpunkt $$(x+a, y+b)$$.

Visible text: Die Verschiebung eines Punktes um den Vektor ergibt den Bildpunkt .

Diese Operation kann in Form einer Vektoraddition (Spaltenmatrix) geschrieben werden:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \end{pmatrix}
```

Anders als eine Drehung oder Spiegelung lässt sich eine reine Verschiebung nicht durch die Multiplikation mit einer $$2 \times 2$$-Matrix darstellen. Sie ist zunächst eine Vektoraddition.

Visible text: Anders als eine Drehung oder Spiegelung lässt sich eine reine Verschiebung nicht durch die Multiplikation mit einer -Matrix darstellen. Sie ist zunächst eine Vektoraddition.

Wenn wir jedoch die Verschiebung mit anderen linearen Transformationen mithilfe der Matrixmultiplikation kombinieren möchten, verwenden wir häufig **homogene Koordinaten**. Bei homogenen Koordinaten wird ein Punkt $$(x,y)$$ als $$\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$$ dargestellt und die Transformationsmatrix wird zu $$3 \times 3$$. Für die Verschiebung um $$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$ lautet die Matrix:

Visible text: Wenn wir jedoch die Verschiebung mit anderen linearen Transformationen mithilfe der Matrixmultiplikation kombinieren möchten, verwenden wir häufig **homogene Koordinaten**. Bei homogenen Koordinaten wird ein Punkt als dargestellt und die Transformationsmatrix wird zu . Für die Verschiebung um lautet die Matrix:

```math
T_{(a,b)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
```

Also:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \\ 1 \end{pmatrix}
```

### Matrixdarstellung

Für die Verschiebung eines Punktes $$(x,y)$$ um den Vektor $$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$ gilt:

Visible text: Für die Verschiebung eines Punktes um den Vektor gilt:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}
```

## Einen Bildpunkt mit Matrizen bestimmen

Bestimme mithilfe der Vektordarstellung das Bild des Punktes $$(-2,3)$$ unter der Verschiebung um $$\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$$.

Visible text: Bestimme mithilfe der Vektordarstellung das Bild des Punktes unter der Verschiebung um .

**Lösung:**

Die Matrixoperation liefert den Bildpunkt:

```math
\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + (-3) \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \end{pmatrix}
```

Der Bildpunkt ist $$(-5,7)$$.

Visible text: Der Bildpunkt ist .

Component: LineEquation
Props:
- title: Verschiebung des Punktes $$P(-2,3)$$ um den Vektor{" "}
$$\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$$
  Visible text: Verschiebung des Punktes um den Vektor
- description: Der Verschiebungsvektor bildet den Punkt $$P(-2,3)$$ auf{" "}
<InlineMath math="P'(-5,7)" /> ab.
  Visible text: Der Verschiebungsvektor bildet den Punkt auf 
 ab.
- data: [
{
points: [{ x: -2, y: 3, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: $$P(-2,3)$$, at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: -5, y: 7, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: <InlineMath math="P'(-5,7)" />, at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -2, y: 3, z: 0 },
{ x: -5, y: 7, z: 0 },
],
color: "#e11d48",
lineWidth: 2,
cone: { position: "end", size: 0.3 },
labels: [{ text: <>Vektor $$(-3,4)$$</>, at: 0, offset: [-0.5, 2, 0] }],
},
]
  Visible text: [
{
points: [{ x: -2, y: 3, z: 0 }],
color: "#0891b2",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
},
{
points: [{ x: -5, y: 7, z: 0 }],
color: "#059669",
showPoints: true,
labels: [{ text: , at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] }],
},
{
points: [
{ x: -2, y: 3, z: 0 },
{ x: -5, y: 7, z: 0 },
],
color: "#e11d48",
lineWidth: 2,
cone: { position: "end", size: 0.3 },
labels: [{ text: <>Vektor </>, at: 0, offset: [-0.5, 2, 0] }],
},
]
- showZAxis: false
- cameraPosition: [-10, 10, 12]

## Übungen

1.  Bestimme mithilfe der Vektordarstellung das Bild des Punktes $$(4,-5)$$ unter der Verschiebung um $$\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$$.
2.  Ein Dreieck $$KLM$$ hat die Eckpunkte $$K(1,0)$$, $$L(4,2)$$ und $$M(2,5)$$. Dieses Dreieck wird durch den Vektor $$T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ verschoben. Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks <InlineMath math="K'L'M'" />.

Visible text: 1. Bestimme mithilfe der Vektordarstellung das Bild des Punktes unter der Verschiebung um .
2. Ein Dreieck hat die Eckpunkte , und . Dieses Dreieck wird durch den Vektor verschoben. Bestimme die Koordinaten des Bilddreiecks .

### Lösungen

1.  Ausgangspunkt $$(4,-5)$$, Verschiebungsvektor $$\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$$.

    <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ -5+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}" />

    Der Bildpunkt ist $$(-1,-1)$$.

2.  Verschiebungsvektor $$T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$.

    - Für $$K(1,0)$$: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'_K \\ y'_K \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}" />. Also <InlineMath math="K'(-1,1)" />.
    - Für $$L(4,2)$$: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'_L \\ y'_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}" />. Also <InlineMath math="L'(2,3)" />.
    - Für $$M(2,5)$$: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'_M \\ y'_M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}" />. Also <InlineMath math="M'(0,6)" />.

    Die Bildpunkte sind <InlineMath math="K'(-1,1)" />, <InlineMath math="L'(2,3)" /> und <InlineMath math="M'(0,6)" />.

Visible text: 1. Ausgangspunkt , Verschiebungsvektor .

 <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ -5+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}" />

 Der Bildpunkt ist .

2. Verschiebungsvektor .

 - Für : . Also .
 - Für : . Also .
 - Für : . Also .

 Die Bildpunkte sind , und .